Приглашаем посетить сайт

Лурье С. Я.: Архимед
Глава шестая. Архимед и Демокрит

ГЛАВА ШЕСТАЯ

Архимед и Демокрит

Из первой книги сочинения «О шаре и цилиндре» мы с несомненностью заключили (стр. 106), что во время его написания Архимед не знал еще трудов Демокрита. Иначе он не мог бы утверждать, что «замечательные теоремы, далеко превосходящие все другие», об объеме пирамиды и конуса, впервые открыты Евдоксом и что «ни один из выдающихся геометров, живших до Евдокса, не знал и не открыл их». В «Письме к Эратосфену о механическом методе решения геометрических задач») Архимед со свойственной ему прямотой и честностью исправляет эту свою ошибку:

«Так как я (как я говорил уже) считаю тебя серьезным ученым и выдающимся по значению философом..., то я счел уместным в этой же книге изложить и объяснить тебе особый метод, благодаря которому ты получишь хорошее вспомогательное средство для исследования некоторых математических вопросов при помощи механики. Этот прием, по моему глубокому убеждению, не в меньшей мере полезен и для доказательства теорем: многие факты стали для меня впервые ясными благодаря механическому методу, но затем их необходимо было доказать геометриче-{137}ски, так как указанный метод строгих доказательств (άποδείξεις) не дает. Ясно, что легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена некоторая ориентировка в вопросах, чем найти его без такой ориентировки. Вот почему и в том случае, когда речь идет о теоремах, строгое доказательство которых впервые нашел Евдокс, — именно, что конус — третья часть цилиндра, а пирамида — третья часть призмы, имеющих то же основание и равную высоту, немалую роль надо отвести и Демокриту, который впервые выставил это положение относительно указанных тел без строгого доказательства (άπόδειξις). Я сам нахожусь в таком же положении, ибо теоремы, которые я сейчас публикую, я нашел прежде при помощи такого же метода; и я решил дать письменное изложение этого метода, отчасти потому, что я уже раньше говорил о нем, и я не хотел бы, чтобы говорили, что это были праздные разговоры, отчасти же и потому, что, как я убежден, я оказываю этим немаловажную услугу математике: я полагаю, что многие из моих современников или последователей, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить новые теоремы, до которых я еще не додумался».

Я думаю, что по прочтении этого письма читателю станет ясно, что Архимед ознакомился с работами Демокрита впервые уже после опубликования первой книги сочинения «О шаре и цилиндре», посланного Архимедом из Сиракуз в Александрию после смерти Конона. Значит, будучи в Александрии, он еще не знал о математических работах Демокрита. Трудно допустить, что их не было в александрийской библиотеке, скорее дело просто в том, что никто из его коллег не указал ему на труды Демокрита, где есть вещи, интересные и для математика. В самом деле, то, что мы знаем об Архимеде, исключает возможность бойкота им вслед за философами-идеалистами сочинений Демокрита за его «безбожие»; случай с Аристархом показывает, что Архимед не посчитался бы ни с какими рогатками, если бы нашел что-нибудь интересное для своей науки.

Обнаружив в Сиракузах математические труды Демокрита, Архимед, несомненно, с жадностью набросился на них. В самом деле, он оказался здесь у истоков того «ато-{138}мистического» интегрирования, которое ему с трудом и по частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и приемов в трудах по механике, написанных его предшественниками. Правда, Архимед с детства знал, что нет большей ереси и большего греха перед великой математической наукой, чем (даже с евристической целью) «составлять» тело из плоскостей, плоскости — из линий, линии — из точек. Уже Платон в «Законах» заявлял категорически: «Что касается отношений линий и площадей к телам или линий к площадям, то разве мы, эллины, не думаем, что их возможно измерять одни другими? Но это никак и никаким образом невозможно». О том же, но в значительно более ясных словах мог прочитать Архимед в сочинении Аристотеля «О небе»: «Постулируя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики... Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз, как например, если кто-нибудь скажет, что существует минимальная величина: введение самой маленькой величины расшатывает самые великие основы математики». Эта полемика является основным тоном и в комментариях к Аристотелю и в знаменитой античной «Истории математики» Евдема Родосского. Как мы видели, в этой полемике принял участие и тот самый Эратосфен, которому было адресовано разбираемое нами послание. Эта полемика даже была на исходе античности сформулирована в виде принципа: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».

и чего не хватало ему в математике: разложение математических величин на элементы и оперирование соединениями этих элементов. При этом он обнаруживает, что те геометрические теоремы, которые он считал величайшим и гениальнейшим математическим открытием — нахождение объема конуса и цилиндра — найдены вовсе не Евдоксом, а тем же Демокритом. {139}

Правда, Архимед как хороший математик не мог думать, что те заимствованные у атомистов доказательства, которые были ему известны из механики и которые он нашел в чистом и более логическом и убедительном виде у Демокрита, можно было принять за строгие и окончательные доказательства (αποδειξεις). Но он хорошо знал также из своего большого математического опыта, что эти строгие доказательства обычно строятся ремесленным образом по однообразным шаблонам при помощи reductio ad absurdum и что, найдя нестрогое решение, основанное на «вряд ли приемлемых» предпосылках механического, т. е. «атомистического» характера, уже не так трудно каждый шаг этого решения по определенному шаблону перелицевать в строгое доказательство, поскольку «ориентировка в вопросе уже приобретена». Архимед по своему опыту знал, что, стоит только найти такое нестрогое доказательство, и главная часть дела уже сделана²⁷. Недаром его коллеги, которым он посылал одни только выводы из своих теорем без указания того пути, которым он до них дошел, как правило, не могли найти доказательств этих положений и ждали решения от Архимеда. Вот почему он в послании подчеркивает, что «нестрогий» метод полезен не только для нахождения решений, но «не в меньшей мере и для нахождения строгого доказательства теорем», ибо «легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена некоторая ориентировка в вопросах». Он вовсе не собирается расшатывать авторитет такого общепризнанного главы новой математической школы, как Евдокс, но, заявляя, что в сделанных Евдоксом открытиях «немалую роль надо отвести и Демокриту», он тем самым подчеркивает значение тех найденных им самим «механико-атомистических» методов решения математических проблем, к которым цеховые математики того времени несомненно относились с недоверием и подозрительностью.

Письмо к Эратосфену является, по существу говоря, {140} выговором и нравоучением господствовавшему в математике направлению, возглавляемому тем же Эратосфеном. До сих пор Архимед нигде ни звуком не упоминал о запрещенных приемах интегрирования, применявшихся атомистами. Он изредка довольствовался скромной пропагандой тоже достаточно смелого с точки зрения тогдашней математики приема — введения в геометрию доказательств, основанных на законе рычага. Прочитав Демокрита, он убедился, что при помощи этих запретных „атомистических“ приемов можно построить замечательное здание математики, конечно, при условии, что вслед за тем ее фасад будет отделан при помощи строгого метода исчерпания. «Я посылал тебе мои открытия (таков истинный смысл письма к Эратосфену) для того, чтобы ты сам попытался найти их доказательства. Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать тебе мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты — серьезный ученый и философ и хороший математик, поэтому не обижайся за правду. Ты не смог и впредь не сможешь решать подобные вопросы потому, что не обладаешь тем золотым ключом²⁸, который открывает все математические двери. Я мог бы сохранить в секрете этот золотой ключ, но не хочу этого делать, так как убежден, что оказываю этим немаловажную услугу математике; я полагаю, что многие из математиков нашего или будущего времени, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить все новые и новые теоремы».

Несомненно такое открывание ширм и разоблачение секретов математического производства было прямым нарушением тогдашнего математического этикета, но для Архимеда интересы истины и дорогой ему науки были выше всего. Однако, настоящим революционным актом, настоящим неприличием с точки зрения этого этикета было то, что в этом послании Архимед, не моргнув глазом, без всяких оговорок и извинений излагает как что-то само собою подразумевающееся основы математики атомистов. Он, точь-в-точь как Демокрит, разлагает цилиндр, конус или шар на чрезвычайно тонкие листки — кружки. Далее он доказывает нужное ему положение для одного {141} из кружков, затем замечает, что его вывод должен быть верен для любого из кружков, и, наконец, так как тело, по его мнению, все сложено (состоит) из таких кружков и целиком заполнено ими (συμπληρωθέντος), он сразу же строит умозаключение и для целого. Подобным же образом плоскость, по его словам, состоит (сложена, συγκείμενος) из линий. Недаром, он начинает это письмо со ссылки на Демокрита.

Правда, эта заимствованная у атомистов предпосылка применяется здесь только на первой стадии — для нахождения предварительных решений без строгого доказательства. Но с точки зрения тогдашних взглядов вообще нельзя было ни в какой части сочинения ссылаться как на общепонятную истину, без всяких оговорок и извинений, на концепцию, борьбе с которой были посвящены все математические труды того времени (включая, как мы видели, труды самого адресата письма — Эратосфена). Ведь Архимед мог бы сказать: «допустим пока, что тело состоит из плоскостей», или «дело происходит так, как если бы тело состояло из плоскостей», или «нахождение решения значительно облегчается, если сделать несоответствующее действительности допущение» и т. п. Ничего подобного мы здесь не находим. Выражение — «Так как треугольник ГΖА состоит из прямых, ограниченных обводом треугольника ГΖА, а параболический сегмент — из прямых, находящихся в сегменте АВГ»,— имеет вполне аподиктическую форму. Здесь совершенно то же положение вещей, что и в вопросе о гелиоцентрическом учении Аристарха Самосского. Архимед кладет его в основу своих вычислений, ни слова не говоря о том, как он к нему относится. Гипотеза атомистов полезна, значит, несмотря на все школьные предрассудки и на протест, который она должна вызвать у воспитанного читателя, ее надо использовать; она недостаточно убедительна, значит, сделанные при ее помощи выводы надо проверить другим, более убедительным образом. Принципиальные возражения Эратосфена против демокритова способа выражения, против составления линий из точек, площадей из линий здесь, таким образом, просто игнорируются.

Нельзя ссылаться на то, что послание к Эратосфену есть письмо, имеющее, в противоположность другим рабо-{142}там Архимеда, интимный характер. Верно, что оно рассчитано на более узкий круг читателей, чем другие его произведения, как выражается Архимед, — «на серьезного ученого и философа», для которого атомистическая ересь соблазна не представляет. Но это не значит что перед нами личное письмо, рассчитанное на то, что Эратосфен прочтет его и уничтожит. «Письмо» является в данном случае только литературной формой; Архимед сам ведь говорит в предисловии, что хочет оказать этим письмом «большую услугу математике и желает, чтобы с его методом познакомились многие математики настоящего и будущего». Итак, это — не частное письмо, а манифест, агитационное произведение, начинающееся с упоминания огромных заслуг Демокрита и далее излагающее, в сущности, основанный им метод. Вдобавок надо иметь в виду и то, что и другие сочинения Архимеда, по самому своему содержанию, также не рассчитаны на очень уж широкие круги читателей.

Это письмо дает нам возможность понять структуру доказательства некоторых из теорем, заключенных в трудах Архимеда. С первого взгляда его решения кажутся каким-то фокусом; после ряда непонятных нам преобразований и манипуляций, неизвестно откуда взятых и какую цель преследующих, внезапно получается верный и неопровержимый вывод. Но стоит восстановить соответствующее доказательство по методу атомистов и каждый шаг в решении Архимеда станет понятным.

Любопытно, что по иронии судьбы (если не по проискам врагов атомистов) из известных нам сочинений Архимеда ученым эпохи рождения интегрального исчисления (XVII и начала XVIII в.) не было известно как раз «Письмо к Эратосфену». Лишь в 1906 г. приват-доцент Петербургского университета Пападопуло-Керамевс нашел в библиотеке одного из иерусалимских монастырей какой-то позднехристианский текст, написанный на пергаменте с которого был смыт более древний греческий текст Χ в. В виду своего невежества в математике и в истории точных наук Пападопуло заинтересовался только верхним христианским текстом, а из нижнего, смытого, который тем не менее можно было без большого труда прочесть привел в каталоге Иерусалимской библиотеки только не-{143}большую выдержку. Однако, для знаменитого датского историка математики Гейберга этой выдержки было достаточно, чтобы определить, что смыт был текст Архимеда. Гейбергу удалось прочесть его почти полностью и издать. Из содержащихся здесь сочинений Архимеда наиболее интересно впервые опубликованное Гейбергом «Послание к Эратосфену».

Математикам XVII и XVIII вв. это произведение, таким образом, не могло быть известно, но к чести их надо сказать, что из изучения других сочинений Архимеда они безошибочно определили, что Архимед пользовался для нахождения своих решений методом неделимых, но только скрывал это от читателя.

²+2²+3²+... (стр. 151—153). Сейчас остановимся несколько подробнее на «Письме к Эратосфену», или, как его сокращенно называли древние, «Эфод» или «Эфодик» («Метод»).

В предисловии к этому сочинению, конец которого, к сожалению, не дошел до нас, Архимед перечисляет те проблемы, которые он в двух предыдущих письмах предложил разрешить Эратосфену и которые теперь составили содержание разбираемой книги. В первом из этих писем Архимед предлагал Эратосфену доказать теоремы, относящиеся к открытой им впервые области, — к телам, образуемым вращением конических сечений. Уже в письме к Конону, о котором мы говорили выше, Архимед предлагал ему доказать, что сегмент параболоида вращения, образованный сечением, перпендикулярным к оси, в 1¹/₂ раза больше конуса с тем же основанием и той же высотой и что объемы двух сегментов параболоида вращения, образованных сечениями, параллельными друг другу, но не перпендикулярными к оси. относятся, как квадраты осей. Эти же задачи Архимед задал и Эратосфену; но он присоединил сюда еще теорему о том, что объем эллипсоида вращения равен ²/₃ объема описанного вокруг него цилиндра и что центр тяжести параболоида лежит на его оси, на ¹/₃ расстояния от основания. {144}

Второе письмо к Эратосфену содержало предложение решить две задачи: 1) Определить объем тела, образованного двумя цилиндрами, вписанными в куб, один из которых имеет ось, параллельную основанию, другой — ось, параллельную боковой грани (фиг. 25)²⁹. 2) В прямую призму с квадратным основанием вписан цилиндр. Через ребро верхнего основания призмы и через центр нижнего основания ее проведена плоскость, отсекающая часть цилиндра. Требуется доказать, что объем этой части цилиндра составляет — объема всей призмы (фиг. 26).

Фиг. 25

Фиг. 26

С точки зрения Архимеда обе эти задачи интересны тем, что тела, ограниченные цилиндрическими поверхностями, оказываются равновеликими телам, ограниченным плоскостями (таким образом, мы здесь имеем стереометрическую параллель к знаменитым гиппократовым лункам и к квадратуре параболы). Для нас вторая из этих задач интересна тем, что это — единственная задача во всем наследии Архимеда, которая решается путем неделимых в чистом виде, без всякого применения механики (закона рычага), тогда как во всех других случаях разложение на неделимые применяется только так, как это было принято в задачах механики, для перенесения тела на дру-{145}гое плечо рычага. Появление такого решения (теорема 14) в сочинении, которое открывается указанием на заслуги Демокрита в деле определения объема тел, не случайно: в данном случае мы имеем, несомненно, дело с приемом, прямо заимствованным у Демокрита. Приводим решение этой интересной задачи.

Фиг. 27, а

Фиг. 27. b представляет собой одно из квадратных оснований призмы ABCD; HGFE — основание цилиндра. Через EG и через ребро C'D' второго основания (показанное на чертеже 27, a) лежащее над стороной CD GECDC’D', равная, очевидно, половине четырехугольной призмы, имеющей основанием тоже GECD и, следовательно, ¹/₄ всей призмы. Теперь Архимед вписывает в полукруг GOFE параболу с осью KF (на рис. 27,b показана только ветвь GLF этой параболы). Это чрезвычайно важный и интересный прием: парабола здесь просто вспомогательная кривая, которая строится лишь для того, чтобы искомую кубатуру свести аналитическим путем к уже известной {146} читателю квадратуре параболы. Теперь будем изучать любую из числа «всех горизонтальных прямых», из которых составлены как прямоугольник EGCD, так и круг и параболический сегмент; если через такую прямую MN провести вертикальную плоскость (см. фиг. 27, а), то она отсечет: 1) в треугольной призме — один из тех равных друг другу прямоугольных треугольников с основанием, равным MN, из которых составлена эта призма, 2) в отсеченной части цилиндра — один из неравных друг другу прямоугольных треугольников, из которых составлена эта часть цилиндра. Пусть прямая MN последовательно пересечет параболу, круг и сторону квадрата в точках L, О и N. Абсцисса параболы, помноженная на ее параметр MN,

MN·NL=NF²,

откуда

или

MN : NL = MN² : NF² = MN² : LP².

Образуем в обеих частях пропорции отношения предыдущего к разности между предыдущим и последующим (dividendo et permutando):

MN : ML = MN² : (MN²—LP²),

MN : ML = MN² : (MN² — MK²) = MN² : (КО² — MK²) =

= MN² : MO².

Но каждый из прямоугольных треугольников, из которых состоит вся отсеченная часть призмы(фиг. 27, а), подобен каждому из прямоугольных треугольников, из которых состоит вся отсеченная часть цилиндра, а следовательно, их площади относятся как квадраты сходственных катетов (как MN²: MO²). Но, как мы видели, в то же время,

MN² : MO² = MN : ML,

т. е. каждый из прямоугольных треугольников, из которых состоит отсеченная часть призмы, так относится к каждому из прямоугольных треугольников, из которых состоит отсе-{147}ченная часть цилиндра, как каждая из всех прямых, из которых состоит прямоугольник EGCD, к каждой из всех прямых, из которых состоит параболический сегмент. «Каждая к каждому, как все ко всем»; значит, и все прямоугольные треугольники, из которых состоит отсеченная часть призмы, т. е. и вся так относятся ко всем прямоугольным треугольникам, из которых состоит отсеченная часть цилиндра, т. е. ко всей отсеченной части цилиндра, как все прямые, из которых состоит прямоугольник EGCD, т. е. весь прямоугольник EGCD, ко всем прямым, из которых состоит параболический сегмент, т. е. ко всему параболическому сегменту. Но нам уже известно, что площадь параболического сегмента равна ²/₃ площади прямоугольника EGCD; значит и объем отсеченной части цилиндра равен ²/₃ объема отсеченной части призмы, равного ¹/₄ объема всей призмы. Итак, объем отсеченной части цилиндра равен ¹/₆ объема всей призмы.

Все остальные теоремы, содержащиеся в «Письме к Эратосфену», решаются сначала при помощи рычага, а затем методом исчерпания (эти последние решения не сохранились в рукописи, но для нас они большого интереса не представляют); поэтому этим теоремам предпослано несколько лемм из механики, доказанных в сочинении «О равновесии плоскостей». Только теорема о том, что центр тяжести конуса лежит на ¹/₄ его высоты, на которую здесь ссылается Архимед, ни в одном из дошедших до нас сочинений не доказана; очевидно, это доказательство содержалось в одном из утраченных его сочинений.

Архимед начинает в качестве образца механического метода с хорошо известной его читателям теоремы о площади параболического сегмента, дабы они могли сравнить оба метода доказательства. Это доказательство из «Эфода» приведено выше (стр. 78 и сл.). Далее следует также хорошо известная его читателям из сочинения «О кpyге и цилиндре» теорема об объеме шара. Здесь (ср. только что разобранную задачу) конструируются конус, шар и {148} цилиндр (фиг. 28); произвольная горизонтальная плоскость (след которой MOPN) отсекает от каждого из этих тел по элементу — по кругу разной величины с диаметрами MN, OP, QR.. Оказывается следующее: если круговые элементы шара и конуса, образованные одним и тем же сечением, перенести в конец Н А точка опоры, СА = АН), а соответствующий эле мент цилиндра оставить на месте, то они уравновесятся. Зная отношение длин плеч (2: 1), а также зная, что объем конуса равен трети объема цилиндра, не трудно уже найти и объем шара; предлагаю читателю проделать это самому. Далее, Архимед, совершенно в духе Демокрита, говорит, что объем шара равен объему конуса, основание которого равно поверхности шара, а высота — его радиусу, и уже отсюда определяет поверхность.

На остальных задачах, содержащихся в «Эфоде», останавливаться не буду. Я полагаю, что механический метод усвоен уже читателем в достаточной мере на этих двух примерах. Укажу лишь на то, что характерной чертой этого приема, как и разобранной выше (стр. 146) задачи, решенной методом неделимых, является, как правильно указал Гэзс, замена непосредственного интегрирования элементов, составляющих искомую площадь или объем, другим интегрированием, результат которого заранее известен. Орудием для такой замены в данном случае является рычаг.

Прежде чем перейти к двум следующим большим трудам Архимеда, «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах», разберем приемы, применяемые Архимедом при суммировании рядов

a + 2a + 3a + 4a +...+ na,

а² + 2a + (3а)² + (4a)² + ... + (na)², {149}

ибо они чрезвычайно типичны для применяемой им перестройки математики атомистов. В этой математике, как мы говорили, первый ряд суммировался очень просто: складывались между собою два равных друг другу ступенчатых треугольника (см. фиг. 2) и получался прямоугольник со сторонами па и (n+1)а, т. е. площадь каждого такого треугольника оказывалась равной ((na)²+na)/2, а при очень большом п величиной па можно было по сравнению с (na)² пренебречь, и по лучалось (na)²/2.

В «геометрической алгебре», обоснованной в арифметических книгах «Начал» Евклида, общим выражениям для чисел, символами которых у нас являются буквы а, b, с и т. д., соответствовали отрезки прямых и только отрезки прямых. Поэтому Архимед, верный принципам евдоксовой школы, отказывается изображать единицу квадратиками, из которых составляется ступенчатый треугольник. Он изображает (фиг. 29) каждую величину отрезком прямой соответствующей длины, затем продолжает каждый отрезок до величины наибольшего. Он получает (если перевести на наш алгебраический язык), кроме наибольшей величины па, п—1) а и а; (n—2) а и 2а; (п—3) а и 3a вплоть до а и (п—1) а; затем он прибавляет еще па (0 и па). Таких прямых n+1, каждая имеет длину па; значит их сумма равна na(n+1), или п(п+1)а. Но сумма добавок, сделанных к отрезкам, чтобы уравнять их с наибольшим из них, как раз равна самим отрезкам; значит, сумма отрезков равна

S = (n(n + 1)a)/2 = (n²a + na)/2.

Ясно, что эта сумма

S > n²a/2. {150}

Обозначив n+1 через m, получим

S = ((m—1)ma/2) = (m²a—ma)/2,

откуда

S < m²a/2; или S < ((n—1)²a)/2.

Итак, мы получили верхний и нижний пределы, после чего методом reductio ad absurdum можно уже доказать, что при достаточном уменьшении а разница между S и n²a/2 может быть сделана меньше любой, заранее заданной величины.

И на этом примере не трудно видеть, что метод Архимеда гораздо менее нагляден и гораздо более искусственен, чем старый прием, но задача здесь настолько проста, что это не бросается в глаза.

Другое дело ряд

a²+(2a)²+(3a)²+...+(na)².

Здесь старое решение так же просто, как в случае с рядом а+2a+3a+..., только вместо двух ступенчатых треугольников складываются три ступенчатые пирамиды (см. табл. 3). Когда же Архимеду приходится и в этом случае изобразить величины не кубиками, а отрезками прямых, то выкладки становятся такими сложными, что ему приходится чистосердечно признаться., что он имеет готовый ответ (полученный, конечно, заранее методом неделимых) и что к нему он подгоняет свое решение.

Сначала все идет благополучно. Как раз, как в первой задаче, все отрезки дополняются до величины наибольшего. Но теперь уже эти отрезки символизируют не величины, а квадраты величин; поэтому при сложении и возведении в квадрат двух отрезков, имеющих на чертеже длину а и (п—1) а, а в сумме па, получится уже не просто а² + [(п—1)a]², а еще удвоенное произведение. Получается:

(na)² = (na)²    na)²

(na)² = [a+(n—1)а]² = а² + 2а(п—1)a+[(n —1)a]²,

(na)²  = [2а + (n — 2) a]² = (2a)²+2·(2а)(n—2)a+[(n—2)а]²,

.............................................................................

(па)² = [(п — 1)а+a]² = [(n — 1)а]² + 2(n — 1) а·а + а²,

(na)² = (na)²    = (na)². {151}

Складывая, получаем:

(п+1) (na)² = 2[а² + (2а)² + (3а)² +... + (na)²] +

+2 [a · (n — 1) а + 2а·(n — 2) а+3a · (n—3) a+ +...+(n—l)a·a].

Здесь Архимед останавливается в недоумении. Что делать с последним головоломным слагаемым, не ясно. Но он предварительно, методом неделимых, определил, что в результате складывания трех ступенчатых пирамид получается тело, состоящее из параллелепипеда со сторонами па, па и (п+1)а и «ступенчатого треугольника», площадь основания которого равна п(п+)а², а объем, при глубине а равен п(п+1)а³. Итак весь объем трех ступенчатых пирамид с квадратным основанием;

n²(n+1)a³+(n(n+1)a³)/2.

Разумеется, поскольку Архимед изображает каждую а линейным отрезком, он получает не кубичную, а квадратную степень, и он знает, что у него должно получиться:

3 [а² + (2а)² + (3а)² +... + (na)2] = n²(n+1)a²+(n(n+1)a²)/2.

«Остается, — замечает он, — доказать, что полученное мною выражение равнозначно этому выражению».

Определим n²(n+1)a² из обоих выражений, и полученные значения прировняем друг другу (обозначаем искомую сумму a²+(2a)²+(3a)²S). Должно получиться

n²(n+1)a²=3S—(n(n+1)a²)/2.

Получилось

n²(n+1)а²=2S+2[а·(n— l)а+2а·(n—2)а+3а·(n—3)a+...+(na)²].

откуда после, вычитания второго выражения из первого должно получиться

S = (n(n+1)a²)/2+2[а·(n— l)а+2а·(n—2)а+3а·(n—3)a+...+(n—1)a·a]. {152}

Но в верности этого равенства мы убедимся, сложив следующие выражения:

a² = a²,

(2a)² = 2а²+2·a²,

(3a)² = 3a²+2(2a²+a²), (4а)² = 4а² + 2 (3а² + 2а² + а²),

...........................................

(na)² = na²+2[(n—1)a²+(n—2)a²+...+a²)]

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

S = (n(n+1)a²/2+2[(n—1)a²+2(n—2)a²+3(n—3)a²+...+(n—1)a²],

что и требовалось доказать.

Итак,

3Sn= n³a² + n²a² + n²a²/2 + na²/2.

Наряду с этим точным значением для S мы встречаемся у Архимеда и с пределом этого значения

3Sn > n³a².

Как мы видели (стр. 20), это при переводе в третье измерение (n³a³) — объем трех пирамид со стороной основания и высотой па, которые могли рассматриваться как предел ступенчатых пирамид при чрезвычайно малом а.

Сходным путем Архимед доказывает также, что

3S_n—1 <n³a².

Из других теорем, содержащихся в этих сочинениях, наибольший принципиальный интерес, быть может, представляет собой предложение II сочинения «О коноидах и сфероидах» (фиг. 30).

Фиг. 30

«Если ряд линий (т. е. отрезков прямых) равны между собой, если к каждой из них приложена некоторая площадь, имеющая избытком квадрат (см. выше, стр. 14 и сл.), тогда как стороны этих фигур, выступающие одна на другой, превосходят друг друга на одну и ту же величину, равную наименьшей из этих сторон; если, с другой стороны, дан ряд площадей в том же числе, что и первые, при-{153}чем каждая из вторых площадей равна по величине наибольшей из первых, то отношение их суммы к сумме первых площадей будет меньше, чем отношение прямой, равной сумме стороны наибольшего из выступающих друг над другом прямоугольников с одной из равных друг другу сторон, к прямой, равной сумме ¹/₃ стороны наибольшего из выступающих друг над другом прямоугольников с половиной одной из равных друг другу сторон» (так же формулирован и нижний предел).

Я нарочно привел эту теорему в формулировке автора, чтобы читатель мог убедиться, насколько невразумителен для нас, привыкших к алгебраическим обозначениям, язык евклидовой геометрической алгебры, и почему нам приходится, щадя время и внимание читателя, обычно переводить эти невразумительные формулировки на наш математический язык. Так, площадь «имеющая избытком квадрат», значит, как мы видели, что в прямоугольнике, одна сторона а которого постоянная, а другая х переменная величина, на последней строится квадрат, и следовательно, площадь всей фигуры, состоящей из прямоугольника и квадрата, равна ах+х². В целом эта пропорция выразится {154} в наших терминах так:

К этому выводу Архимед приходит таким образом.

Суммируя

b·a + b·2a + b·3a +...+ b·na,

b)

bn²a/2 < ba + b·2a + b·3a +...+ b·na.

Суммируя затем

a² + (2a)² + (3a)² +...+ (na)²,

он, согласно приведенной там же теореме, получает

n³a²/3 < a² + (2a)² + (3а)² + ... + (na)².

При сложении правых и левых частей неравенств получается

n³a²/3 + bn²a/2 < [ba + a²] + [b·2a + (2a)²] +...+ [bna + (na)²],

откуда уже легко выводится требуемое неравенство (числитель и знаменатель левой части сокращаются на п²а).

Если элементарные слагаемые, входящие в это рассуждение, мы будем представлять себе не фигурами, а телами, имеющими минимальную глубину а, как это делалось в атомистической математике, то, как мы говорили выше (стр. 152), а в правых частях этих неравенств придется заменить через а², а а² через а³

(na)³/3 + b(na)²/2.

Обозначив переменную па через x, мы вправе для наглядности перевести всю эту процедуру на язык наших терминов (с применением знака òdx); получим

откуда

Как раз таким же образом можно было бы доказать, что

В обоих случаях, если возьмем сумму не п, а п—1 членов, знак <изменится на>. Таким способом мы получим верхний и нижний пределы, после чего методом reductio ad absurdum можно уже доказать, что при достаточном уменьшении a знак неравенства превратится в знак равенства. Как мы увидим, однако, ниже (стр. 168 и сл.). формулой с отрицательным знаком при а² Архимед не пользуется, хотя казалось бы, она ему была необходима.

К этому общему виду и сводятся все основные теоремы книги «О коноидах и сфероидах», поскольку они не могут быть сведены к более простому виду òbxdx или òx²dx. Вправе ли мы на этом основании говорить, что Архимед нашел и применял общий алгорифм для решения степенного ряда до второй степени? Думаю, что это было бы неправильно, ибо применение этого «общего алгорифмам носило у Архимеда стихийный и бессознательный характер; он нигде не отказывается от других разнообразных методов интегрирования ради этого метода, нигде не {156} выделяет его и не подчеркивает его универсального значения. Впервые осознал значение этого приема Кавальери, подчеркнувший и выдвинувший на первое место свою «теорию абсцисс» с ее «всеми абсциссами», «всеми квадратами абсцисс», «всеми остатками абсцисс» и т. д. Интегрирование как самостоятельный алгорифм родилось только с этого момента.

Тем не менее, нельзя, конечно, недооценивать значение открытия, сделанного Архимедом.

Перейдем теперь к отдельным трудам Архимеда, относящимся к этому времени. Сочинение «О спиралях» (буквально: «О раковинообразных линиях» — Περι κογχοειδων) посвящено нахождению площади витка спирали, названной впоследствии архимедовой спиралью. — спираль, у которой радиус-вектор (т. е. прямая, проведенная из начала (центра) спирали к любой точке ее окружности) имеет один конец неподвижно закрепленным в этом начале, тогда как другой вращается (по часовой стрелке) вокруг этого начала, причем длина радиуса-вектора все время возрастает пропорционально возрастанию этого угла. Иными словами, уравнение этой спирали³⁰

ρ = nφ.

Определение этой спирали, содержащееся во введении к этой книге, особенно интересно, ибо оно показывает, что Архимед был и оставался прежде всего механиком. Здесь впервые в истории математики дано механическое определение генезиса спирали, как кривой, которую описывает на плоскости точка, движущаяся равномерно вдоль прямой, в то время как сама эта прямая совершает равномерное вращательное движение вокруг точки. Здесь Архимед впервые дает ясное определение понятий: «равномерное прямолинейное движение», «равномерное вращательное движение» и «сложение» этих движений.

Площадь, ограниченную начальным радиусом и витком спирали (т. е. путем, проходимым концом радиуса-вектора за время его полного оборота вокруг оси — первого, {157} второго и т. д.), Архимед называет первой площадью, второй площадью и т. д., а площадь круга, имеющего центром начало спирали и радиус которого равен по длине радиусу-вектору в конце каждого витка, Архимед называет первым кругом, вторым кругом и т. д.

Как во всех других своих книгах, и здесь основным теоремам Архимед предпосылает несколько вспомогательных лемм. Из них наибольший принципиальный интерес имеют три леммы, посвященные νεΰσις, т. е., как мы говорили уже, вставке между двумя линиями отрезка данной длины, продолжение которого проходит через данную точку. Так, например, Архимед (фиг. 31) доказывает, что, если дана хорда АВ в данном круге и перпендикуляр ОМ, опущенный из центра O на эту хорду, то всегда можно так провести радиус ОР, чтобы при продолжении его затем до пересечения с хордой АВ в точке F

PF : PB > BM : MO (1). 

Для этой цели из центра О проводим прямую ОТ, АВ, и из В прямую, перпендикулярную OВ, до пересечения с ОТ в точке Т. Тогда треугольники ОМВ и ОВТ с взаимно перпендикулярными сторонами подобны, откуда 

ВМ : МО = ОВ : ВТ (1).

Берем любую длину d, удовлетворяющую неравенству 

OB : d > BM : MO (2).

Между окружностью и прямой ОТ вставляем отрезок РН длины d так, чтобы продолжение РН попадало в В. Тогда из подобия треугольников ОРН и BPF получим 

PF : PB = OP : PH = OP : d (3).

Но ОР=ОВ, как радиусы круга, и значит 

PF : PB = OB : d (4).

{158}

Следовательно, на основании (2) мы нашли такую точку Р, что

PF : PB > BM : MO.

В этих леммах применен, как мы видим, неортодоксальный, запрещенный прием, νεΰσις, но применен он не как прием решения, а только для исследования задачи, для доказательства существования решения.

Как мы уже сказали, основная цель сочинения —нахождение площади, ограниченной спиралью и начальной линией. Для характеристики методов работы Архимеда достаточно взять только теорему о площади первого витка, равной, как доказывает Архимед, ¹/₃ площади первого круга. Разделив окружность на п — равный 0, на втором — равный а, на третьем — равный 2a, на четвертом — равный 3а и т. д. Через концы этих радиусов-векторов и проходит искомая спираль. Теперь из О как из центра проведем через концы радиусов-векторов отрезки окружностей до пересечения с соседними радиусами (фиг. 32). Секторы, получающиеся по направлению против часовой стрелки от этих точек спирали, образуют ломаную линию, состоящую из изображенных сплошной линией дуг и отрезков радиусов и описанную вокруг спирали, а секторы, образующиеся в направлении по часовой стрелке от этих точек на спирали, представляют собой такую же ломаную линию, но вписанную в спираль; она состоит из изображенных пунктиром дуг и от-{159}резков радиусов. Площадь первого описанного сектора равна pa²/n, площадь второго p(2a)²/n, третьего p(3a)²/n и т. д. вплоть до последнего, n-го, площадь которого p(na)²/n. Вынося p/n за скобку и суммируя, получим площадь, ограниченную описанной ломаной:

(p/n)[a² + (2a)² + (3a)² +...+ (na)²].

Но этот ряд (ряд квадратов натуральных чисел) Архимед, как мы видели, суммировал и приходил к выводу, что

n³a² < 3[a² + (2a)² + (3a)² +...+ (na)²].

Если мы теперь возьмем вписанные секторы, то площадь первого из них также равна pa²/na)²/n и т. д.; но этих секторов меньше: их не n, а п—1; получим сумму ряда

(p/n)[a² + (2а)² + (3а)² +...+ (n—1)²],

для которого, как указано выше, будет верно неравенство

п³a² > 3{a² + (2a)² + ...+ [(n—1) а]²}

или

(pn²a²/3) > (p/n){a² + (2a)² +...+ [(n—1)a]²}.

На основании этих неравенств Архимед известным путем доказывает, что, поскольку разность между

(p/n)[a² + (2a)² +...+ (na)²]

и

(p/n){a² + (2a)² +...+ [(n—l)a]²},

равная pna², при достаточно большом п и достаточно малом а na)²/3 (т. е., она равна трети площади круга с радиусом, равным na, т. е., трети площади круга). Множителя p/n Архимед, однако, не вводит, так как оперирует пропорциями.

Из других теорем остановимся только на одной (фиг. 33), в которой применяется указанный выше νεΰσις ³¹. Если в любой точке Р первого витка провести касательную к спирали, а из центра О восставить перпендикуляр к радиусу-вектору ОР до пересечения с касательной в точке T, а затем из центра О ОР описать окружность до пересечения с начальным радиусом в точке К, то подкасательная ОТ равна дуге KP.

Фиг. 33

ОТ не может быть ни больше, ни меньше части окружности KRP. Пусть ОТ больше, чем дуга KRP. На основании приведенной выше леммы мы можем всегда найти такой радиус OQ, TRP в точке F

FQ : PQ > ¹/₂PR : OM, {161}

откуда, ввиду подобия треугольников ОТР и ОМР,

FQ : PQ > PO : OT

или

FQ : PQ = PO : OU,

где точка U O и T и выбрана так, что OU > ∪KRP.

Переставляем средние члены:

FQ : PO = PQ : OU,

откуда

FQ : PO < ∪PQ : ∪KRP

(ибо PQ < ∪PQ, а OU, по предположению, > ∪KRP).

Откуда, componendo [образуя суммы членов каждого отношения (см. стр. 24 и сл.)],

FO : QO < ∪KRQ : ∪KRP.

Но в спирали дуги пропорциональны радиусам-векторам; следовательно,

FO : QO < OQ₁ : OP.

Поскольку последующие члены QO и ОР между собой равны, FO < OQ₁

Подобным же образом Архимед доказывает, что ОТ не может быть и меньше дуги KRP. Значит,

∪KRP = ОТ.

указал, что эта теорема может быть доказана способом «плоскостных» геометрических мест, без применения в каком бы то ни было виде «объемных» мест (пересечения конических сечений или νεΰσις), и притом прямым путем, без помощи reductio ad absurdum. Папп показал даже, как это можно сделать. По справедливому предполо-{162}жению Гэзса, искусственное и недостаточно наглядное решение Архимеда, скорее всего было результатом того, что он и в этом случае нашел решение методом неделимых, а затем уже, по известному нам шаблону, переложил каждый его шаг на язык строгого метода. Гэзс сделал даже попытку восстановить весь ход его мыслей, но это восстановление, естественно, остается произвольным.

Перейдем теперь к одному из самых замечательных сочинений Архимеда, к сочинению «О коноидах и сфероидах». В этой области Архимед, по-видимому, был пионером; мы ничего не слышим о том, чтобы кто-нибудь до него занимался телами, полученными от вращения сегментов конических сечений вокруг их оси. Архимеду пришлось самому придумать и терминологию для этих тел. Параболу Архимед, как мы видели, называл «сечением прямоугольного конуса»; соответственно этому параболоид вращения он назвал «прямоугольным коноидом»; гиперболу (вернее, каждую из ветвей гиперболы) он назвал «сечением тупоугольного конуса»; соответственно этому гиперболоид вращения он назвал «тупоугольным коноидом». Но тем не менее, Архимед не назвал эллипсоид вращения «остроугольным коноидом», хотя эллипс он и называл «сечением остроугольного конуса». Эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг его большой оси, он называет «удлиненным сфероидом», т. е. «удлиненным шарообразным телом»; эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси, он называет «сплющенным сфероидом», т. е. «сплющенным шарообразным телом». Можно думать, что эти последние названия Архимед придумал (или усвоил у предшественников) еще в раннюю эпоху своего творчества, а затем не хотел уже их менять в угоду стройности всей его системы. Мы говорили уже, что в V в. эллипс, очевидно, рассматривался с точки зрения атомистов как круг, в котором каждая из составляющих его ординат уменьшена в одном и том же отношении; соответственно этому и эллипсоид вращения должен был рассматриваться не как продукт вращения конического сечения, а как удлиненный или сплющенный шар. Отсюда и эти названия.

То, что Архимеду была близка эта «атомистическая» концепция эллипса, видно из предл. 4 разбираемого нами {163} сочинения. Здесь он доказывает, что площадь круга, диаметром которого является большая ось эллипса, относится к площади эллипса, как большая ось эллипса к малой. Доказательство ведется по всем правилам евклидова метода исчерпания (см. стр. 27) без характерного для Архимеда введения наряду с нижней и верхней границами. Но интересно замечание Архимеда: «Так как все линии в круге (параллельные малой оси эллипса, т. е. ординаты) в одном и том же отношении», то такое же отношение имеют и ограниченные этими линиями треугольники и трапеции (GCC₀ и GC₁C₀, CBC₀B₀ и C₁B₁C₀B₀, BAB₀O и B₁A₁B₀O и т. д.), на которые соответственно разбиваются вписанные в эллипс и круг многоугольники, а так как сумма этих треугольников и трапеций и составляет в сумме эти многоугольники, то так же относятся и площади этих многоугольников. Но полудиаметр круга, равный половине большой оси эллипса, и половина малой оси эллипса (АО и А₁О) есть одна из таких пар соответственных ординат; значит, площади многоугольников относятся, как большая ось к малой. Далее, путем reductio ad absurdum доказывается, что и отношение площади круга к площади эллипса не может быть ни больше, ни меньше отношения площадей этих многоугольников, а следовательно, оно равно этому отношению.

Фиг. 34

доказательство (reductio ad absurdum). Но отправным пунктом служит не античная форма уравнения эллипса как конического сечения:  

y²/(x(2a—x)) = b²/a² (1),

а сформулированное в духе атомистов свойство ординат эллипса:  

y : y₁ = b : a (2).

Разумеется, Архимеду не трудно было с уравнением (1) эллипса сопоставить свойство круга: «квадрат перпендикуляра, опущенного на диаметр, равен произведению отрезков диаметра», т. е.

и из сопоставления уравнений (1) и (3) он сразу же получил бы (2):

«так как эти линии разделены в одном и том же отношении», ибо такое разделение не является определяющим свойством эллипса при трактовке его как конического сечения.

Но вернемся к терминологии, которую Архимед предпосылает своему исследованию. «Конус, описанный прямыми, ближайшими к сечению тупоугольного конуса», Архимед называет «охватывающим конусом». «Ближайшие прямые» — это, конечно, асимптоты гиперболы; речь идет о конусе, образованном вращением асимптот вокруг оси. Расстояние от вершины этого конуса до вершины гиперболоида вращения Архимед называет «отрезком, примыкающим к оси», и т. п. Если оси двух сфероидов пропорциональны друг другу, то Архимед называет такие сфероиды подобными.

Как мы узнаем из предисловия к сочинению «О спиралях», теоремы об объеме сегментов параболоида вращения Архимед открыл уже в раннюю эпоху своей деятельности, о чем он сообщал уже в письме к Конону, т. е. до выхода его первого геометрического сочинения «О квадратуре параболы», написанного уже после смерти Конона. Что же касается теорем, посвященных объему гиперболоида и эллипсоида вращения, то к ним Архимед пришел лишь в разбираемую нами эпоху, как видно из предисловия к этому сочинению, обращенного к ученику Конона Досифею: {165}

«В этой книге я посылаю тебе мои доказательства теорем, которых не доставало в книгах, посланных тебе до сих пор. Кроме того, я шлю тебе доказательства некоторых теорем, найденные позже, ибо, несмотря на ряд повторных попыток, прежде мне приходилось отказаться от их доказательства — со столь большими трудностями это было связано. Поэтому-то я и не опубликовал этих доказательств вместе с другими. Но когда позже я засел за них с еще бóльшим усердием, мне удалось разрешить то, что до сих пор представляло для меня непреодолимые трудности».

Своей книге Архимед предпосылает следующие леммы из области теории конических сечений:

2. В гиперболоиде вращения всякое сечение плоскостью, параллельной оси, есть гипербола, подобная гиперболе, произведшей гиперболоид.

3. В гиперболоиде вращения всякое сечение плоскостью, проходящее через вершину асимптотического конуса, есть гипербола, не подобная гиперболе, произведшей гиперболоид.

4. Во всяком сфероиде сечение плоскостью, параллельной оси, есть эллипс, подобный эллипсу, произведшему сфероид.

Доказательства этих лемм Архимед не дает, но замечает: «Доказательства всех этих предложений очевидны» (φανεροί).

«Элементах конических сечений» Евклида, так как в таких случаях Архимед прямо на это указывает. Я считал бы правильным сопоставить с этим замечанием Архимеда случайно сохраненное традицией сообщение Гераклида, биографа Архимеда. Мы узнаем отсюда, что знаменитого автора «Конических сечений» Аполлония из Перги обвиняли в плагиате: его «Конические сечения» якобы есть только видоизменение «Конических сечений» Архимеда, которые автор не успел опублико-{166}вать; Аполлоний якобы присвоил себе труд Архимеда. Об этом обвинении мы скажем ниже (стр. 202), когда будем говорить о взаимоотношениях между Архимедом и Аполлонием. Пока учтем только то, что Архимед, очевидно, готовил публикацию собственных «Конических сечений», которые он, по неизвестным нам причинам, не опубликовал (ни один античный автор на этот труд не ссылается); вполне вероятно, что Архимед в момент написания книги «О сфероидах и коноидах» собирался включить эти леммы в свои «Конические сечения», а потому не считал нужным дать их доказательства.

Из остальных лемм, предшествующих основным теоремам, в этом сочинении наиболее интересны 8-я и 9-я. Здесь показано, как по данному эллиптическому сечению конуса и его вершине, лежащей на осевой плоскости, перпендикулярной к плоскости сечения, найти круговые сечения конуса. Иными словами, всякий прямой конус с эллипсом в основании всегда можно рассматривать как наклонный конус с кругом в основании.

Основной задачей книги является нахождение объема сегмента параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения. Архимед показывает, что этот объем зависит только от площади основания сегмента и его высоты и не зависит от величины угла между основанием сегмента и осью эллипса. Для нахождения объема в каждое из указанных тел (фиг. 35) вписывается и вокруг него описывается ступенчатое тело, составленное из ряда наложенных друг на друга цилиндров, прямых или наклонных, ибо их оси совпадают с осью тела вращения. Высоты этих цилиндров a равны между собой и равны каждая ¹/_n — второму и т. д., но последний из описанных цилиндров не имеет себе соответствия {167} во вписанном ступенчатом теле. Так как высоты цилиндров равны между собой, то их объемы относятся, как квадраты радиусов их оснований, т. е. как квадраты ординат. Но квадраты ординат относятся:

1) в параболе — как соответствующие абсциссы, т. е. они пропорциональны

а, 2а, 3а, 4а, ..., па;

2) в гиперболе — b, т. е. они пропорциональны

a·(b+a), 2a·(b+2a), 3a·(b+3ana·(b+na),

или

b·a+a², b·2a+(2a)², b·3a+(3a)²b·na+(na)²;

3) в эллипсе — как произведения соответствующих отрезков диаметра d

a·(—а), 2а·(d—2а), 3a·(d—3аna·(d—па)

или

d·a—a², d·2a—(2a)², d·3a—(3a)²,..., d·na—(na)²

Разность между объемами описанной и вписанной ступенчатых фигур равна одному цилиндрику, прилегающему к основанию сегмента; при достаточно большом п она может быть сделана сколь угодно малой. Но эти ступенчатые фигуры представляют собой верхний и нижний пределы соответствующих тел вращения; следовательно, подсказанному выше (стр. 151), объем цилиндра, в который вписан параболоид вращения, относится к объему параболоида вращения, как

n²a : n²a/2 = 2: 1;

³/₂ объема этого конуса. {168}

Таким же образом из формул для соответствующих ступенчатых фигур в гиперболоиде и эллипсоиде вращения можно найти отношение объемов этих фигур к объему описанного вокруг них цилиндра.

Необходимо, однако, указать на то, что Архимед пользуется только формулой для суммы ряда ba+a², b×2a+(2а)²

d×a—a² d·2a—(2a)²,...

d/2+h и 2h (где d — большой диаметр эллипса, а h — отрезок диаметра от центра до основания сегмента), отнимает от каждого из них гномон (см. стр. 15) с площадью

d·a—a², d·2a—(2a)², ...

и получает в результате ряд прямоугольников, ширина которых убывает, когда ряд а, 2а, 3а

с·а+а², с·2а+(2а)², ...,

т. е. вид формулы, которой он пользовался для получения объема гиперболоида; в особой формуле для эллипсоида, таким образом, нет нужды. На этом примере мы видим, с какими непонятными для нас трудностями приходилось иметь дело греческому геометру вследствие отсутствия алгебраических обозначений и представления об отрицательном числе. {169}