Приглашаем посетить сайт

Лурье С. Я.: Архимед
Глава вторая. «Начала» и «Конические сечения» Евклида

ГЛАВА ВТОРАЯ

«Начала» и «Конические сечения» Евклида

Еще задолго до возникновения греческих государств наука древнего Востока овладела целым рядом отраслей математики. Египтяне и вавилоняне умели решать задачи на уравнения первой и второй степеней, на равенство и подобие треугольников, на арифметическую и геометрическую прогрессии, на определение площадей треугольников и четырехугольников, объема параллелепипедов и т. д. Они знали точные формулы для определения суммы квадратов последовательных чисел, начиная от 1, объема цилиндра, конуса, пирамиды и даже усеченной пирамиды, хотя нам до сих пор не ясно, как они к этим формулам пришли. Были у них в ходу и приближенные формулы, например для определения площади круга, а у вавилонян — всякого рода таблицы (таблицы умножения, обратных величин, квадратов, кубов, таблицы решений для кубичного уравнения типа x³+x²=n и т. д.). Но характерным для этой древневосточной математики было то, что здесь прежде всего интересовались нахождением или отгадыванием любым способом правильного решения, запоминанием и практическим применением его. До нас {13} не дошло ни в одном древневосточном памятнике доказательства того или иного математического положения; мы имеем только готовые рецепты для решения задач: «возьми то-то», «сделай то-то». Эти рецепты передавались из поколения в поколение; новые поколения ученых находили рецепты для решения новых задач, но как они пришли к ним, оставалось их профессиональной тайной.

Греки первой половины V в. вряд ли сколько-нибудь значительно расширили круг вопросов, которыми занималась математика Востока. Но направление их интересов было совершенно другое: их волновал прежде всего вопрос, откуда взяты эти по виду такие простые и в то же время такие неожиданные решения, как доказать, что эти решения верны, как установить, во всех ли случаях они верны, и если не во всех, то в каких именно. Основными элементами, которые несомненно характеризовали уже древнейшие математические работы греков, были: постулаты — положения, которые, как непосредственно очевидные, предлагается принять на веру (αιτήματα), доказательства (άποδείξεις), решения задач (λυσεις) и определение условий, при которых данное решение имеет смысл и остается верным (διορισμοί). В соответствии с образным типом мышления греков ведущей математической дисциплиной у них стала геометрия. Исключая наиболее простые, «непосредственно очевидные», арифметические задачи, все вопросы математики старались осмыслить геометрически: вместо произведения говорили «площадь», вместо произведения числа на самое себя — «квадрат» (выражение, сохранившееся до нашего времени). Графическая, геометрическая интерпретация выражений, вроде

(a+b)²=a²+2ab+b²,

нас не может удивить, ибо такая интерпретация обычна в нашей школе. Интереснее античная процедура решения квадратного уравнения

x²+ax=m².

Задача формулировалась так: к данному отрезку АВ (равному a) приложить такой прямоугольник, чтобы, имея {14} избытком квадрат (одной высоты с ним), он был равновелик данному квадрату (со стороной m).

Решается эта задача так (фиг. 1): Отрезок АВ (=а) делят пополам в точке С. В точке С восстанавливают перпендикуляр CD, равный АС, и достраивают квадрат AEDC. Кроме того, строят прямоугольный треугольник, один катет которого ΜΝ = т, другой ΝΡ = a/2. От точки D

Фиг. 1.

в сторону точки С откладывают отрезок DF, равный гипотенузе МР, из F проводят прямую FG, параллельную АВ, до пересечения с продолжением диагонали AD в точке G; АВВ₁А₁ есть искомый прямоугольник. В самом деле, достроим квадрат КА и прямоугольник LA.

DF — сторона квадрата DFGL, по построению равна

значит, площадь этого квадрата равна m²+(a/2)². CD — сторона квадрата AEDC, по построению равна AB/2=a/2; площадь квадрата AEDC равна (a/2)²LGFCAE, так называемого гномона, очевидно, равна квадрату DFGL минус квадрат AEDC = т²+(a/2)²—(a/2)²=m². Но прямоугольник KALE равен прямоугольнику CBB₁F; поэтому гномон равен фигуре KBB₁G. {15}

Итак, на отрезке АВ = а построен такой прямоугольник АВВ₁А₁, что при прибавлении к нему квадрата KGA₁A одной высоты с ним он равняется по площади m², что и требовалось сделать.

С другой стороны, греческие геометры требовали, чтобы все предлагаемые построения были осуществимы, а поскольку унаследованными с востока геометрическими инструментами были линейка (κάνων) и циркуль (διαβήτης), требовалось, чтобы их можно было осуществить при помощи циркуля и линейки.

τόποι). Например, если искомая точка должна лежать на заданном расстоянии d от данной точки A, то ее τόπος’ом будет окружность радиуса d с центром в А; если требуется, чтобы точка лежала на расстоянии k от прямой MN, то ее τόπος’ом будет прямая, параллельная ΜΝ и отстоящая от нее на k. Если же требуется, чтобы искомая точка удовлетворяла обоим указанным условиям, то она должна лежать на пересечении обоих τόποι.

В V в. авторы математических работ еще не видели в читателе строгого критика, который подкарауливает их, следит за каждым их шагом и готов придраться к каждой их ошибке. Они писали для узкого круга своих учеников и друзей, привыкших к их ходу мысли. Их основной целью было показать, кáк они пришли и как вообще можно придти к тем или иным выводам, развить в своих читателях математическую интуицию и умение проверять найденные решения. Для них было достаточно того, что их ученики понимают, чтó они хотят сказать. Так, например, живший еще в VI в. Фалес, по преданию, доказывал теорему, что диаметр делит круг на две равные части, таким образом: диаметр есть прямая, т. е. такая линия, которая во всех частях имеет одно и то же направление (χώρησις) к центру. Если бы диаметр в какой-нибудь точке залез в верхнюю половину круга, то в этой точке он имел бы сначала направление вверх, а затем вниз и, следовательно, не был бы одной прямой линией. По тем же причинам он не может залезть, и в нижнюю половину круга; значит, он делит круг на две равные части. Такое рассуждение, конечно, никак {16} не является отчетливым и строгим, но, что хочет сказать автор, понятно.

a

b

c

Таблица 3. Геометрическое суммирование утроенного ряда 1²+2²+3²+4²+5²

С бóльшими трудностями пришлось встретиться греческим геометрам при доказательстве формул для площади круга и эллипса и для объема пирамиды, конуса и шара. Здесь пришлось отправляться от таких постулатов, которые, как замечал Архимед, «далеко не всем могли казаться очевидными»: именно, что всякая линия состоит из «точек», точнее, прямолинейных отрезков чрезвычайно малой длины; что, накладывая прямые линии чрезвычайно большое число раз друг на друга, получим плоскость, а накладывая плоскости чрезвычайно большое число раз друг на друга, получим тело. При таких постулатах круг оказывался многоугольником с чрезвычайно большим числом сторон, конус — пирамидой с таким «бесконечноугольником» в основании, шар — многогранником с чрезвычайно большим числом граней и т. д. Этот же постулат давал право утверждать, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равновелики: если каждая пирамида «состоит» из чрезвычайно большого числа все уменьшающихся плоских многоугольников, наложенных друг на друга, то каждый многоугольник в одной из пирамид равновелик соответствующему многоугольнику в другой пирамиде, находящемуся на такой же высоте; а если так, то равновелики и «суммы» всех многоугольников, заключенных в одной и другой пирамидах, а следовательно, равны друг другу и объемы пирамид. Параллелепипед не трудно разбить на три пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты. Следовательно, объем пирамиды равен трети объема призмы с равновеликими основанием и высотой, а значит, этот объем равен трети произведения площади основания на высоту. Точно так же при этих предпосылках не трудно доказать, что площадь круга, т. е. «бесконечноугольника», равна половине произведения его периметра на радиус, а объем шара, т. е. «бесконечногранника», — трети произведения его поверхности на радиус; круг рассматривался как совокупность чрезвычайно узких треугольников, а шар как совокупность чрезвычайно узких пирамид, с вершинами в центре круга или шара и с высотами, равными радиусу.

Эллипсом занимались уже древние египтяне, и можно {17} не сомневаться, что он был уже известен грекам в V в. но не как коническое сечение, а как «сплющенный круг». Это видно из четвертого предложения архимедова сочинения «О коноидах и сфероидах», где основным свойством эллипса еще считается то, что он соединяет точки деления всех ординат круга, разделенных в определенном отношении. При таком определении не трудно найти площадь эллипса. Круг и эллипс «состоят» из ординат, тесно приложенных друг к другу; каждая ордината круга относится к соответственной ординате эллипса, как m: n; поскольку в пропорции сумма предыдущих относится к сумме последующих, как каждое предыдущее к каждому последующему, «сумма» ординат эллипса, т. е. его площадь, относится к «сумме» ординат круга, т. е. к его площади, как п: т, или как его малая ось к большой. Вот почему, когда Архимед в предисловии к «Квадратуре параболы» (см. стр. 109) говорит, что площадь эллипса (эллиптического сегмента) прежде находили, «исходя из вряд ли допустимых предпосылок», то можно быть уверенным, что он имеет в виду именно это решение, при котором эллипс рассматривается как совокупность «всех его ординат».

прогрессии, но и ряд а²+(2а)² + (3а)² + ... Как я доказываю в другом месте, суммирование рядов 1+ 2 + 3 + ... и 1² + 2² + 3² + ... производилось в это время наглядным геометрическим путем (фиг. 2 и табл. 3). Если принять за 1 каждый из квадратов, изображенных на фиг. 2, то книзу от ломаной линии находятся: в верхнем ряду 1 квадрат, во втором 2, в третьем 3 и т. д., т. е. перед нами сумма 1+ 2 + 3... + n. Над ломаной линией находится как раз такой же величины фигура, а обе они вместе представляют собою прямоугольник со сторонами п и п + 1. Площадь всего прямоугольника п(п+1), а каждой из сту-{18}пенчатых фигур n(n+1)/2. Такова сумма ряда 1 + 2 + 3...+ n. Точно так же на прилагаемой таблице изображена ступенчатая пирамида. Если принять за 1 каждый куб, из которых она составлена, то в верхнем слое 1 такой куб, во втором слое, имеющем в два раза бóльшую ширину и длину, 2´2 таких куба, в третьем слое, имеющем в три раза большую ширину и длину, 3´3 таких куба, а всего 1² + 2² + 3² ... + п. Если сложить три такие ступенчатые пирамиды способом, изображенным на табл. 3b и 3с, то получим: а) параллелепипед со сторонами п, п и п + 1, к которому сверху добавлено еще б) ступенчатое тело, имеющее высотой 1, а основанием ступенчатую фигуру, изображенную на фиг. 2. Площадь ее, как мы видим, равна n(n+1)/2. Итак, объем всего этого тела

n²(n+1)+n(n+1)/2=(2n³+3n²+n)/2,

а объем каждой ступенчатой пирамиды, т. е. сумма ряда 1² + 2² + 3²... + n, в три раза меньше, или (2n³ + 3n² + n)/6.

Из знаменитого парадокса Зенона (середина V в. до н. э.) можно сделать вывод, что уже его противники занимались суммированием ряда — ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ ..., и ставили вопрос о том, что получится, если продолжать это суммирование до бесконечности. Содержащееся у Евклида решение этой задачи для «сколь-угодно большого» числа членов заставляет предположить, что его предшественники-атомисты делали вывод, что при продолжении этого ряда до его конца мы придем к такому результату, когда разность между 1 и суммой членов этого ряда равна одному неделимому; а так как в мире чувств одной неделимой при сложении с конечным числом можно пренебречь, то в мире чувств сумму членов этого ряда можно считать равной 1. Точно так же из архимедова суммирования рядов a + 2a + 3a + 4a... и а² + (2а)² + (3а)²п сверхчувственно велико; тогда в формуле S_n = ((na)² + na)/2 членом первой степени можно пренебречь по сравнению с квадратом, и мы получим S_n = (na)²/2 в формуле

S_n = (2(na)³ + 3(na)² + na)/6;

квадратным членом и членом первой степени можно подобным же образом пренебречь по сравнению с кубичным,и мы получим

S_n = (na)³/3,

т. е. когда ступенчатый треугольник вследствие чрезвычайной малости ступеней в мире чувств превратится в треугольник, то квадрат со стороной па окажется равным двум треугольникам с таким же основанием и высотой, а когда ступенчатая пирамида вследствие чрезвычайной малости ступенек в мире чувств превратится в пирамиду, то куб со стороной па окажется равным трем пирамидам с такими же основанием и высотой.

Мы не можем здесь останавливаться на спорах, разгоревшихся в V в. по вопросу об этом методе примитивного интегрирования. Укажу только, что наиболее последовательной и продуманной математической системой, построенной на этом принципе чрезвычайно малых частиц, была система Демокрита из Абдеры, жившего во второй половине V в., и его последователей-атомистов.

Не следует смешивать атомизм как физическое учение с математической теорией атомистов. Атом представляет собою, по мнению Демокрита, сплошную частицу массы самой различной формы; внутри нее отсутствует пустота, и она абсолютно тверда; поэтому атом нельзя разрезать или разделить никаким инструментом, но потенциально, в воображении, его можно, конечно, делить. Атомы вовсе не должны обязательно быть чрезвычайно малыми. Между атомами находятся промежутки пустоты. Эти физические атомы можно (только в уме, в воображении, теоретически) разделить на неделимые частицы —{20} амеры. Эти амеры имеют минимальное протяжение, лишены формы, не имеют верха, низа, переда, зада и т. д.; амеры неделимы даже в воображении. На этих-то амерах и строится математическая теория атомистов.

Руководясь своеобразным методом неделимых, Демокрит, как впоследствии указывал Архимед, нашел, что объем пирамиды равен трети произведения основания на высоту. Можно быть уверенным, что он знал уже, указанные выше формулы для отношений площади круга к его окружности (она известна его современнику Гиппократу из Хиоса) и объема шара к его поверхности (формула для поверхности шара ему не была еще известна, ее впервые открыл Архимед).

Этот способ интегрирования, разумеется, не был достаточно строгим с математической точка зрения и при недостаточно осторожном пользовании им мог приводить к грубым ошибкам. Возьмем такой пример: пусть треугольник, согласно указанному принципу атомистов, состоит из тесно приложенных друг к другу прямых, параллельных одному из катетов. Каждая такая прямая пересечёт другой катет и гипотенузу в точке. Если весь треугольник состоит из таких прямых, то этот катет и гипотенуза будут состоять из точек. Но ясно, что таких точек одинаковое число и на катете и на гипотенузе, ибо число их равно числу параллельных прямых. Выходит, что катет равен гипотенузе. Враги атомистов выдвигали целый ряд таких возражений; многие из них атомисты опровергали весьма убедительно; в других случаях это было труднее.

— мельчайшие неделимые частицы материи, движущиеся по законам необходимости, без всякого вмешательства каких бы то ни было высших сил и без всякой предустановленной цели, казалось идеологам аграрной аристократии верхом безбожия и анархизма. К началу IV в. афинская демократия потерпела поражение; началась общая умственная реакция, и аристократическая идеология стала господствующей. Бесконечные по числу и в принципе равноценные между собою атомы, носящиеся в пространстве и образующие мир в силу общих и равных для всех законов, давали как бы идеологическое обоснование демократическому государству с его {21} многочисленными и в принципе равноценными между собою гражданами, управляющими государством на основании общих и равных для всех законов. В эпоху, когда во главе государств становятся отдельные сильные индивидуумы, опирающиеся на наиболее богатых и влиятельных граждан и управляющие государствами по своему усмотрению, такое учение стало рассматриваться как вредное и антигосударственное. Платон, создавший первоосновы для идеалистической философии эллинистической эпохи, не только вел в своих произведениях ожесточенную борьбу с материализмом, но и скупал, где только мог произведения Демокрита и сжигал их. Ученик Платона Аристотель написал целый ряд произведений по философии естествознания, основная цель которых — опровержение материализма и прежде всего демокритова атомизма. Результатом этой энергичной деятельности было то что произведения Демокрита стали редкими и малодоступными. Широкие круги читающей публики знали о них лишь понаслышке со слов идеалистических философов; читались они только в узком кругу последователей Демокрита и близких к атомистам эпикурейцев.

Особенно легкой и убедительной была борьба с атомистами в области математики, ибо здесь предпосылки атомистов действительно «не обладали необходимой в математике очевидностью» и приводили иногда к ошибочным выводам. Последним словом в математике V в. было открытие иррациональных, несоизмеримых величин, тогда как с точки зрения атомистической математики никаких несоизмеримых величин существовать не может, ибо неделимое является общей мерой всех величин. Доводы, выставленные математиками идеалистического лагеря, казались неопровержимыми, и математика атомистов быстро вышла из моды и была предана забвению.

Новая математика выросла на фоне яростной, ожесточенной борьбы с материализмом; поэтому способы аргументации в ней были совершенно иными, чем в математике V в. Математик этого времени не видит уже в читателе своего друга и ученика, безусловно доверяющего ему, которого он хочет ввести в самые сокровенные методы нахождения и доказательства математических решений. Нет, математик этой эпохи смотрит на читателя, как на насто-{22}роженного противника, готового ухватиться за всякую ошибку, за всякое произвольное или плохо сформулированное утверждение автора. Меньше всего этот автор расположен делиться с читателем секретами своего производства — как он дошел до той или иной мысли, откуда он взял то или иное решение; до этого читателю не должно быть дела. Важно путем цепи силлогизмов загнать читателя в угол и заставить его — хочет он этого или не хочет — признать, что предлагаемое ему решение, откуда бы автор его ни взял, единственно возможное и правильное.

Не удивительно, что с этого времени авторы математических книг черпают свою аргументацию из практики уголовного судопроизводства. Уголовный преступник, выступающий с защитительной речью перед судом, не может рассчитывать на особенное доверие слушателей. Если он попросту расскажет, как было дело, ему никто не поверит; он должен подробно разобрать перед публикой постулированную обвинителями картину преступления и доказать, что она по самому ходу вещей невозможна, абсурдна. Примеров такого рода аргументации сколько угодно в античных судебных речах.

Так же поступает и античный математик. Я, говорит он, утверждаю, что величина А равна В. Вы, конечно, мне не верите и думаете, что А больше или меньше В. Допустим на минуту, что А больше В (argumentum а contrario — доказательство от противного). Сделав такое допущение, мы делаем из него цепь логических выводов и в результате приходим к невозможному, нелепому выводу, например, к пропорции, в которой левое отношение больше единицы, а правое — меньше, к треугольнику, у которого катет больше гипотенузы, и т. д. Теперь я допускаю, что А меньше В. Это допущение также приводит к абсурду. Эти абсурдные выводы могли получиться только потому, что сделанное допущение не верно. Значит, А не может быть ни больше В, ни меньше В. Итак, остается один вывод, что А равно В, а это и требовалось доказать. Такой способ аргументации называется reductio ad absurdum (приведение к нелепости).

Влияние адвокатской практики и красноречия софистов дало важные положительные результаты: аргументация стала более строгой, основанной на правильных {23} и точных, научно безукоризненных определениях. Математика перестала быть связанной с определенной философской, моральной или политической системой: ее выводы стали

Тем не менее способ reductio ad absurdum, этот способ доказательства, делающий излишними какие бы то ни было «недостаточно очевидные» предпосылки, вроде предпосылки о существовании неделимых частиц, и приводящий к неопровержимым выводам, имеет два существенных недостатка.

Во-первых, будучи хорошим орудием для проверки и доказательства результата, уже заранее известного или угаданного, он не годится для нахождения новых, еще не известных решений.

Во-вторых, этот метод скорее огорашивает читателя, чем развивает его ум. Читатель не знает, откуда взято это свалившееся, как снег на голову, решение и откуда он сам возьмет такое решение в других случаях. Он не получает сколько-нибудь отчетливой картины взаимосвязи между отдельными истинами.

В ряде своих частей эта новая геометрия по существу мало чем отличалась от математики V в.: те же постулаты, основанные якобы на очевидности, те же теоремы, те же следствия из этих теорем. Но всякого рода расчеты величины тех или иных линий, фигур и тел под влиянием идеалистической философии изгоняются из геометрии в учебники прикладной арифметики — логистики; геометрия теперь учит только об отношениях различных величин, а не об измерении их.

В связи с этим особое значение получает учение о пропорциях. Так как определять величину искомого отрезка, площади или объема не рекомендуется, то приходится прибегать к нахождению очень сложных отношений между величинами, а это достигается преобразованием пропорций. Мы отметим здесь важнейшие из этих преобразований, но, вместо греческих, даваемых Евклидом, приведем здесь для удобства читателя более поздние латинские названия.

1. Перестановка средних членов — permutando.

Если

a : b = c : d,

то

а : с = b : d.

2. Переворачивание — convertendo.

Если

a : b = c : d,

то

b : a = d : c.

3. Образование суммы — componendo.

Если

a : b = c : d,

то

(a+b): b = (c+d): d.

4. Образование разности —

Если

a : b = c : d,

то

(a—b): b = (c—d): d.

5. Ut omnes ad omnes, ita unus ad unum (как все [предыдущие] ко всем [последующим], так один [предыдущий] к одному [последующему]).

Если

а : b = c : d = e : f = g : h,

то

а : b = (а + с + е + g): (b + d + f + h).

Резкое расхождение между старой и новой математикой начиналось там, где старая математика принуждена была постулировать неделимые, чрезвычайно малые элементы. Здесь-то новая математика и прибегает к reductio ad absurdum.

При этом математики IV и III вв. положили в основу своих рассуждений не демокритово разложение на элементы, каждый из которых чрезвычайно мал, а своеобразный метод, примененный софистом Антифонтом, последователем Демокрита, жившим во второй половине V в. Средневековый еврейский ученый XV в. Альфонсо в своей {25} книге «О квадратуре круга» ¹ сообщает об этом методе следующее:

«Антифонт вписывал в круг прямолинейную фигуру (имеется в виду правильный многоугольник. — С. Л.), после чего он делил пополам каждую дугу, прилегающую к каждой из сторон фигуры. Затем он соединял концы каждой дуги хордой. Он не переставал поступать так с каждой из дуг, пока не приходил к выводу, что путем деления он достиг тех частиц, из которых состоят как прямая, так и окружность круга. Однако, как сказал Аристотель, это находится в противоречии с основными положениями геометрии, так как, согласно этим основным положениям, линия не состоит из точек и величины могут быть делимы до бесконечности».

Итак Антифонт наивно полагал, как впоследствии, в конце XII в., Скалигер (см. стр. 247), что путем последовательного удвоения числа сторон вписанного многоугольника можно в конце концов дойти до окружности круга и точно определить длину окружности или площадь круга. Конечно, здесь речь не могла идти о нахождении приближенной длины круга путем вычерчивания многоугольника, который на глаз совпадет с окружностью. Антифонт говорит о том, что удваивание должно продолжаться до тех пор, пока исследователь не дойдет «до тех минимальных частиц, из которых состоят как прямая, так и окружность», а ему не могло не быть ясно, что эти частицы лежали далеко за пределами того, что достигается зрением.

Какой же критерий мог быть у исследователя, для того чтобы утверждать, что он после ряда последовательных вычислений уже достиг этих частиц? Мне кажется, что вероятнее всего следующее: он удваивал число сторон не только вписанного, но и описанного многоугольника и продолжал эту операцию до тех пор, пока не обнаруживалось, что периметры (или площади) одноименных вписанных и описанных многоугольников оказывались равными друг другу²; это должно было служить доказательством того, что исследователь достиг того многоугольника, {26} каждая сторона которого является частицей окружности и который, следовательно, полностью совпадает с кругом. Если это мое предположение верно, то нововведение, внесенное впоследствии Архимедом в метод исчерпания, заключавшееся в том, что для кривой берутся не только нижняя, но и верхняя границы, состоящие из отрезков прямых линий, было не его выдумкой, а только развитием наивного софистического приема Антифонта.

с целью, как он выражался, «исчерпать» или «израсходовать» (δαπαναν) все пространство внутри круга. Вместо суммирования элементов, каждый из которых был меньше любого конечного числа (как поступал Демокрит), теперь вслед за Антифонтом суммируют элементы, из которых первый — конечная, вовсе не малая величина, а дальнейшие уменьшаются по определенному принципу, пока не становятся в конце концов меньше любого конечного числа (обычно каждый последующий элемент меньше предыдущего в два или «более чем в два» раза). Далее доказывают путем reductio ad absurdum, что площадь, ограниченная кривой, не больше и не меньше определенной величины, причем для доказательства второй части такой теоремы не прибегают к описанному многоугольнику, а просто переворачивают пропорцию, полученную при доказательстве первой части.

Фиг. 3

Для примера рассмотрим вкратце содержащееся в «Началах» Евклида (кн. XII, предл. 2) доказательство того, что площади кругов относятся, как квадраты их диаметров. В основу своего доказательства Евклид кладет предл. 1, кн. X: «Если даны две неравные величины и если мы от большей из них отнимем половину или более, чем половину, и от полученного остатка половину или более, чем половину, и будем продолжать этот процесс и дальше, то в остатке получится величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин». Доказательство этой вспомогательной теоремы хотя и не является доказательством от противного в прямом смысле слова, но все же представляет собою типичный обход атомистического доказательства, когда {27} окончательный результат заранее известен. Автор исходит из основной аксиомы этой новой геометрии: всякая величина, будучи складываема сама с собой, раньше или позже станет больше любой заданной конечной величины. Пусть дана (фиг. 3) величина АВ:

надо доказать, что если от нее отнять половину или больше, от остатка половину или больше и т. д., то в конце концов получим остаток, меньший, чем любая данная величина с. Для доказательства этой теоремы прибегают к такому обходному способу; отрезок с прибавляют к самому себе до тех пор, пока не получится отрезок DE, больший АВ. Теперь отнимем от АВ половину больше, от остатка половину или больше и т. д. и будем повторять этот процесс столько раз, сколько раз с содержится в Е. Не трудно видеть, что каждый раз как мы отнимаем такие части от АВ, а от DE соответственно отнимаем с, на АВ остается меньший отрезок, чем на DE, так что, когда на DE останется с, на АВ останется меньше, чем с.

Пусть даны два круга: ABCD и EZHG. Надо доказать, что

ABCD : EZHG = BD²: ZG², {28}

Пусть это неверно, тогда

BD²: ZG² = ABCD: S,

где S либо меньше, либо больше EZHG.

Допустим сперва, что S меньше EZHG. Впишем в круг EZHG квадрат. Площадь его равна половине квадрата, описанного вокруг круга EZHG, а значит она больше половины площади круга. Построим на каждой стороне вписанного квадрата равнобедренный треугольник с вершиной на круге. Площадь этого треугольника равна половине площади прямоугольника, построенного на той же стороне квадрата, как указано на чертеже. А значит его площадь больше половины площади кругового сегмента. Площадь же четырех таких треугольников, построенных на всех четырех сторонах, больше половины всей разницы между площадью круга и площадью вписанного квадрата. Если на каждой из сторон образовавшегося вписанного многоугольника опять построим таким же образом по треугольнику, снова прибавится площадь, которая больше половины оставшейся разницы между площадью круга и площадью вписанного многоугольника. На основании указанного выше предл. 1 книги Х эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока разница между вписанным многоугольником и окружностью не станет меньше, чем разница между S и окружностью. Тогда окажется, что этот вписанный многоугольник О₂ больше, чем S. Теперь в круг ABCD впишем многоугольник О₁, подобный многоугольнику О₂. Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты диаметров описанных вокруг них кругов, поэтому 

O₁ : O₂ = BD²: ZG² (1)

Но мы допустили, что 

окр. ABCD: ²: ZG² (2),

откуда 

O₁ : O₂ = окр. ABCD: S (3),

или, переставляя средние члены пропорции (permutando), 

O₁: окр. ABCD = О₂: S (4).

{29}

Но O₁, площадь многоугольника, меньше ABCD, площади описанной вокруг него окружности, а O₂, как мы только что показали, больше S. Итак, знаменатель левого отношения <1, а правого >1, что абсурдно. Значит S не может быть, как мы предположили, меньше EZHG.

Теперь предположим, что S больше EZHG.

Тогда, оборачивая (convertendo) пропорцию (2), получим 

S : ABCD = ZG²: BD²  (5)

Пусть 

S : ABCD = EZHG : x (6),

или,

S : EZHG = ABCD : x.

Поскольку, согласно предположению, S > EZHG, очевидно, x < ABCD. Но из (5) и (6)

ZG²: BD² = EZHG : x.

Откуда, согласно (1),

О₂ : O₁ = EZHG : x,

permutando,

O₂ : EZHG = O₁ : x.

На основании доказанного выше, площадь многоугольника при многократном удвоении числа сторон может быть сделана больше любого x (если x<ABCD, а это доказано). Итак O₂<EZHG, а O₁>x, что также невозможно.

Значит S не больше и не меньше, чем EZHG, а следовательно, оно равно EZHG, что и требовалось доказать.

пока оно не «исчерпается». Поэтому такой метод и получил название метода исчерпания. Основателем его считают математика платоновской школы Евдокса.

Не трудно убедиться в огромных принципиальных преимуществах этого нового метода. Здесь впервые в ос-{30}нову инфинитезимальных выкладок кладется понятие континуума; вместо совокупности недоступных чувствам «неделимых», т. е. вместо метафизической по существу предпосылки, исследователь орудует с рядом конечных величин, уменьшающихся непрерывно по определенному закону. Излишне говорить, какое огромное влияние оказал этот новый метод на нынешнюю математику. Но адвокатский способ изложения и сокрытие от читателя евристической процедуры, приведшей к решению, имели результатом то, что только исключительно даровитый читатель мог понять, что речь идет о переменной величине, все более и более приближающейся к пределу. Понятия «предел» античная математика вообще не вводила, и пропасть между последним из взятых конечных членов ряда и пределом благодаря приему reductio ad absurdum, оставалась ничем не заполненной. Новый метод не обогатил геометрию ни одной новой истиной; для строгого доказательства каждого из положений, доказанных нестрогим путем математики атомистов, снова и снова повторялась длинная и скучная процедура исчерпания.

Вся эта большая работа в области геометрии, проделанная математиками идеалистических философских школ в IV в. и базирующаяся в свою очередь на математике атомистов V в., была подытожена и систематически изложена в «Началах» (Στοιχεΐα) Евклида. В труде Евклида было мало оригинального; в области теоретически-методологической он базировался главным образом на исследованиях Евдокса. Но книга его отличалась исключительной четкостью, строгостью и обстоятельностью; все, что было существенного в трудах предшественников Евклида, было здесь собрано. Вот почему книга Евклида быстро вытеснила все геометрические «Начала», бывшие в ходу до него; когда, например, Архимед ссылается на «Начала», не называя автора, он всегда имеет в виду Евклида. Подобно тому как Гомер стал поэтом par excellence и когда говорили просто «поэт» (ό ποιητής) всегда имели в виду Гомера, так и выражение ό στοιχειωτής, «творец Начал», стало означать Евклида. В книге Евклида были, если угодно, и философская направленность и художественная законченность: ее конечной целью и результатом было исследование правильных многогранников, игравших такую {31} видную роль в платоновском учении об идеях, изложенном в «Тимее».

Но был ряд проблем, решение которых не требовало для своего обоснования ни недозволенных предпосылок о неделимых, ни метода исчерпания; однако эти проблемы при помощи циркуля и линейки решены быть не могли. В самом деле, при помощи циркуля и линейки могут быть решены только задачи, сводящиеся к уравнениям первой и второй степеней, а в течение V в. греческая геометрия поставила уже ряд задач, сводящихся к уравнениям третьей и более высоких степеней.

Такими задачами были — не говоря о квадратуре круга, которая не может быть разрешена и при помощи уравнений высших степеней с конечным числом членов — удвоение куба («делосская» задача) и трисекция угла, наиболее модные вопросы в геометрии второй половины V в. Все попытки разрешить эти задачи при помощи применявшихся до тех пор так называемых плоских (επίπεδοι) геометрических мест (кругов и прямых) не приводили ни к какому результату. Для решения этих задач идут двумя путями: с одной стороны, по пути изобретения геометрических инструментов, более сложных, чем циркуль, с другой — в связи с развитием стереометрии — по пути объемных (στερεοί) геометрических мест, т. е. вместо пересечений линий (прямых с окружностями) ищут пересечения поверхностей (плоскостей с цилиндрами, конусами и шарами) и таким путем приходят к нахождению и пересечению кривых второго порядка.

Приборы для вычерчивания более сложных кривых употребляются и в наше время; вспомним хотя бы упоминаемый во всех элементарных учебниках прибор для вычерчивания эллипса, основанный на том его свойстве, что сумма фокусных расстояний равна постоянной величине (большой оси).

Таблица 4.

Геометры античности ввели в обращение целый ряд таких приборов. Здесь я остановлюсь только на одном приборе, изобретенном другом Архимеда Эратосфеном для нахождения двух средних пропорциональных (μεσότητες) между двумя данными величинами, ибо к этой задаче сводится уже упомянутая задача удвоения куба. В самом деле, задача удвоения куба сводится к геометрическому реше-{32}нию уравнения

х³/a³ = ²/₁,

а это частный случай уравнения

x³/a³ = m/n.

Если мы положим 

m/y = y/z = z/n (1), 

т. е. будем искать два средних пропорциональных у и z между т и n, то будем иметь 

(2)

но в силу (1)

(3)

откуда

m/y = x/a,

что и требовалось найти.

Эратосфен устроил (фиг. 5) прибор «месолаб» (т. е. «Уловитель средних величин»), состоящий их трех равных друг другу прямоугольных треугольников любых размеров; из них

Фиг. 5

один закреплен неподвижно, а два других передвигаются вправо и влево по параллельным друг другу каналам BD и АС (по верхнему движется катет, по нижнему — противоположная ему вершина). На вертикальном катете одного из подвижных треугольников отложим {33} снизу отрезок LX так, чтобы АВ : LX = т: п. Теперь будем двигать оба подвижных треугольника до тех пор, пока точки К и Μ В и X. Тогда из подобия ∆BFA и ∆KFG

АВ/KF = AF/FG = BK/КМ.

Но из подобия ∆ BFK и ∆ KMG

ВК/KM = KF/MG ,

откуда

AB/KF = KF/MG.

Точно так же из подобия ∆KFG и ∆MGL

KF/GM = FG/GL = KM/MX.

Но из подобия ∆KMG и ∆МХL

= MG/XL ,

откуда

AB/KF = KF/MG = MG/XL ,

а следовательно, по доказанному выше,

MG³/XL³ = AB/XL = m/n ,

что и требовалось найти.

При стороне XL, равной стороне данного куба, и при АВ, равной 2XL, отрезок MG, очевидно, будет стороной удвоенного куба.

До Эратосфена применялся более простой инструмент. Задачу сводили к построению отрезка данной длины, лежащего между двумя линиями (прямыми или окружностями), причем продолжение его должно проходить через {34} данную точку. Для этого построения на линейку наносили две точки, расстояние между которыми равнялось данному; затем накладывали одну точку на первую из двух линий, другую — на вторую и двигали линейку (так чтобы обе точки оставались на этих линиях) до тех пор, пока линейка не пройдет через данную точку. Тогда задача удвоения куба без труда сводилась к построению отрезка данной длины, лежащего между двумя взаимно перпендикулярными прямыми, продолжение которого проходит через данную точку. Этот прием носит в греческой науке название νεΰσις («наклонение»); мы встретимся с ним у Архимеда.

Однако характерно для греческого гения, что греки не остановились на такого рода практических решениях трудных математических вопросов, а стремились обобщить и исследовать их, сводя их к геометрическим местам и их пересечению. При этом пришлось пойти по второму пути, по пути изучения объемных (см. стр. 32) геометрических мест «пространственными»),

Свидетельства об Архите, пифагорейском математике начала IV в., показывают нам³, что первоначально эти задачи действительно решались путем построения пересекающихся между собою плоскостей, цилиндров, конусов и т. п. Однако при этих построениях последователи Архита — Менехм и Евдокс — убедились в том, что при пересечении этих поверхностей между собой получается несколько определенных типов кривых и что поэтому, если изучить свойства этих кривых, громоздкую процедуру построения тел можно заменить вычерчиванием по определенным правилам этих кривых. Поскольку эти кривые получились из пересечения тел между собой, они и получили название объемных (στερεοί) геометрических мест.

Все различные кривые, получающиеся таким путем, можно получить из сечения трех типов конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей. Кривую, получающуюся из сечения тупоугольного конуса (т. е. конуса {35} с тупым углом при вершине в осевом сечении), назвали «сечением тупоугольного конуса»; соответственно и две другие кривые были названы «сечением прямоугольного конуса» и «сечением остроуголпного конуса». Так называет эти сечения и Архимед. Уже после Архимеда (вероятно, впервые в дошедших до нас «Конических сечениях» Аполлония Пергейского) «сечение тупоугольного конуса» получило название гиперболы, «сечение прямоугольного конуса» — параболы, «сечение остроугольного конуса» — эллипса. Архимед этих новых названий еще не знает.

Коническим сечениям уже в середине IV в. посвятил специальную книгу друг Платона Менехм, затем Аристей написал пять книг об «Объемных местах» и, наконец, Евклид, наряду с «Началами», написал еще «Конические сечения», где подытожил все сделанное до него в этой области; его книга стала классической. На нее обычно и ссыпается Архимед.

Архимед не повторяет доказательств того, что уже было сделано его предшественниками, а отсылает к ним. Из этих ссылок мы видим, что было уже достоянием науки во время выхода в свет книги Евклида; это очень важно для правильной оценки собственных заслуг Архимеда. Перечислим важнейшие из этих основных выводов доархимедовой науки.

Для параболы (фиг. 6): Диаметр параболы PV делит ее хорду Qq, параллельную касательной в конце Р диаметра, пополам.

2. Если в конце Q хорды Qq проведем касательную QT до пересечения с диаметром в T, то PV = РТ.

3. Если две хорды QVq и Q₁V₁q₁, параллельные касательной в точке Р, пересекают диаметр в точках V и V₁, то

PV: PV₁ = QV²: Q₁V₁².

px = y². {36}

Фиг. 7

Для эллипса (фиг. 7):

т. е. в наших символах (приняв точку А за начало координат)

чтó легко приводится к каноническому виду

Фиг. 8

для гиперболы (фиг. 8):

т. е. в наших символах (приняв А за начало координат)

Это уравнение не трудно привести к привычному для нас виду

{37}

квадратов полудиаметров гиперболы.

Исходя из этих положений Менехм, Аристей и Евклид построили стройное учение о конических сечениях. Мы не можем здесь останавливаться на этом вопросе сколько-нибудь подробно; укажу как на пример на то, что уже им были известны фокусные свойства эллипса. Для нас важно лишь, что вновь найденные кривые были немедленно же использованы как объемные геометрические места — в частности, для более строгого научного решения проблем удвоения куба и трисекции угла. Уже Менехм доказал, что решение задачи удвоения куба (или, что то же, нахождения двух средних пропорциональных) при помощи инструментов описанного выше типа фактически сводится к нахождению точки пересечения параболы и равносторонней гиперболы⁴. Задача трисекции угла также сводилась к построению отрезка данной длины, лежащего между двумя взаимно перпендикулярными прямыми, продолжение которого проходит через данную точку; это построение осуществлялось соответствующим перемещением линейки. Теперь, точно так же, как в случае удвоения куба, доказали, что фактически это построение сводится к нахождению точки пересечения окружности с равносторонней гиперболой.

Чтобы читатель имел представление, как проводились подобные доказательства, приведем в качестве примера это рассуждение (фиг. 9).

Пусть даны две взаимно перпендикулярные прямые CD и BKk между этими прямыми так, чтобы его продолжение прошло через данную точку А. Предположим, что такой отрезок построен; пусть прямая, на которой он находится, пересекает CD в точке Q, а ВК, в точке R. Из А АВ и AD на ВК и CD; получим прямоуголь-{38}ник ABCD. Проведем DP, параллельную AR, и RP, параллельную CD. Р. В параллелограмме DPRQ, очевидно, DP = QR = k. Ясно, что Р лежит на окружности с центром в D k.

Из подобных треугольников ABR и QCR (dividendo et permutando)

BR/BC = AR/AQ (1).

Из подобных треугольников ARS и AQD

AR/AQ = RS/QD = AB/RP (2).

BR/BC = AB/RP,

или

BR·RP = AB·BC;

но это — уравнение равносторонней гиперболы с центром и началом координат в данной точке В, ибо мы можем переписать его на языке наших символов так:

xy АВ и ВС — постоянные величины).

Следовательно, точка Р лежит также на равносторонней гиперболе с центром в В, а значит на пересечении равносторонней гиперболы с центром в В k с центром в D.

Как мы видели, учения о конических сечениях Евклид в свои «Начала» не включил. Нельзя объяснить это слу-{39}чайностью; эта область идеалистическими философами также признавалась недостойной «математики, цель которой — приблизить человека к божеству». Несмотря на то, что труд Менехма вышел в свет уже в 360—350 гг., Аристотель в дошедших до нас сочинениях нигде ни словом не упоминает о конических сечениях. Платон же по поводу уже упомянутых работ Архита и Менехма, пытавшихся свести удвоение куба «к применению инструментов и механизмов, месографов, при помощи которых они вычерчивали кривые линии и находили их пересечения», замечал: «При таких решениях пропадает и гибнет благо геометрии, возвращающейся назад к чувственным вещам. При этом она не подымает нас ввысь, не приводит нас в общение с вечными и бестелесными идеями, пребывая с которыми бог всегда есть бог...» Платон негодовал на них за то, что они «губят и разрушают благо геометрии, так как при этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей к чувственным и пользуется телами, нуждающимися в применении орудий пошлого ремесла». Впоследствии платоник Плутарх не находит лучшего комплимента для Архимеда, чем сказать, что он «в своих доказательствах вступает в спор с материей».

друзья и ученики; однако они тщательно отделяли νεΰσις и конические сечения от «чистой» математики. Вот почему в «Началах» Евклида не оказалось места для этих отделов.

На этих учебниках и этих взглядах был воспитан отцом с детства Архимед. То, что относилось к этим «механическим» частям математики, еще в большей мере относилось к самой механике: механика третировалась как чисто прикладная, практическая наука (εμπειρία τις), не имеющая ничего общего с высокой чистой наукой, просветляющей душу человека. Как ни интересны, как ни плодотворны эти области, но Архимеда приучили на них смотреть как на развлечение между делом, а не как на настоящие математические занятия, часто сводившиеся либо к усвоению уже сделанного предшественниками и к реше-{40}нию различных частных задач для применения на практике уже открытых положений, либо к построению скучных и однообразных доказательств по методу исчерпания для строгого доказательства положений, найденных уже прежде методом неделимых или установленных эмпирически.

Влияние этого воспитания дает себя знать во всей дальнейшей научной деятельности Архимеда. Архимед, этот гениальнейший механик-изобретатель, написал только один труд по прикладной механике; в остальных его трудах нет ни одного описания механизма, из них тщательно устранено все, что имеет прикладной характер, не описан ни один прибор для тех решений, «νεΰσις», о которых мы выше говорили.

Соответствовали ли действительно эти воспитанные с детства установки природному душевному складу Архимеда? В этом можно сильно сомневаться. Сделанный им небесный глобус, на котором можно было наблюдать не только движения светил, но и затмения и который приводился в движение водой, изобретенная им машина для поливки египетских полей, целый ряд сложнейших военных машин — дают нам право восстановить образ инженера-изобретателя, несомненно уже с детства проявлявшего специфическую гениальность в технической море этих особенностей душевного склада Архимеда, мы не сможем правильно понять и тот своеобразный путь развития, который он проделал в области чистой математики. {41}