1. Это место впервые опубликовано мною в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». Л., 1935, стр. 150.
2. При недостаточной точности античных вычислений это совпадение могло казаться наступившим сравнительно скоро.
3. Архит решал задачу удвоения куба (нахождения двух средних пропорциональных) путем нахождения точки пересечения конуса, цилиндра и тора (т. е. тела, образованного вращением круга вокруг касательной к его окружности).
4. Очевидно, что любое кубичное уравнение Аx3+Bx2+Cx+D = 0 может быть представлено как пересечение параболы у = Ax2+Bx+C с равносторонней гиперболой xy+D = 0 или другим подобным образом, и указанные задачи приводятся к кубичным уравнениям.
5. Другая обстановка была в конкурирующей с Музеем Пергамской научной школе, ориентировавшейся на Рим: царь Аттал I приказал казнить «грамматика» Дафида за недостаточно почтительное отношение к Дельфийскому оракулу и Гомеру!
6. Номера идиллий Феокрита не соответствуют их хронологическому порядку.
7. Может быть, поэтому он и получил прозвище «второй Платон» или «новый Платон».
8. Стратон был почти заново открыт в 1893 г. Дильсом, показавшим, что предисловие к «Пневматике» Герона (жившего около начала нашей эры) — только извлечение из сочинения Стратона «О пустоте».
9. Хронологическая последовательность сочинений Архимеда устанавливается только по содержащимся в одних из этих произведений ссылкам на другие; в других случаях, наоборот, из тех или иных утверждений в одном сочинении можно сделать вывод, что другое его сочинение в это время еще не могло выйти. Руководясь этими критериями, мы и распределяем сочинения Архимеда между различными периодами его жизни.
10. Изображение архимедовой «улитки», приводимой в движение рабом (на карикатуре — пигмеем), дошло до нас на одной помпеянской фреске (см. табл. 5). Ее устройство, на основании этого рисунка, интерпретировано Джаконо (см. Библиогр. указатель, № 117).
11. Ср. замечание Ньютона (в предисловии к «Philosophiae naturalis principia mathematica», изд. 1687 г.): «Древние... устанавливали между механикой и геометрией то различие, что все точное относили к последней, все менее точное — к первой».
12. Конечно, можно было бы думать, что мы имеем дело просто с неточностью арабского перевода Герона и что сам Посидоний говорил не о равенстве площадей, а о равенстве статических моментов. В самом деле, если в 1878 г. один ив крупнейших специалистов по истории математики Гульч (Hultsch) дважды позволяет себе в своем издании VIII книги Паппа переводить слово ισορροποΰντα (уравновешивающие) словами «aequali pondere» («с равным весом», стр. 1030, 27; 1032, 20), то такая ошибка у средневекового арабского переводчика была бы более чем естественной. Но мы видим, что компилятор Герон списывает не только это определение, но и ряд положений, в которых оно применяется на деле: движение по наклонной плоскости, нахождение центра тяжести треугольника, опрокидывание камня при помощи рычага. Поэтому следует считать, что стоическая механика действительно делала такую ошибку и что те задачи в учебнике Герона, в которых в противоречии с другими частями той же книги этот принцип применен, восходят к той же книге Посидония.
13. Совершенно недопустимой нам кажется попытка видеть здесь примитивно сформулированный Аристотелем принцип возможных перемещений! Оно произвольно не только потому, что автору и в голову не приходит вводить условие идеальных связей и бесконечно малых перемещений. Принцип возможных перемещений требует, чтобы в случае равновесия сумма работ задаваемых сил для каждого возможного перемещения системы, подчиненной идеальным связям, равнялась нулю, т. е. в интересующем нас случае, чтобы работы, совершаемые силами, приложенными в каждом конце рычага (или, что то же, чтобы произведения каждой из этих двух сил на элементарное перемещение концов рычага), были равны друг другу. Между тем для автора «Механических проблем» необходимым условием равновесия является равенство самих сил. Далее, и о перемещении в интересующем нас месте «Проблем», в сущности, нет речи. Правда, здесь речь идет о том, что точка опишет бóльшую дугу, больше переместится, но при этом делается ссылка на сказанное в главе I, а в этой главе автор, употребляя то же выражение: «описывая больший круг», всегда прибавляет еще: «в равное время», т. е. имеет в виду не перемещение, а скорость.
14. «Идет ли здесь речь о рычаге, который сам по себе лишен массы и концы которого непосредственно совпадают с центрами тяжести подвешенных фигур, так что получается безразличное стабильное равновесие, остается в этой работе Архимеда до конца ее невыясненным» (В. Штейн).
15. «Равные» означает «равновеликие», поэтому «равные и подобные» означает «равные конгруэнтно».
16. Как уже сказано термином ισα, «равные», обозначаются равновеликие фигуры; равные конгруэнтно были бы названы: «равные и подобные».
17. На принципиальную неубедительность рассуждения Архимеда указал впервые Мах (см. Библиогр. указатель, № 49), но он несправедливо обвиняет Архимеда в circulus vitiosus: если принять аксиому Архимеда, все остальное логически из нее вытекает. Чвалина (см. Библиогр. указатель, № 41), примыкая в общем к выводам Маха, делает такое совершенно непонятное замечание: «Для Архимеда закон рычага формулировался следующим образом: рычаг находится в равновесии, если грузы обратно пропорциональны квадратам (1) плеч». Скорее всего это ошибка переводчика (подлинник мне недоступен).
18. Книга VIII, глава 8.
19. Книга I, глава 24.
20. Стр. 1030, строка 12.
21. Глава 36, кн. II его «Механики».
22. Книга 11, глава 38.
23. См. ниже, стр. 120, примечание 1.
24. Архимед выражает эту формулу (и соответственно следующие) так: «Круг, радиус которого есть средняя пропорциональная между АВ и Bb (символ p ему не известен). Не трудно видеть, что
Bb=rsin BOb=rsinp/n,
Cg=rsinCOg=rsin2p/n,
и т. д., а сумма
2Bb+2Cg+2DO+...+=2rn+sin2p/n+sin3p/n+...);
следовательно, Архимед сводит задачу к суммированию этого ряда при п, стремящемся к бесконечности.
25. В самом деле, квадрат ВМ (радиус основания сегмента) равен АМ-А1М [полухорда — среднее пропорциональное между отрезками диаметра или H(2R—H)].
Наше выражение мы можем написать в виде
pH·H(2R—H)(3R—H)/(3(2R—H)),
или
(p/3)BM2(3R—H)/(2R—H).
26. Катет АВ — среднее пропорциональное между гипотенузой А1А АМ (ибо Δ А1ВА, как опирающийся на диаметр, прямоугольный).
27. «Проведение доказательства методом исчерпания на основании предварительного решения, полученного без помощи этого метода, было, с точки зрения Архимеда, не серьезной научной заслугой, а простым техническим приемом, которым он владел в совершенстве» (В. Штейн).
28. Выражение, принадлежащее Бонавентуре Кавальери.
29. Решения этой интересной задачи в дошедшем до нас дефектном экземпляре «Эфода» не сохранилось.
30. Или (в декартовых координатах)
x2+y2 = n2arc tg2y/x.
31. Как и в других случаях у Архимеда, не для решения построением, а только для анализа задачи, как осуществимая возможность.
32. Соч., т. VII, стр. 166—167.
33. Из того, что наследник Гиерона Гиероним впоследствии требует, чтобы римляне вернули эти «подарки» обратно, ясно, что они либо были результатом прямого или косвенного вымогательства, либо носили характер займа.
34. См. стр. 26.
35. Подлинность этого сочинения, впрочем, оспаривается некоторыми учеными.
36. 1/2+1/3. Так обозначали египтяне, а вслед за ними и греки число 5/6(1/2+1/3), применяя только дроби с числителем 1. Точно так же, вместо 9/20, говорили и писали 1/4+1/5; 1/3+1/4 обозначало 7/12 «старинной» надписи естественно был применен и старый способ обозначения.
37. Т. е. число черных коров было равно 9/20(1/4+1/5) всего пестрого стада (быков и коров вместе).
38. 1/6+1/7=13/42.
39. Иными словами, сумма белых и черных быков представляет собою квадратное число; общее число быков — треугольное число; число бурых быков с пестрыми — тоже треугольное число [(т. е. 1+2+3+..., см. выше, стр. 18)].
x=az:
z3+2az2—a2z—a3=0.
Это уравнение легко решается пересечением двух кривых 2-го порядка (например, параболы и равносторонней гиперболы); естественно было ожидать, что Архимед укажет на это; как мы видели, арабские математики считали необходимым применение конических сечений.
41. Так, например, в предисловии приват-доцента И. Ю. Тимченко к книге Н. Гейберга «Новое сочинение Архимеда» (Одесса, 1909) дается такой «политический фон» для деятельности Архимеда: «Военачальник Гиппократ, желая захватить власть в свои руки, вступил в сношения с Карфагеном и в угоду своим союзникам приказал умертвить большое число римлян около сицилийского города Леонтия (sic!). Тогда римляне решили завладеть Сиракузами». И всё.
«прогрессивным» или «регрессивным» явлением, мы здесь не занимаемся и заниматься не собираемся. Мы пишем биографию Архимеда, и нас интересует только, как должны были люди его крута реагировать на происходящие события. Именно с точки зрения этих людей мы и излагаем события 216—212 гг.
В изложении же самых фактов мы следуем Карштедту, которого никак нельзя обвинить в пристрастии к карфагенянам: его презрение к карфагенянам, как к семитам, сквозит в каждой строчке его книги.
42. Античная картина (фреска из Геркуланума), изображающая смерть Архимеда, и толкование ее, данное Винтером (Библиогр. указатель, № 40), были мне во время написания этой книги еще недоступны.
43. См. мое предисловие к переводу «Избранных биографий Плутарха», Ленинград, Соцэкгиз, 1941.
44. Следы патриотической антиримской версии сохранились в пересказе Диодора у Цецы. См. выше, стр. 177.
зеркал или комбинаций плоских зеркал. Принципиальная невозможность осуществления такого рода изобретений очень хорошо показана в книге Г. Г. Слюсарева «О возможном и невозможном в оптике» (Изд. Акад. Наук СССР, М.—Л., 1944), знакомство с которой может избавить авторов этих изобретений от напрасной траты времени и сил.
46. Antiqui scriptoris de speculo comburante concavitatis parabolae, ex arabica latine vertit Gongava, Lovanii, 1548. Это редкое сочинение мне недоступно; поэтому я не могу судить, на чем основано приписывание его Архимеду. Обычно считают, что оно не могло принадлежать Архимеду, потому что в нем упоминается Аполлоиий; как мы видели, этого довода недостаточно.
47. De speculo ustorio ignem ad propositam distantiam generante, Parisiis, 1551.
48. Lo Specchio Ustorio, ovvero Trattato delle settione coniche e alcuni loro mirabili effetti intorno al lume, caldo, freddo, suoni e molto ancora. Bologna, Ferroni, 1632.
49. Ath. Kircherus. Ars magna lucis et umbrae in decem libros digesta. Romae, 1646 (книга Х, задача IV).
«Нет народа, который так мало был бы расположен к научным математическим рассуждениям, как римляне». Статья Kenneth Scott, Roman Opposition to Scientific Progress (Classical Journal, 29, 1933/34, стр. 615 и сл.) мне недоступна.
51. Вопроса об индийской математике я здесь не касаюсь, ибо до сих пор остается спорным, развивалась ли она самостоятельно или под влиянием греческой. Здесь уже в 471 г. н. э. Арьябхатта нашел для p величину, много более точную, чем Архимед, определив периметр 384-угольника (3,1416). Однако ничего нового в метод Архимеда он не внес, и поэтому можно думать, что ему уже был известен метод Архимеда, тем более что индусам было известие и архимедово «неточное значение для p» (31/7).
52. В 1657 г. Гревсом и Форстером в Лондоне, в 1661 г. — Авраамом Эхельским во Флоренции.
53. Значительная часть арабских рукописей, до сих пор еще не изучена и не переведена европейскими учеными. Поэтому можно надеяться, что сочинение о семиугольнике — не последнее опубликованное сочинение Архимеда и что в будущем нам станет доступным и ряд других его сочинений.
54. Точным значением π считали 3 1/7
55. 
56. Скалигер уверял, что уже периметр вписанного в круг 12-угольника больше окружности этого круга.
57. См. стр. 350 и сл. моего перевода.
58. См. мое предисловие к переводу «Геометрии» Кавальери (Москва, 1940); мои статьи: «Эйлер и его «исчисление нулей» (в сборнике «Эйлер», изд. Акад. Наук, 1936); «Предшественники Ньютона в философии бесконечно малых» (в сборнике «Исаак Ньютон», изд. Акад. Наук, 1943).
ür Mathematik und Physik, historisch-litterarische Abteilung я буду обозначать сокращенно — ZfMPh.