Приглашаем посетить сайт
Начало научной деятельности Архимеда
Если бы Архимед, прибыв в Александрию, захотел идти по тому проторенному пути, по которому шли прочие математики, то он делал бы следующее:
1) подкреплял бы истины, открытые математиками V—IV вв. при помощи метода неделимых, доказательствами методом исчерпания,
2) разрабатывал бы те области математики, которые не требуют примитивного интегрирования, например теорию чисел,
3) занимался бы астрономическими наблюдениями, кладя в основу старую геоцентрическую систему Аристотеля, и
4) писал бы стихи и философские исследования; здесь легче всего было польстить монарху, поддержать его политику и таким путем сделать себе придворную карьеру.
Этим путем, как мы видели, и шли друзья и коллеги Архимеда — Конон и Эратосфен. Однако Архимед был настолько крупным и оригинальным мыслителем, что отказался следовать в этом за ними. К придворной карьере {60} он не имел никакого вкуса, да и не нуждался в ней: как близкому родственнику сиракузского монарха, ему и без того были бы обеспечены все жизненные блага, если бы только он их добивался. Вдобавок Гиерон был человеком иного склада, чем Птолемеи, и лесть при его дворе, поскольку мы еще можем судить, была не в моде. Архимед с детства не получил аристократического разностороннего воспитания; его отец, астроном, посвятил его лишь в тайны своих наук, и этими лишь науками он интересовался всю жизнь. По-видимому, никакого интереса к философским рассуждениям и к поэтическому творчеству у него не было, хотя, как мы увидим, он был, вероятно, неплохим версификатором.
Ни одна астрономическая работа Архимеда не дошла до нас, и мы не знаем, держался ли он геоцентрических или гелиоцентрических взглядов. Но нам хорошо известно, как мы говорили уже выше, что он с особым интересом относился к системе Аристарха, которую прокляла официальная философия. Принимал ли Архимед эту систему? Не забудем, что эта система не пользовалась официальным одобрением, и поэтому трудно было бы ожидать, чтобы осторожный и корректный Архимед, живший в обстановке придворного Музея, открыто выступил в ее защиту (точно так же впоследствии Кавальери не решился открыто выступить в защиту того же учения, снова выставленного Коперником). Достаточно, однако, того, что Архимед в своем «Числе песчинок» ссылается на Аристарха; как мы видели, ему остается непонятным одно из высказываний Аристарха в духе математики атомизма (стр. 57), но он вследствие этого не отвергает всей системы Аристарха, а старается осмыслить это высказывание так, чтобы оно не противоречило основам евклидовой математики. «Надо допустить, что Аристарх имел в виду следующее: так как мы обычно считаем, что Земля — центр мира, то (он и утверждает, что) Земля так же относится к тому, что мы называем космосом, как сфера, по одному из больших кругов которой вращается, согласно допущению Аристарха, Земля, к той сфере, на которой находятся неподвижные звезды». Архимед замечает, что стоит только понять таким образом это сомнительное с точки зрения математики выражение, и все остальные выводы Аристар-{61}ха, основанные на астрономических наблюдениях, сохраняют свою силу. Конечно, это толкование Архимеда — явная натяжка, ибо сам Аристарх не считал Землю центром нашего космоса и поэтому так выразиться не мог, но это перетолкование нужно Архимеду как раз для того, чтобы спасти теорию Аристарха в целом, сделав ее неуязвимой для нападок современных ему математиков. И вслед за тем во всей остальной части книги Архимед вычисляет объем вселенной, кладя в основу теорию Аристарха, правда, с оговоркой: «Даже если мир так велик, как представляет себе Аристарх сферу неподвижных звезд...» Если бы Архимед не относился серьезно к этой теории, то он просто игнорировал бы ее, положив в основу систему мира Аристотеля. С другой стороны, учтя ту придворную обстановку, на которой мы подробно остановились в предыдущей главе, нельзя не придти к выводу, что Архимед и при полном сочувствии к системе Аристарха, не мог бы выразиться определеннее. Позволительно думать поэтому, что гениальный Архимед в душе сочувствовал теории Аристарха.
При определении диаметра Солнца Архимед, как он сам сообщает впоследствии в своем «Числе песчинок», ближе примыкал к Аристарху, считавшему, что этот диаметр равен 1/720 круга Зодиака, чем к своему отцу, астроному Фидию, считавшему, что Солнце примерно в 1 1/2 раза меньше этой цифры. При решении этого вопроса проявились специфические механические способности Архимеда — он изобрел специальный прибор (фиг. 11) для измерения диаметра Солнца, описанный в том же сочинении. Этот прибор реконструирован А. Чвалина (см. Библиогр. указатель, № 127), причем он дает такое пояснение к описанию Архимеда: «В точке А (фиг. 11, а) вертикально установленной рейки L на высоте глаза укрепляется горизонтальная линейка, снабженная делениями масштаба; вдоль нее может скользить планка S, К, остающийся поэтому при движении планки всегда на одной высоте с A. Если теперь ранним утром, когда Солнце находится еще у горизонта и не настолько ярко, чтобы на него нельзя было смотреть, поме-{62}стить глаз в точке А, а диск К расположить на таком расстоянии, чтобы он полностью закрывал перед глазом диск Солнца, то, зная диаметр диска К и расстояние АК, можно сразу же найти и видимую величину Солнца γ. Архимед отдавал себе при этом полный отчет в том, как трудно оценить ошибки наблюдения. Источник ошибок заключается, во-первых, в том, что глаз в действительности занимает некоторый объем в пространстве, тогда как в опыте он принимает за точку; во-вторых, в том, что нельзя достичь вполне точного совпадения диска К с солнечным диском.
a
b
Фиг. 11
Архимед и здесь также пользуется методом, вполне аналогичным методу исчерпания. Сначала он приближает диск к глазу с довольно значительного расстояния, пока солнечный диск не исчезнет за диском К. Так как расстояние AK принимается при этом значительно меньшим, чем то, которое должно бы было быть при точном совпадении видимых дисков, то в результате получится верхняя граница γ. Поправки на величину зрачка не нужно, так как ошибка действует в сторону увеличения изменяемой величины. При втором измерении Архимед удаляет диск от глаза, пока солнечный диск не станет виден из-за диска К. В этом случае размеры зрачка уже, очевидно, учесть необходимо. Архимед изготовил два тонких цилиндрических стержня, белый Б и черный Ч. Последний он помещает непосредственно перед зрачком Р по направлению оптической оси глаза (фиг. 11, b), а белый стержень помещается непосредственно вслед за черным на той же оси. {63} Если стержень тоньше диаметра зрачка, то Б будет видим, в противном случае — не видим. Калибрируя стержни, Архимед находит размер зрачка.
Пределами оказались — верхним 1/656 (0°32'9"), нижним 1/800 °27'), т. е. результат Аристарха оказался примерно правильным (1/720), а результат, полученный отцом Архимеда (1/1080), преуменьшенным. Архимед с гордостью отмечает, что результат этот получен с помощью механического прибора (о́ργανικŵς). В действительности эти границы 32'5" и 31'5", так что результат Архимеда отличается изумительной точностью.
В астрономических работах Архимеда проявилась и его любовь к сложным вычислительным операциям. Как сообщает один поздний писатель, он определял не только расстояние от Земли до Солнца, но и «расстояние от Земли до Луны, от Луны до Венеры, от Венеры до Меркурия, от Меркурия до Солнца, от Солнца до Марса, от Марса до Юпитера, от Юпитера до Сатурна и от Сатурна до сферы неподвижных звезд». Он определял также поперечник Луны. Тит Ливий называет Архимеда «непревзойденным наблюдателем неба и звезд».
Очевидно, Архимед полностью усвоил от отца навыки в астрономии; тем не менее, он не сделал в этой области каких-либо выдающихся открытий, которые сохранились бы в памяти современников. С другой стороны, он сделал и ряд ошибок; в некоторых случаях уже современники отмечали неправильность его вычислений. Так, окружность земного экватора Архимед определяет (в «Числе песчинок») в 3000000 стадий (461000 км); эта цифра в 12 раз больше полученной Эратосфеном цифры, очень близкой к истинной. Точно так же отношение диаметра Солнца к диаметру Луны, по его мнению, 30: 1; в действительности оно в 10 раз больше. Расстояние от Земли до Солнца Архимед определяет в 5 млрд. стадий, т. е. 785 млн. км. Действительное расстояние — 150 млн. км. Архимед неправильно определял также продолжительность солнечного года в 365 дней, несмотря на то, что на основании сделанных примерно в то же время (в 238 г. до н. э.) {64} астрономических вычислений официальным постановлением египетской жреческой коллегии продолжительность солнечного года была определена в 365 1/4 года. Впоследствии знаменитый астроном Гиппарх замечал: «Из моих наблюдений следует, что различия в длине года лишь крайне незначительны, что же касается солнцеворотов, то я склонен думать, что Архимед и я в наших наблюдениях и в сделанных из них выводах ошиблись на 1/4 года».
Таблица 5. «Улитка». Машина для поливки полей, приводимая в движение рабом-пигмеем.
Фреска из Помпей
Если принять во внимание гениальность и точность мышления Архимеда, то эти факты явятся лишним подтверждением того, что астрономические занятия Архимеда относятся к самой ранней эпохе его деятельности, еще к его пребыванию в Александрии. Вполне понятно, что Фидий хотел иметь в сыне своего продолжателя и готовил Архимеда в астрономы; для него геометрия была лишь вспомогательной наукой к астрономии. Поэтому Архимед и начал с астрономических занятий, но его природная склонность заставила его очень скоро перейти к другим занятиям — к занятиям механикой.
В самом деле, и в астрономии Архимед выделился прежде всего изобретением сложных механических приборов. О приборе для измерения поперечника Солнца мы уже говорили; гораздо больше славы принесла Архимеду сооруженная им «сфера», т. е. небесный глобус, к описанию которого мы сейчас и переходим.
Цицерон, знакомый Марцелла, правнука того Марцелла, который отдал на разграбление в 212 г. Сиракузы и после убийства Архимеда вывез оттуда сооруженную им «сферу», рассказывает в своей книге «De republica» в тоне непринужденной светской болтовни следующее:
«Я вспоминаю, как я однажды вместе с Гаем Сульпицием Галлом, одним из самых ученых людей нашего отечества,... был в гостях у Марка Марцелла... и Галл попросил его принести знаменитую «сферу», единственный трофей, которым прадед Марцелла пожелал украсить свой дом после взятия Сиракуз, города, полного сокровищ и чудес. Я часто слышал, как рассказывали об этой «сфере», которую считали шедевром Архимеда, и должен признаться, что на первый взгляд я не нашел в ней ничего особенного. Оказалось, что другую «сферу», сде-{65}ланную Архимедом, Марцелл посвятил в храм Добродетели; эта «сфера» была гораздо более популярной и имела гораздо более импозантный вид. Однако, когда Галл начал нам объяснять с бесконечной ученостью всю систему этого прекрасного произведения, я вынужден был придти к выводу, что этот сицилиец обладал гением, которого, казалось бы, человеческая природа не может достигнуть. Галл рассказал нам, что «сфера», подобная той, второй сфере, т. е. в виде сплошного шара, была изобретена впервые Фалесом Милетским, изготовившим ее первую модель; что затем Евдокс Книдский, ученик Платона, изобразил на поверхности «сферы» различные созвездия, утвержденные на небесном своде... Но, прибавил он, для того чтобы изобразить Солнце, Луну и пять светил, которые мы называем блуждающими (планетами), пришлось отказаться от «сферы» в виде сплошного шара, при помощи которого нельзя воспроизвести их движений, и придумать «сферу» совершенно иного типа. Главным чудом в изобретении Архимеда было то искусство, благодаря которому он смог соединить в одной системе и осуществить при помощи одного вращательного движения столь несходные между собою движения и столь различные вращения разных светил. Когда Галл приводил «сферу» в движение, можно было наблюдать, как при каждом обороте Луна уступает место Солнцу на земном горизонте, подобно тому как она уступает ему место ежедневно на небе; как и на небе, можно было наблюдать солнечное затмение, как Луна постепенно погружается в тень Земли...»
Из других свидетельств мы узнаем, что на этой «сфере» можно было наблюдать фазы Луны, движения планет, солнечные и лунные затмения, что она была сделана из меди и приводилась в движение незаметным для глаза двигателем, находившимся внутри «сферы», по-видимому, водяным двигателем. Архимед придавал этому изобретению столь большое значение, что написал недошедшую до нас специальную книгу «Об изготовлении небесной сферы» — единственную книгу по техническим наукам, вышедшую из-под его пера.
Есть и ряд других данных, позволяющих заключить, что на этой ранней стадии развития Архимеда больше всего интересовали вопросы механики. {66}
В пользу этого говорит и общий ход развития его творчества и хронологическая последовательность его произведений.
В самом деле, уже в самом раннем из его математических сочинений9«О квадратуре параболы», имеются ссылки на его работы по механике («О рычагах» и «О равновесии плоскостей»). Поэтому мы имеем полное право утверждать, что уже в период пребывания Архимеда в Александрии его чрезвычайно занимали вопросы механики. Недаром, будучи еще в Египте он изобрел или вернее, усовершенствовал «улитку» (κοχλίας) — замечательную машину для поливки полей, имевшую большое хозяйственное значение в Египте, где дождей почти не бывает и где все сельское хозяйство основано на искусственном орошении. Диодор, писатель I в. до н. э., хорошо знавший Египет, сообщает: «Побережья Нила, заливаемые наводнениями и хорошо орошенные, приносят изобильный и разнообразный урожай. Нил отлагает здесь каждый раз после наводнения новый слой ила, и жители могут легко орошать весь остров при помощи машины, сооруженной Архимедом, которая, вследствие своей формы, носит название улитки»10. Более подробно этот автор касается «улитки» при описании эксплуатации рудников в Испании: «Рудокопы часто наталкиваются на подземные реки; они борются с их быстрым течением, отводя их в наклонные рвы... Поражает то, что им удается вычерпать всю воду до конца при помощи египетских машин, изобретенных Архимедом Сиракузским во время его путешествия в Египет. Они последовательными переливаниями поднимают эту воду до входа в шахту и, сделав шахты {67} сухими, работают там с полным удобством. Эта машина была так гениально построена, что при помощи ее можно было выкачивать огромные массы воды: без труда можно было целую реку извлечь из глубины земли на ее поверхность. Но, разумеется, не только за это одно следует восхищаться гением Архимеда; мы обязаны ему многими другими изобретениями, еще более великими и более знаменитыми во всем мире».
Мы видели уже, с каким резким отрицанием отнесся Платон к тому, что Архит, Евдокс и Менехм позволяли себе применять механические приборы для решения геометрических проблем. Разумеется, с тем бóльшим негодованием и презрением должен был относиться Платон к тому, что философы занимались непосредственно механикой. «Основателями (механики),— говорит Плутарх, повторяя, вероятно, слова Эратосфена,— были Евдокс и Архит, которые дали геометрии более пестрое и интересное содержание, игнорируя ради непосредственно осязаемых и технически важных применений этой науки ее отвлеченные и недоступные графическому изображению проблемы... Платон порицал их за это». Столь же резко отрицательно должен был относиться к механике, судя по всему направлению его научной деятельности, и Аристотель: механика — не наука, а «ремесленный навык» (εμπειρία), достойный раба и излишний для философии и познания творца11. Приписываемое Аристотелю сочинение «Механические проблемы» ему не принадлежит. Однако в этих вопросах ученики Платона и Аристотеля позволяли себе не соглашаться со своими учителями, ибо механика не была запрещена идеалистической философией, подобно атомизму и материализму вообще; в ней видели только времяпрепровождение, может быть, и интересное, но не имеющее ничего общего с настоящей наукой. «После Платона, — сообщает Плутарх, — механика, изгнанная из геометрии, отделилась от нее и долгое время находилась в пренебрежении у теоретической науки, став лишь одной {68} из вспомогательных практических отраслей военного искусства».
В древности, как мы узнаем из комментария Прокла к Евклиду, механика делилась на следующие разделы:
1. οργανοποική — искусство изготовления машин, частью которого является βελοποιικά — искусство изготовления военных машин.
2. Изготовление сфер, т. е. глобусов и моделей, изображавших движения небесных тел.
Этими разделами занимался всю жизнь Архимед.
3. θαυματοποιική — искусством изготовления механических игрушек — Архимед, насколько нам известно, не· занимался вовсе. Но относительно друга Платона — Архита из Тарента, о котором мы уже говорили выше, нам засвидетельствовано, что он изготовил механическую погремушку и механического голубя, сделанного из дерева и умевшего летать. Из дошедшего до нас описания этого механического голубя можно сделать вывод, что Архит знал, что воздух имеет вес и что воздух стремится из места· с большим давлением в место с меньшим давлением. Мы вернемся к этому вопросу, когда будем говорить о гидростатических занятиях Архимеда. Пока отметим, что включение изобретения механических игрушек в систему науки соответствует тому характеру развлечения во время отдыха, который носила механика в это время. Впрочем, эти игрушки играли роль эксперимента в механике.
4. μηχανική в собственном смысле, т. е. теория центров тяжести, рычага, параллелограмма сил и т. д. Можно не сомневаться, что, если не Демокриту, то его ближайшим последователям — атомистам не только было известно, что такое центр тяжести, но они умели и находить его математическим путем. В самом деле, изучая архимедовы теории центров тяжести, мы убеждаемся, что ему не только заранее известно, где должен находиться центр тяжести каждой фигуры, но что применяемый им метод исчерпания представляет собою только перелицованный в новом духе метод неделимых с целью обойти неприемлемые для евдоксовой математики «не очевидные допущения», согласно которым всякая линия, фигура и тело состоят из неделимых частиц. Из этих архимедовых доказательств ясно, что его предшественники, базировавшиеся на меха-{69}нике атомистов, для нахождения центра тяжести параллелограмма разбивали его на «материальные» прямые линии, параллельные одной из боковых сторон; поскольку центр тяжести каждой такой «линии» находится в ее середине, можно считать всю тяжесть такой прямой сосредоточенной в ее середине; тогда центр тяжести всей системы должен находиться на средней линии. Но тот же параллелограмм можно разбить на материальные прямые линии, параллельные другой из его боковых сторон, и точно таким же образом доказать, что центр тяжести должен находиться на средней линии, параллельной другой из сторон параллелограмма; значит, он лежит на пересечении этих двух средних линий.
Точно так же и треугольник разбивался на ряд «материальных» прямых, параллельных основанию; центр тяжести каждой такой «прямой» находится в ее середине, а центр тяжести всего треугольника — на прямой, соединяющей эти середины. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, приходим к выводу, что центр тяжести находится на пересечении медиан; отсюда уже элементарно геометрическим путем не трудно сделать вывод, что он находится на 1/3 длины медианы, считая от основания.
Как определяли атомисты самое понятие «центр тяжести», нам не известно. Впервые такое определение мы встречаем в стоической физике начала III в. Стоическая физика носила мало оригинальный, компилятивный характер; поэтому, если мы в стоической физике находим чрезвычайно интересное предвосхищение архимедова учения о центре тяжести, то есть много оснований думать, что стоики просто заимствовали это учение из науки более ранней эпохи. Анализ сообщения героновой «Механики» (1, 24), являющейся нашим единственным источником (I в. н. э), не противоречит этому предположению. Здесь Герон говорит как о своем предшественнике о стоике Посидонии, причем, как видно из общего контекста, Посидоний рассматривается как предшественник Архимеда; поэтому Герон, очевидно, имеет здесь в виду не известного стоика Посидония из Апамеи, учителя Цицерона, а Посидония из Александрии, жившего в начале III в. {70} Вот что говорит Герон: «Стоик Посидоний определил центр тяжести и равновесия при помощи естественного (физического) определения. Он сказал: «Центр тяжести и равновесия есть точка, обладающая таким свойством, что если подвесить в ней тяжесть, то эта тяжесть разделится на две равные части». Поэтому Архимед и его сторонники в механике исследовали частные случаи этого закона и провели различие между точкой подвеса и центром тяжести». Отсюда мы видим, прежде всего, что Посидоний рассматривал еще только тот случай, когда центр тяжести совпадал с точкой опоры, и не заметил, что для равновесия достаточно, чтобы центр тяжести и точка подвеса равновесия находились на одной вертикальной линии; этот недосмотр был исправлен Архимедом.
С другой стороны, необходимо отметить грубую ошибку: вертикальная плоскость, проходящая через центр тяжести, делит тело, по мнению Посидония, не на две уравновешивающие друг друга (ίσορροπουντα), а на две равновеликие по весу (ισα, ισοβαρή) части.
Ошибка, характерная для поверхностного дилетантизма стоической науки12.
Перейдем теперь к принципу рычага.
Рычаг был одним из древнейших орудий, выведших человека из беспомощного первобытного состояния. Этот загадочный механизм, при помощи которого можно малой силой поднимать большой груз, не мог не казаться {71} первобытному человеку чем-то чудесным, сверхъестественным. Человек видел два параллельных ряда явлений: большое плечо рычага, описывающее большую дугу, и малое плечо, описывающее в то же время малую дугу, причем оба сектора, описываемые плечами рычага, подобны друг другу. Эти аналогичные ряды явлений связаны между собою стержнем рычага. Воздействуя на одно плечо рычага, можно вызвать аналогичное действие в другом плече и достигнуть результата, далеко превосходящего человеческие силы.
Отсюда первобытный человек мог сделать и более общий вывод: если мы имеем два аналогичных ряда и свяжем их тем или иным способом между собой, то мы можем, воздействуя на один ряд, вызывать в другом действия, далеко превосходящие человеческие силы. Подобным образом рассуждает австралийский колдун, желая вызвать дождь: он берет два аналогичных явления — тучу и дождь, с одной стороны, кучу известняка, которой придана форма тучи, и струю воды из сосуда — с другой. Между обоими явлениями устанавливается связь при помощи особых формул заклинания. После этого колдун поливает кучу известняка водой, и это, по его мнению, должно вызвать дождь из тучи. Эта первобытная наука носит название симпатической магии.
Учение о рычаге до Архимеда сохраняло ряд черт этой симпатической магии.
Этот наивный примитивный подход к рычагу как к сверхъестественному явлению мы находим еще в «Механических проблемах», т. е. в сочинении, написанном лишь за несколько десятилетий до Архимеда. Это сочинение прежде ошибочно приписывалось Аристотелю; в настоящее время его справедливо считают перипатетической компиляцией эпохи Стратона, когда в учение Аристотеля проник уже ряд атомистических элементов.
«Из происходящего согласно естественному ходу вещей, в нас вызывает удивление все то, причины чего мы не можем постигнуть. Из того же, что происходит вопреки естественному ходу вещей, нас поражает все то, что создается искусством на благо людей. Ведь во многих случаях природа поступает вопреки нашей пользе. Природные явления всегда происходят по одному и тому же {72} порядку, а полезно для человека один раз одно, другой раз другое. Если же нам нужно выполнить что-либо вопреки естественному ходу вещей, то это оказывается нелегким,. связанным с препятствиями и требующим искусства. Поэтому мы и называем ту часть искусства, которая помогает нам в борьбе с такого рода препятствиями, «ухищрением» (μηχανή). Ведь дело обстоит так, как сказал поэт Антифонт:
К такого рода удивительным вещам относятся те случаи, когда меньшее берет верх над бóльшим, когда вещь легковесная сама по себе приводит в движение большие тяжести, и все то, что мы называем механикой.
Самым выдающимся из всех вопросов механики: является вопрос о рычаге. Ηа первый взгляд кажется нелепым, чтобы большая тяжесть приводилась в движение малой силой, и при том при помощи еще большего увеличения ее тяжести: ту же тяжесть, которую мы не сможем сдвинуть без помощи рычага, мы сдвинем весьма быстро, если прибавим к этой тяжести еще тяжесть стержня рычага...
Первоначальная причина всех подобных явлений — круг».
Вслед за этим автор дает пространное восторженное рассуждение о чудесных свойствах круга (эти рассуждения, может быть, почерпнуты из магической или полумагической псевдонаучной литературы) и продолжает; «Вот почему нет ничего парадоксального в том, что круг — первопричина всех удивительных явлений. В самом деле, все то, что наблюдается на весах, приводится к кругу, все, что наблюдается в рычаге, приводится к весам, а все, что вообще относится к механическому движению, сводится к рычагу».
Из замечаний Демокрита и Платона видно, что в их время принцип рычага был уже оформлен в виде математической зависимости (равенство моментов). Но характерным пережитком магических представлений и у Демокрита и в «Механических проблемах» является то, что здесь жесткая связь между точками приложения сил и точкой опоры не является непременным условием дейст-{73}вия законов рычага и что основным отправным пунктом древней механики является подобие между секторами, resp. треугольниками, получающимися в результате смещения плеч рычага. В тех же «Механических проблемах» рычаг часто появляется просто как некая магическая, сверхъестественная сила, скрытая позади чуть ли не каждого явления: если автор не может объяснить действия какой-нибудь машины, например блока или клина, он довольствуется голословным заявлением, что здесь скрыт рычаг, не объясняя, как этот рычаг действует.
Мы останавливаемся так подробно на этом вопросе потому, что в истории науки под влиянием идеалистической философии до последних лет преобладала тенденция приписывать создание научной, математически обоснованной механики пифагорейцам, Аристотелю и перипатетикам, сводя на нет роль Архимеда, якобы повинного в простом circulus vitiosus (Мах).
Разберем доводы, выставлявшиеся в защиту этого взгляда.
Уже упомянутый Архит «впервые написал систематический трактат по механике, основанный на математических принципах» (Лаэрций Диоген). Стратон, о котором мы также говорили уже выше, написал книгу «О металлических механизмах». Но отсюда следует только, что эти ученые какие-то механические явления выводили математически из каких-то механических принципов; заключать отсюда, что уже они обосновали математически принцип рычага, никак не возможно. Да это и не вероятно: если бы они дали такое доказательство, то мы нашли бы его в вышедших в III в. «Механических проблемах», тогда как в них мы находим лишь полумагический детский лепет.
Но нам заявляют, что якобы уже Аристотель дал примитивную формулировку закона сохранения энергии и даже принципа возможных перемещений. При этом сваливают в одну кучу и подлинные произведения Аристотеля и позднюю компиляцию — «Механические проблемы». Разберем то и другое отдельно.
У Аристотеля (в сочинении «О небе») содержатся только следующие замечания:
1) «Для равновесия необходимо, чтобы на вес, прило-{74}женный в конце каждого плеча, действовала одна и та же сила» (это можно понять только в том смысле, что силы <sic!>, приложенные к обоим концам рычага, в случае равновесия должны быть равны друг другу — так и понимали Аристотеля в средние века).
2) «Меньший и более легкий вес произведет большее движение, если на него действует ...
Скорость меньшего тела так относится к скорости большего, как большее к меньшему».
Вот и все. Думаю, что отсюда можно сделать только один вывод. Аристотель, как и его предшественники, конечно, знал математическую формулировку принципа рычага, но то, что мы называем моментом, он называл силойдлины плеча скорости движения его конца, он считал силу равной произведению веса (массы) на скорость: mv. Эта неудачная терминология оставалась господствующей: и в средние века; в виде рудимента она сохранилась до наших дней: и в наших учебниках кинетическая энергия mv2/2 «живой силы». Ни о каком законе сохранения энергии или принципе возможных перемещений здесь не может быть и речи.
Перейдем к «Механическим проблемам». Мы уже видели, что рассуждения автора этого сочинения, которыми он обосновывает принцип рычага, носят магический характер. Такой же характер носит и его другое неудобопонятное доказательство принципа рычага. «Естественное движение относится к естественному, как противоестественное к противоестественному». И для него, как и для Аристотеля, понятие «сила», очевидно, тождественно с нашим понятием «момента». «Под влиянием больше переместится тот из движущихся грузов, который помещен дальше от точки опоры». Но в этом сочинении есть одно выражение, которое давало исследователям некоторое основание видеть в мнимом Аристотеле предшественника нынешней научной механики: «Всегда, чем больше груз отстоит от точки опоры рычага, тем легче он приведет рычаг в движение; причина: точка, отстоящая дальше от центра, опишет (в равное время) бόльшую дугу». Здесь, если угодно, можно найти в зародыше мысль, что выигрыш {75} в силе уравновешивается проигрышем в пути, а отсюда якобы недалеко до закона сохранения энергии. Но не проще ли полагать, что довольно туго мыслящий автор «Проблем» просто констатирует данный в опыте факт, что одно и то же усилие руки, приложенное к концу одного плеча рычага, поднимет груз, привешенный к концу другого плеча, на расстояние, тем большее, чем длиннее это плечо; а следовательно, чем длиннее плечо, тем легче передвинуть груз на расстояние, тем меньшее усилие руки для этого необходимо13.
Но даже и эту скромную мысль мы не вправе приписать Аристотелю, ибо автор «Механических проблем», как я показал в своей статье «Механика Демокрита», кроме Аристотеля, компилировал самые различные источники, в том числе и атомистические.
динамики, т. е. изучают неуравновешенный рычаг, рычаг в движении. При младенческом состоянии науки в то время; такой подход не мог дать ничего, кроме путаницы и разочарований.
математических трудах со времени Евдокса всякие инфинитезимальные выкладки были категорически {76} запрещены. Но механика уже со времени Платона была объявлена не наукой, а прикладной, εμπειρία, имеющей целью не «возвысить душу до мира идей и творца», а сообщить определенные практические навыки. Против применения метода бесконечно малых в механике поэтому ничего нельзя было возразить, если только он облегчал усвоение материала и нахождение новых решений. И действительно, как мы видели уже, из архимедова способа нахождения центра тяжести мы можем сделать вывод, что до него центр тяжести находили при помощи атомистического разложения фигуры. Атомистические методы применялись даже в перипатетической механике.
Так в «Механических проблемах» для объяснения того факта, что в водяном вихре все тела уносятся в середину, вихрь разлагается на ряд концентрических «атомных» кругов чрезвычайно малой толщины. Точно так же практический учебник механики Герона Александрийского, составленный приблизительно в I в. н. э., основан, кроме Архимеда, еще на перипатетической (Стратон и др.) и стоической (Посидоний Александрийский) литературе. Поэтому, если мы находим здесь рассуждения, характерные для атомистической науки, то они несомненно имеют непосредственными источниками перипатетические и стоические руководства по механике. Здесь для объяснения действия клина клин разбивается на чрезвычайно большое число атомов-клиньев, имеющих общую вершину с большим клином. Равным образом и удар разбивается на атомы ударов, «наименьшие из всех известных ударов», как выражается Герон.
Прибыв в Александрию, Архимед несомненно набросился на всю эту литературу по теоретической механике, столь близкой его научным устремлениям. Он пришел к выводу, что положения и приемы механики можно применить и для решения тех чисто геометрических задач, которые не могут быть решены способами элементарной геометрии, но для этого необходимо перестроить механику в точную, строго математическую науку, теоремы которой были бы логическим выводом из немногих вполне очевидных предпосылок. И действительно, наиболее оригинальным и дававшим удивительные результаты приемом Архимеда при решении геометрических задач, требующих инфинитези-{77}мальных выкладок, было применение для их решения
В чем секрет этих решений? Всем известна сказка о солдате, который учил скупую бабу варить суп из топора. После того как хозяйка добавила в суп мяса и картошки, он действительно оказался очень вкусным, но топор не разварился и так и лежал на дне кастрюли, его можно было без всякого вреда убрать.
То же было и с архимедовым методом рычага: его нельзя было применять, не разлагая поверхность фигуры на чрезвычайно малые элементы, т. е. без инфинитезимальной процедуры, а если применять запрещенную евдоксовой школой инфинитезимальную процедуру, то можно без труда обойтись и без рычага.
Очевидно дело в том, что в изученной Архимедом математической — у Евдокса, Менехма, Аристея, Евклида и др. — Архимед ни следов инфинитезимальной процедуры не нашел; она была начисто вытравлена, и Архимед не знал даже об ее существовании. Но, изучая низкую, прикладную науку — механику, он встречался с этой процедурой на каждом шагу и видел, к каким блестящим открытиям новых фактов механика приводит — прежде всего при нахождении центров тяжести. Он решил поэтому перенести методы механики в геометрию, не отдавая себе ясного отчета в том, что дело здесь не в механике, а в применяемой ею чисто математической инфинитезимальной процедуре. «Ненаучность» же самой этой процедуры нисколько не пугала Архимеда, ибо основательно пройденная им евклидовская школа научила его в совершенстве искусству превращать в строго математическое доказательство любой вывод, полученный «без научного доказательства на основании недостаточно очевидных предпосылок»; это делалось при помощи метода исчерпания (с применением reductio ad absurdum).
Чтобы читателю стало ясно, как применял Архимед принцип рычага к решению геометрических задач, приведу содержащееся в его письме в Эратосфену (стр. 137) решение задачи о нахождении площади параболического сегмента, которое он здесь рассматривает лишь как предварительное, нуждающееся в подтверждении при помощи строгого доказательства (фиг. 12). {78}
Фиг. 12
Уже ранее было доказано, что в параболе
E1O1 : O1R1 = Qq : qO1 (1)
и что, следовательно, ЕмRm=RmОм, QOm=Omq.
Но
Qq : qO1 = QO : OH1 (2),
откуда
E1O1 : O1R1 = QO : OH1 (3).
Теперь Архимед продолжает QO на отрезок ОА, QO; тогда
Е1О1 : О1R1 = ОА : OH1 (4).
{79}
Поскольку
EмRм = RмOм; O1H1 = H1E1 (5),
имеем
qO = OE (6).
AQ, как рычаг, а параболический сегмент qRмQ и треугольник qEQ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую. Для дальнейшего решения он применяет метод математики атомистов, т. е. рассматривает и сегмент qRмQ и треугольник qEQ qE и плотно прилегающих друг к другу. Из параболической пластинки он вынимает произвольную прямую R1Q1 из числа этих материальных прямых и переносит ее в точку А так, чтобы она приняла положение GT и чтобы точка А qRмQ — прямая O1R1, перенесенная в положение GT, — и соответствующий элемент треугольника QEq — О1Е1, оставленная на своем месте — взаимно уравновесятся. Для этого. необходимо и достаточно, чтобы плечи АО и OH1 рычага АН1 были обратно пропорциональны нагрузкам TG и Е1О1. Поскольку GT=O1R1
E1O1 : TG = AO : OH1 (7).
Следовательно, это условие соблюдено, и грузы взаимно уравновесятся. Но E1O1 есть произвольно QEq; ясно, что то, что верно для.Е1O1 и R1O1, равного TG, будет верно и для любого элемента, т. е. для любого отрезка прямой, параллельного qE и заключенного между Qq и QE, qRмQ. Итак, всякая такая прямая в треугольнике qEQ уравновесит соответствующую ей прямую в параболическом сегменте, если перенести последнюю в точку А. Мы можем, разбив весь параболический сегмент на прямые, параллельные qE, перенести их все в точку А. A, уравновесит весь треугольник, оставшийся на своем месте. {80}
Таблица 6. Архимед. Один из античных бюстов, считавшихся изображением Архимеда
Но QO — qEQ, так как, согласно (6), q0 = ОЕ; значит, центр тяжести треугольника лежит в точке Z, для которой
OZ = 1/3 OQ = 1/3 AO,
ибо не только Архимедом, но уже до него атомистическими методами было доказано, что центр тяжести треугольника лежит на 1/3 медианы (см. стр. 70).
EqQ мы сможем считать сосредоточенным в центре его тяжести, в точке Z. Но, как мы видели, треугольник EqQ, оставшийся на своем месте, уравновесится параболическим сегментом QRмq, перенесенным в точку А. qRмQ к весу треугольника EqR равно OZ : АО = 1: 3.
Но площади однородных плоских тел относятся, как их веса, и, значит, площадь параболического сегмента равна 1/3 площади треугольника qEQ.
QqO, как имеющий с треугольником QEq общее основание, а высоту в два раза меньшую, равен по площади половине треугольника QEq; треугольник QRмq, как имеющий с треугольником QqO QqO. Итак,
Δ QRМq = 1/4 ΔEQq,
откуда площадь параболического сегмента равна 4/3 площади треугольника QRмq,
В дошедшем до нас сравнительно позднем сочинении Архимеда это решение дается как предварительное, евристическое, которое станет научным только после того, как полученный вывод будет подтвержден методом исчерпания при помощи reductio ad absurdum. Можно думать, что Архимед разрабатывал эти «механические» методы уже в раннюю эпоху своей деятельности с тем, чтобы, доказав свои механические предпосылки строго {81} математическим путем, затем включить их в свою систему математики.
Так как эти методы имели, как вы убедились, исходными пунктами закон рычага и учение о центрах тяжести, строго математический вывод этих законов.
Со свойственной ему гениальной интуицией Архимед сразу же понял, что при тогдашнем состоянии науки в области динамики, равновесия: нахождением центров тяжести и исследованием уравновешенного и неподвижного рычага. Архимед является, таким образом, основателем новой науки —
Вопросам теоретической механики и посвящена первая книга дошедшего до нас сочинения «О равновесии плоских тел или о центрах тяжести плоских тел» в двух книгах. Эта первая книга — самое ранее из дошедших до нас произведений Архимеда. Постулат и первые семь теорем этой книги посвящены как раз теории двуплечего рычага (весов); остальная часть посвящена нахождению центра тяжести треугольника, параллелограмма и трапеции.
Как же обосновывает закон рычага Архимед? Своему изложению он предпосылает следующие постулаты: «Мы требуем (αιτοΰμεθα), т. е. ставим такие предварительные условия (постулаты) 14:
1. Равные веса, находящиеся на равных расстояниях (от точки опоры), находятся в равновесии, а равные веса, находящиеся на неравных расстояниях, не находятся в равновесии, но перевес происходит в сторону того веса, который находится на бóльшем расстоянии.
2. Если два веса, находясь на определенных расстояниях, уравновешивают друг друга и если к одному из {82} этих весов что-либо прибавить, то весы уже не будут уравновешивать друг друга, но наклонятся к тому весу, который увеличили.
4. Если равные и подобные15 плоские фигуры при наложении совпадают, то совпадают и их центры тяжести (τα κέντρα των βαθέων).
5. В неравных, но подобных фигурах центры тяжести сходственно расположены.
6. Если две величины, находясь на известных расстояниях, уравновешивают друг друга, то и равновеликие им16 — С. Л.).
7. Если обвод какой угодно фигуры имеет выпуклость всюду в одну и ту же сторону, то центр тяжести должен быть внутри фигуры.
Эти постулаты вполне аналогичны по форме постулатам, которые клались в основу античной геометрии, хотя бы той же геометрии Евклида. С точки зрения античного понимания аксиоматики они должны представлять собой самоочевидные истины. Между тем, не трудно заметить, что 6-ой постулат самоочевидной истины уж никак не представляет. В самом деле, если перевести на привычный нам язык, то этот постулат будет звучать так: если нагрузку одного из плеч рычага заменить другой, равной ей по массе и имеющей центр тяжести на той же вертикали, то равновесие не нарушится. Не трудно видеть, что этот далеко не самоочевидный постулат implicite содержит в себе утверждение о равенстве статических моментов обеих нагрузок. Возьмем, например, простейший случай: материальная точка с массой Μ, отстоящая от точки опоры на L, заменена двумя материальными точ-{83}ками с массой ML + l, другая на L–l. Тогда массы обеих нагрузок равны, и центры тяжести совпадают. Но в этом случае, очевидно, и моменты равны, ибо
ML = (M/2)(L+l) + (M/2)(L–l).
— влево на таком же расстоянии, то этот вывод может быть распространен на любые две плоские нагрузки с одинаковой массой и одним и тем же центром тяжести.
Утверждение это, таким образом, не самоочевидно; мы могли бы с равным правом принять за постулат то что является окончательной целью доказательства — равенство моментов нагрузок неравноплечего рычага. Правда, принятое Архимедом за постулат положение несколько проще17.
Итак, Архимед стремится придать своему рассуждению характер аксиоматического обоснования по образцу математики, как того требовала в то время, если можно так выразиться, научная благопристойность; но фактически он кладет в основу своего рассуждения экспериментально обоснованный факт о равенстве сумм моментов.
Впрочем, сущность вопроса заключается в том, что в разбираемом нами сочинении вовсе не дано определение важнейшего понятия — понятия центра тяжести. По-видимому, это определение уже было дано Архимедом в книге «О весах» или «О рычагах» (Περι ζυγων). Поскольку {84} можно судить по ссылкам на это сочинение, здесь даны были постулаты и общие теоремы учения о центрах тяжести, отсутствующие в дошедшем до нас труде, а также, вероятно, теоремы о центрах тяжести тел (пирамиды, конуса, параболоида вращения и т. д.). Как мы видим из указания Паппа, жившего в III в. н. э., указания, подтверждающегося теоремой 4 разбираемого сочинения «О равновесии» и теоремой 6 сочинения «О квадратуре параболы», Архимед понимал под центром тяжести точку, отличающуюся тем свойством, что при подвешивании тела за эту точку оно останется в равновесии, какое бы ему ни было придано положение. «Это стержневой принцип теории центра тяжести» — читаем мы у Паппа18. — Ты узнаешь. основные положения, доказываемые при помощи этой теории, если прочтешь учение о равновесии Архимеда». В сочинении «О квадратуре параболы» Архимед говорит, что это положение у него в другом месте — очевидно, в сочинении «О рычагах».
Как было сказано выше, уже до Архимеда стоик Посидоний определял центр тяжести как точку, отличающуюся тем свойством, что при проведении через нее вертикальной плоскости тело разделится на две равные (вернее, имеющие равные моменты) части. Как сообщает Герон (в своей «Механике»)19, Архимед и его школа углубили это положение, проведя различие между центром тяжести и точкой подвеса. В самом деле, Архимед понимал, что фактически подвесить тело за центр тяжести в большинстве случаев невозможно: такое подвешивание может быть произведено только мысленно κατ’ επίνοιαν, как выражается Папп)20; для практического же нахождения центра тяжести надо проводить вертикальные плоскости через точки подвеса, подвешивая тело в различных положениях, и искать точку пересечения таких плоскостей.
Все эти особенности: 1) самое понимание центра тяжести, 2) доказательство его существования и 3) способ его нахождения через точку подвеса — характерны для рассуждения о центре тяжести, содержащегося у Паппа. Так как сам Папп резко противопоставляет оригиналь-{85}ные части своего труда этой «общеизвестной» части и указывает как на источники ее на Архимеда и на «Механику» Герона и так как в «Механике» Герона таких рассуждений не содержится, то мы можем с полным основанием считать эти рассуждения заимствованными у Архимеда и потому привести их здесь.
«Пусть дана вертикальная плоскость ABCD, направленная к центру вселенной, куда направляется все, имеющее тяжесть. Пусть АВ прямая, параллельная плоскости, по которой мы ходим (горизонтальная). Если мы положим какое-либо тело, имеющее вес, на прямую АВ так, чтобы плоскость ABCD при продолжении пересекала тело, и будем его перемещать, то раньше или позже тело примет такое положение, что оно перестанет качаться и не будет падать. Если, установив тело таким образом, представим себе плоскость ABCD АВ другой частью своей поверхности. После ряда колебаний она опять примет такое положение, что будет неподвижной, если даже ее не поддерживать, и не упадет. Если теперь снова представить себе плоскость ABCD продолженной, то она снова разделит груз на уравновешивающие друг друга части и должна пересечься с указанной выше плоскостью, рассекавшей груз также на уравновешивающие друг друга части. В самом деле, если вторая плоскость не пересечет первой, то она будет целиком находиться внутри одной из уравновешивающих друг друга частей и поэтому одни и те же части, образованные второй плоскостью, будут и уравновешивать и не уравновешивать друг друга, что нелепо.
Теперь представим себе прямую АВ, перпендикулярную к плоскости, по которой мы ходим, иначе — направленную к центру вселенной (т. е. вертикальную). Пусть, подобно разобранному выше случаю, груз помещен на точку А, так что прямая АВ АВ, то часть ее окажется внутри тела. Представим себе, что отрезок прямой внутри тела сохраняет свое положение (относительно тела), а {86} самое тело положено на прямую АВ другим местом своей поверхности и пришло в равновесие. Я утверждаю, что если теперь продолжить прямую АВ, то она пересечется с первым, проведенным в теле отрезком (внутри тела). В самом деле, если она не пересечется (внутри тела), то можно будет через обе эти прямые провести плоскости, не пересекающиеся друг с другом внутри тела, так что каждая из них будет рассекать тело на части, одновременно уравновешивающие и не уравновешивающие друг друга, что нелепо. Значит, указанные прямые пересекутся внутри тела. Равным образом, если тело будет помещено в других каких-либо положениях на А и придет в равновесие, то продолжение прямой АВ тяжести. Ясно, что, если мы мысленно представим себе груз подвешенным за центр тяжести, то он не будет колебаться, а будет неподвижно сохранять любое приданное ему положение. В самом деле, всякая плоскость, проведенная через эту точку, разделит груз на уравновешивающие друг друга части, так что у тела не будет никакой причины менять положение».
Итак, Архимед доказывал, что центр тяжести имеет такое свойство, но это еще не значит, что он так определял его. Вполне возможно, что Архимед определял центр тяжести как точку, отличающуюся тем свойством, что при перенесении в нее всех точек нагрузки равновесие не нарушится — свойством, из которого впоследствии исходил Герон21. Тогда во всем ходе рассуждения нет никаких логических дефектов, но ни самый процесс перенесения всех точек, ни возможность существования центра тяжести в указанном здесь смысле не являются чем-то очевидным. Это опять же интерпретированный в предельном смысле экспериментальный факт; на опыте мы можем убедиться лишь в том, что при замене одного груза другим, сколько угодно малым по величине, но равным ему по весу и помещенным в районе центра тяжести, равновесие не нарушится. {87}
Приняв указанные выше постулаты, Архимед прежде всего доказывает три непосредственно вытекающие из них обратные теоремы, —3). Интереснее их теорема 4: «Если две равные друг другу величины имеют разные центры тяжести, то общий центр тяжести лежит на середине прямой, соединяющей эти центры тяжести». Эта теорема является лишь следствием из двух теорем, содержавшихся, очевидно, в сочинении о рычагах: во-первых, здесь принимается за доказанное, что этот общий центр тяжести лежит где-то на прямой, соединяющей центры тяжести двух нагрузок («то, что он лежит на прямой АВ, было уже доказано»). Во-вторых, здесь считается известным, что при перенесении точки опоры в центр тяжести система будет в равновесии, а эта теорема, как мы видели, была скорее всего доказана там же (помещение точки опоры в центре тяжести — это частный случай подвешивания в точке, находящейся на одной вертикали с центром тяжести). Приняв эти два положения, Архимед без всякого труда путем reductio ad absurdum доказывает, что центр тяжести может быть только в середине.
В теореме 5 берутся три равные друг другу величины, лежащие на одной прямой и отстоящие друг от друга на равных расстояниях. Из предыдущей теоремы очевидно, что центр тяжести этой системы совпадает с центром тяжести средней величины. Отсюда очевидно, что сколько бы мы ни имели равных и равноотстоящих друг от друга величин, лежащих на одной прямой, общий их центр тяжести лежит на середине этой прямой (следствие из теоремы 5).
«Соизмеримые величины, помещенные от точки опоры рычага на расстояниях, обратно пропорциональных их весу, уравновешивают друг друга».
Доказательство это настолько же просто, насколько изящно. Пусть общей мерой нагрузок Р и Q будет k и пусть k в Р m раз, а в Q заключено п раз. Разделим рычаг, т. е. прямую АВ, соединяющую центры тяжести нагрузок, в точке С n: m (на п единиц и т единиц) и в точке D в отношении т: п (на т единиц и п С рычаг будет в равновесии. {88}
Отложим влево от А отрезок AD1 равный AD В отрезок BD2, равный BD. Тогда, очевидно, D1A имеет т AD — m единиц длины, АС — п единиц длины, — п единиц длины, CB — т единиц длины, BD2 — п
Рычаг АВ равен т + п единиц длины.
Прямая D1D2 D1A + АВ + BD2 = 2т + 2n единиц длины.
Отрезок CD2 = СВ + BD2 = т + п единиц длины.
Фиг. 13
С есть середина прямой D1D2. Поместим на каждой единице длины нагрузку k/2. Центром тяжести всех таких нагрузок, помещенных на отрезке D1D, будет, согласно следствию из теоремы 5, точка А; общий вес их равен 2m·k/2=mk=P. Значит, согласно постулату 6, этими нагрузками можно заменить груз Р без нарушения равновесия. Точно так же центром тяжести всех таких нагрузок, помещенных на отрезке DD2, будет точка В; n·k/2 = nk = Q. Значит, согласно постулату 6, этими нагрузками можно заменить без нарушения равновесия груз Q.
Но, согласно следствию из теоремы 5, центр тяжести всей системы будет лежать в середине прямой D1D2, т. е. в точке С,
В теореме 7 это доказательство по известному евклидову шаблону распространяется и на случай несоизмеримых величин.
В разобранном нами месте сочинения о равновесии речь идет только о прямолинейном рычаге. Но Архимеду были хорошо известны и законы криволинейного рычага; об этом рычаге Архимед, очевидно, говорил в своем утраченном сочинении «О весах». У Герона (I, 33) читаем: {89} «Архимед доказал, что и в,этом случае отношение грузов обратно пропорционально расстояниям». Точно так же, говоря о частном случае криволинейного рычага, о равновесии грузов, привешенных к двум концентрическим окружностям, Герон (II, 7) прибавляет: «Это доказал Архимед в своем сочинении о равновесии».
Перейдем к вопросу о центре тяжести.
Задачи на нахождение центра тяжести интересовали Архимеда преимущественно как геометра: они давали ему материал для новых блестящих преобразований и доказательств. Для истории механики их значение не велико. Я коснусь здесь поэтому только простейших задач
— задач на нахождение центра тяжести параллелограмма и треугольника, чтобы охарактеризовать основные различия между доказательствами Архимеда и доказательствами его предшественников, о которых мы говорили выше (стр. 70).
Теорема 9 гласит, что центр тяжести параллелограма лежит на прямой, соединяющей середины противоположных сторон.
Для доказательства этой теоремы делается ложное предположение, что центр тяжести не лежит на этой прямой, а находится в точке Н (фиг. 14). Каждая из половин стороны и ED) делится на столько равных между собой частей, чтобы каждая из них была меньше КН, и через них проводятся прямые, параллельные боковым сторонам. Получаем ряд конгруэнтно равных параллелограммов. Центр тяжести всей фигуры лежит на прямой, соединяющей центры тяжести двух средних параллелограммов, а согласно постулату 7 (стр. 83), центр тяжести выпуклой фигуры лежит внутри этой фигуры и, следова-{90}тельно, центр тяжести не может находиться в точке H, как бы мало ни было расстояние от средней линии до Н. Итак, центр тяжести должен лежать на средней линии EN, GM, а следовательно, на пересечении их или на пересечении диагоналей (теорема 10).
Таким образом, решение, очевидно, известно уже до начала доказательства, и Архимед стремится свести к абсурду всякое другое решение. Кто знаком о общим методом построения аналогичных доказательств у Евклида и Архимеда, тот знает, что эти решения представляют собою обход атомистической инфинитезимальной процедуры: разбивая параллелограмм на вертикальные полоски, которые ýже любой заданной величины, Архимед в сущности разбивает его на неделимые, но в окончательном решении устраняет все, что носит атомистический характер. В до-архимедовской механике параллелограм, очевидно, просто разбивался на «материальные» линии, параллельные одной из боковых сторон; поскольку центр тяжести каждой такой «линии» находится в ее середине, можно считать всю тяжесть такой прямой сосредоточенной в ее середине; тогда центр тяжести всей системы должен находиться на средней линии и т. д. (стр. 70).
Все сказанное можно почти дословно повторить и для теоремы 8 — о центре тяжести треугольника. И здесь, как мы говорили (стр. 70), первоначально треугольник разбивался на ряд «материальных» прямых, параллельных основанию. Задачей Архимеда было только перестроить это решение так, чтобы оно удовлетворяло требованиям строгости. Он поступил так же, как в случае параллелограма, сделав предположение, что центр тяжести не находится на медиане, и применив затем reductio ad absurdum.
В связи со сказанным было бы очень важно установить, что понимал Архимед под центром тяжести : имел ли он в виду тела в форме пластинки с очень небольшой глубиной (тогда центр тяжести находился бы на середине глубины), или же абстрактные образы предельного типа. У Герона (I, 24) мы читаем следующее: «Никто не станет отрицать, что в действительности центр тяжести может быть только у тел. Если же говорят, что и у геометрических фигур (надо понимать — нематериальных) пло-{91}ских и телесных есть какой-то определенный центр тяжести, то (смысл этого выражения) надлежаще объяснил Архимед». Очевидно, Архимед, говоря (в трактате «О весах») о центре тяжести геометрических фигур, имел в виду идеальные, нематериальные тела.
В теснейшей связи с архимедовым учением о центре тяжести находилась и его теория о распределении груза между опорами; поэтому очень возможно, что и недошедшая до нас книга его «Об опорах» была написана в раннюю эпоху его научной деятельности, может быть, уже в Александрии.
Приводя ряд правил распределения груза между опорами, Герон в своей «Механике» говорил: «Архимед указал уже на способ решения таких задач в книге, называемой «Книгой опор». Отсюда мы вправе заключить, что та теория распределения груза между опорами, которую мы находим в этом месте «Механики» Герона — книги, носившей компилятивный характер, в общих чертах восходит к Архимеду. Только характерная ошибка, восходившая, как мы говорили уже (стр. 70—71), к стоической механике и состоявшая в том, что груз распределяется между опорами поровну, независимо от их расположения, не может быть приписываема Архимеду. Исключив эти явные нелепости из рассуждений Герона, мы получим в основных чертах теорию Архимеда. В самом деле в 26-й главе I книги «Механики» Герона мы читаем: «(Из книги Архимеда) мы опускаем то, что необходимо для других вещей, и в данном случае используем лишь то, что относится к количественному измерению, как это нужно для учащегося. Общий подход при этом таков. Пусть дано любое количество колонн и на них покоятся балки, причем положение нагрузки относительно двух крайних колонн одинаковое или не одинаковое; пусть балки выступают за одну из этих опор или за обе сразу; пусть, наконец, расстояние между колоннами равное или неравное; требуется узнать, какая нагрузка приходится на каждую из колонн. Пример: пусть дана длинная балка, тяжесть которой распределена равномерно; пусть ее несут люди, размещенные на равных расстояниях друг от друга по длине и в концах балки; пусть один или оба конца торчат, требуется узнать, какая тяжесть приходится на каждого из людей...» {92}
Герон начинает со случая, когда балка с равномерно распределенной тяжестью подперта на концах и в произвольных точках по ее длине. Он рассуждает так: если разрезать балку над каждой из опор, то отрезки балки останутся лежать на опорах, и никакого перемещения не произойдет. Стало быть, думает он, если разрезать балку над каждой из опор, груз останется распределенным так же, как и раньше (рассуждение, конечно, неверное, ибо результате разрезывания взаимоотношение внутренних сил в балке станет совершенно иным). Теперь задачу уже ничего не стоит решить. Если, например, мы имеем опоры А, В, С, D, К, L, а тяжесть участка балки между А и В равна PAВ и C равна PB, между С и D равна PC..., а между К и L РK то опора А будет нести нагрузку PA/2, опора В — нагрузку PA/2+PBС — нагрузку (PB+PC)/2 и т. д., и, наконец, опора L — нагрузку PK/2.
курьеза.
Более интересен случай, когда балка покоится на двух опорах, но один из концов ее не подперт. Этот случай Герон рассматривает в главе 27, и рассуждает в общем правильно. Пусть, например, мы имеем две опоры А и В, пусть часть балки, свободно висящая слева от опоры A, имеет вес РA, а часть, заключенная между опорами А и BPB. Тогда груз PA, висящий слева от опоры A, уравновесится равным ему грузом PA левой части отрезка балки, лежащего вправо от опоры А. 2РA, должна будет выдерживать опора А. Остается вес правой части отрезка балки, лежащего между опорами и примыкающего слева к опоре В; он равен, очевидно, PB—PA.
До этого места Герон рассуждает совершенно правильно. Но здесь дает себя знать роковое заблуждение, в которое, как мы видели, ввел Герона стоик Посидоний и {93} которое не могло иметь места у Архимеда. Герон забывает о законе рычага и распределяет груз PB—PA поровну между обеими опорами, а не обратно пропорционально расстояниям центра тяжести этого груза от опор. Для доказательства этого положения он представляет себе, что в точке где кончается отрезок, весящий PA, и где начинается отрезок PB—PA, подставлена еще колонна С; в этом случае нагрузка PB—PA, разумеется, распределяется равномерно между колонной В С. Далее он предполагает что колонна С принята и что ее нагрузка автоматически пере-
Фиг. 15
дается колонне — допущение неверное, основанное на ошибочном правиле Посидония. Несомненно, у Архимеда речь здесь шла о распределении груза PB—PA обратно пропорционально расстоянию центра тяжести от опор, но Герон его неправильно понял.
Это видно из того, что, рассматривая действие на опоры нагрузок, привешенных в различных точках равномерно тяжелой балки, имеющей опоры в концах, Герон неожиданно поступает совершенно правильно, распределяя нагрузки по закону рычага. Так, для изображенного на фиг. 15 случая, где вес балки Р, P1 и P2, а опоры M и N, Герон дает такое решение (в переводе на нашу символику): на опору М приходится
(Р1·ЕВ)/AB + (P2·FB)/AB + P/2,
на опору N приходится
(P1·AE)(P2·AF)/AB + P/2. {94}
Не менее правильно поступает Герон (resp. Архимед), определяя нагрузку на каждую из опор для случая треугольника, подпертого в трех вершинах. Если требуется найти нагрузку, вызванную тяжестью самого треугольника22Р помещенным в центре тяжести треугольника, т. е. на медиане, на 1/3 ее длины, считая от основания. Этот груз Р он распределяет на оба конца медианы. Получается нагрузка в 1/3Р в вершине и в 2/3Р 2/3 в основании медианы, т. е. в середине основания треугольника, распределяется затем поровну между двумя концами этого основания. На каждое приходится 1/3 Р. Получается правильный вывод: каков бы ни был треугольник, подпертый в вершинах, его опоры несут одинаковую нагрузку.
Если на какую-либо точку треугольника, подпертого в трех вершинах, положен груз, то для распределения нагрузки на три опоры Герон, следуя, разумеется, за Архимедом, предлагает (гл. 39) следующее правильное решение которое мы даем в нынешних символах. Точка, в которой лежит груз, соединяется с одной из вершин треугольника, и соединяющая прямая продолжается до пересечения с противоположной стороны треугольника. Пусть нагрузка равна Р и пусть точка ее приложения делит проведенную прямую в отношении m: п nP/(m+n), на основание mP/(m+n). Пусть теперь проведенная нами прямая разделит основание треугольника в отношении k : l. Тогда на один из его концов придется нагрузка lmP/((m+n)(k+l)), на другой kmP/((m+n)(k+l)).
в общем виде для трех вершин, приравняв полученные выражения и сократив, получим теорему Чевы.
Резюмируя сказанное, мы прежде всего должны указать на то, что живой интерес к механике, засвидетельствованный уже для эпохи пребывания Архимеда в Александрии, заставляет нас считать неверным утверждение Плутарха, выставлявшего Архимеда, в духе симпатичной Плутарху идеалистической философии, поклонником чистой отвлеченной математики, относившимся к механике с высокомерным пренебрежением как к прикладной, сугубо практической дисциплине и занимавшимся ею лишь для развлечения в часы досуга. Наоборот, Архимед делает все возможное для того, чтобы максимально сблизить «чистую» математику с механикой: с одной стороны, он перестраивает всю теоретическую механику по образцу евклидовой геометрии с ее постулатами и логически вытекающими из них теоремами; с другой, он пытается решать чисто геометрические задачи при помощи принципов рычага и учения о центрах тяжести.
Дело в том, что, как мы убедимся ниже, в области математики все внимание Архимеда было устремлено как раз на те отделы ее, где необходимо было интегрирование, запрещенное идеалистической философией; он меньше всего готов был довольствоваться подыскиванием строгих доказательств для положений, уже выставленных в V и IV вв. Одним из главных путей, найденных им для продвижения в этой области, и было математическое обоснование закона рычага и применение его для геометрических доказательств.
Мы видели уже, что по существу обе эти попытки были неудачными. Постулаты, положенные в основание теоретической механики, принадлежали как раз к числу тех «недостаточно очевидных предпосылок», с которыми Архимед, как мы увидим, боролся в области чистой математики; то положение, которое Архимед доказывал — что нагрузки рычага обратно пропорциональны длине его плеч, по существу говоря, немногим менее очевидно, чем тот постулат, который он при этом принимал без доказательства,— что два тела, имеющие равный вес, будучи {96} подвешены за центр тяжести, могут заменять друг друга на рычаге без нарушения равновесия.
Но если бы даже это обоснование теоретической механики и оказалось математически безукоризненным, идея применения принципов механики для решения чисто геометрических проблем не могла оправдать себя: приемы, почерпнутые из механики, потому только приводили к новым выводам в геометрии, что в них допускалось и применялось примитивное интегрирование атомистической математики, запрещенное в чистой геометрии. Стоило только допустить применение этих приемов в геометрии, и не трудно открыть целый ряд новых истин в учении о площадях и объемах, не прибегая к рычагам и центрам тяжести. Правда, Архимед с его техническим складом мышления отличался гениальной виртуозностью именно в применении этих методов, основанных на механике, но, ввиду наличия в них инфинитезимальных элементов, он в этом виде не мог применять их для математических доказательств, а только в евристических целях, для нахождения новых решений, которые затем должны были доказыватъся строгим методом исчерпания.