Приглашаем посетить сайт

Математическая энциклопедия
ХОПФА ИНВАРИАНТ

ХОПФА ИНВАРИАНТ

ХОПФА ИНВАРИАНТ -инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер

Пусть -непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение симплициальным относительно нек-рых триангуляции сфер Sⁿ и S^2n-1. Тогда инвариант Хопфа определяется как зацепления коэффициент( п-1)-мерных непересекающихся подмногообразий f^-l (а)и .^-l(b)в S^2n-1 для любых различных

Отображение определяет элемент и образ элемента [f] при гомоморфизме

совпадает с Х. <и. Н(f) (здесь h - гомоморфизм Гуревича) [3].

Пусть теперь -отображение класса С ², и форма представляет образующую группы целочисленных когомологий В качестве такой формы можно взять, напр., форму где dV - элемент объема на Sⁿ в нек-рой метрике (напр., в метрике, заданной вложением a vol (Sⁿ) - объем сферы Sⁿ. Тогда форма замкнута и, ввиду тривиальности группы является точной. Таким образом, для нек-рой формы Имеет место формула для вычисления Х. <и. (см. [4]):

Определение Х. <и. обобщено (см. [5], [6]) на случай отображений при В этом случае имеется разложение

- гомоморфизм, индуцированный проекцией Пусть дано отображение g: заданное стягиванием экватора сферы Sⁿ в точку. Тогда Х. <и. наз. гомоморфизм

при к-ром преобразуется в проекцию элемента на прямое слагаемое в разложении (*). При т=2 п-1, ввиду равенства получается обычный Х. <и. Обобщенным инвариантом Хопфа наз, композиция Н ^* гомоморфизмов

где р -проекция группы на прямое слагаемое а гомоморфизмы g_* и k_* описаны выше. При инварианты Хопфа - Уайтхеда Н и Хопфа - Хилтона Н ^* связаны соотношением где S: -гомоморфизм надстройки (см. [6]).

Пусть дано отображение и C_f - его цилиндр. Тогда когомологий имеют однородным -базисом пару {a, b} с dima=n и dimb=2n. Имеет место соотношение а ² = Н(f)b(см. [7]). Если пнечетно, то (в силу косокоммутативности умножения и когомологиях) H(f)=0.

Имеется (см. [8]) обобщение инварианта Хопфа - Стинрода через обобщенные теории когомологий. Пусть .- полуточный гомотопич. функтор в смысле Дольда (см. [9]), заданный на категории конечных CW -комплексов и принимающий значения в нек-рой абелевой категории А. Тогда отображение комплексов определяет элемент k(X)), где Ноm - множество морфизмов в А. Инвариант Хопфа - Адамса е(f)определен, когда f_*=0 и d(Sf)=0, где Sf: SXSY - соответствующее отображение надстроек. В этом случае последовательности корасслоений

соответствует точная последовательность в А:

к-рая и определяет инвариант Хопфа - Адамса-Стинрода е(f) = Ехt¹ (k(Y), k(X)).

В случае функтора принимающего значения в категории модулей над Стинрода алгеброй по модулю 2, получается инвариант Хопфа - Стинрода отображения f: S^m Sⁿ при т> п(см. [7]). Когомологий имеют -базисом пару { а, b}с dima = n и dim .= m+l, и тогда

Инвариантом Хопфа Н _р по модулю p( р- простое) наз. композиция отображений

где (X, Y)_p - локализация по рпары пространств (см. [10]). Пусть

- гомоморфизм надстройки. Тогда H₂ (Sf) = H₂(f)(см. [10]). X. и. H(f) можно определить и в терминах Штифеля чисел (см. [11]): если М ^п-1- замкнутое оснащенное многообразие и то характеристич. число Штифеля - Уитни w_n(v)[V, M] нормального расслоения v совпадает с Х. <и. H₂(f) отображения представляющего класс оснащенных кобордизмов многообразия М ⁿ-1.

Спектральная последовательность Адамса - Новикова позволяет построить высшие инварианты Xопфа. Именно, индуктивно определены инварианты и " (см. [12]). Из вида дифференциалов этой спектральной последовательности следует, что

- кольцо комплексных кобордизмов точки), потому при i = 0, 1, 2, 3 инварианты q_i лежат в и наз. инвариантами Хопфа-Новикова. При i =1 получается инвариант Адамса.

Значения, к-рые может принимать Х. <и., не являются произвольным. Напр., для отображения Х. <и. всегда равен нулю. Х. <и. по модулю тривиален, за исключением случаев: р=2, т =1, 2,4 и р>2, т = 1. С другой стороны, для любого четного числа kсуществует отображение с Х. <и., равным k(n - любое). При п =1,2, 4 существуют отображения с Х. <и., равным 1.

Лит.:[1] Hopf H., лMath. Ann.