Приглашаем посетить сайт

Лурье С. Я.: Архимед
Глава восьмая. Поздние работы Архимеда

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

Поздние работы Архимеда

При описании архимедовой «сферы» мы говорили уже, что скорее всего она приводилась в движение водяным двигателем, т. е. было использовано давление воды, сжатой в закрытом пространстве. Очень возможно, что такого же рода двигатель был применен Архимедом и при сооружении некоторых из его военных машин. Действительно, ряд игрушек и приборов, изобретенных предшественниками Архимеда, Архитом, Стратоном и другими, приводился в движение при помощи сжатой воды или сжатого воздуха.

Уже начиная с Демокрита, делались попытки теоретического обоснования принципов упругости. На основании опытов приходили к выводу, что жидкость упруга и, будучи сжата, стремится расшириться, что она расширяется при нагревании и сжимается при охлаждении. Для объяснения этих явлений исходили из гипотезы об атомистической структуре тел: между атомами есть промежутки, пустоты; атомы огня или теплоты, попадая в эти промежутки, раздвигают основные атомы тела, которое и увеличивается в объеме; при охлаждении эти атомы огня выходят {184} из тела, основные атомы сближаются друг с другом либо потому, что «подобное стремится к подобному», как думал Демокрит, либо потому, что «природа боится пустоты», как думал Стратон, — и тело сжимается.

Стоит сравнить эти гидростатические рассуждения с «геометрической гидростатикой», содержащейся в написанном в разбираемую нами эпоху сочинением Архимеда «О плавающих телах» (Περί των όχουμένων), чтобы убедиться, что мы имеем дело с принципиальным переломом первостепенной важности: вместо полуспекулятивных, полуэмпирических рассуждений, мы встречаем здесь стройную цепь математических доказательств, логически вытекающих из нескольких предпосылок.

Такой предпосылкой является аксиома, по которой при равномерном и непрерывном расположении частиц жидкости менее сдавленная частица вытесняется более сдавленной и каждая отдельная частица жидкости испытывает давление жидкости, отвесно над ней расположенной.

Непосредственным выводом из этой аксиомы является теорема, по которой поверхностью всякой жидкости является сфера с центром в центре Земли (таким образом, для Архимеда шарообразность Земли является уже очевидным фактом). В самом деле, если бы поверхность жидкости не была сферой, то частицы жидкости, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра Земли, испытывали бы разные давления, поэтому они не оставались бы в равновесии, а двигались бы, пока поверхность жидкости не приняла бы сферической формы.

Из тех же предпосылок делается далее вывод, что тела имеющие одинаковый удельный вес с жидкостью, в которую они погружены, не могут выдаваться над поверхностью жидкости, но будут держаться на самой ее поверхности, не погружаясь глубже.

Действительно, если бы тело выступало над поверхностью жидкости, то находящийся под телом слой жидкости испытывал бы большее давление, чем слой жидкости, находящийся на таком же расстоянии от центра в каком-либо другом месте. А это значит, что жидкость придет в движение и не успокоится до тех пор, пока тело не погрузится целиком в жидкость и давление на все точки одного и того же слоя жидкости не станет одинаковым. Но как {185} только все тело погрузится в жидкость и наступит равновесие, уже не будет никакой причины для погружения тела глубже под воду.

Точно таким же образом без труда доказывается, что тело, имеющее меньший удельный вес, чем жидкость, в которую оно погружено, будет стремиться вверх из воды, пока не окажется погруженным лишь одной частью, тогда как другая часть будет выступать над поверхностью воды; только в этом случае давление на различные точки одного и того же слоя жидкости будет одинаковым; в том месте, где находится тело, расстояние от поверхности до взятого слоя будет, правда, больше, чем в других местах, но зато удельный вес здесь соответственно меньше, а следовательно, давление всюду одинаково. Очевидно также, что, заменяя часть жидкости плавающим телом, мы не нарушаем равновесия и не изменяем давления на находящийся под телом слой жидкости, а это возможно только в том случае, если вес тела равен весу жидкости, вытесненной частью, находящейся под поверхностью жидкости. Выводом из этой теоремы является следующая за ней: погруженное в жидкость тело, удельный вес которого меньше удельного веса жидкости, стремится кверху с силой, равной разности между весом жидкости, взятой в объеме этого тела, и весом самого тела. В самом деле, если некоторое тело плавает на поверхности жидкости, то часть его, погруженная в жидкость, стремится вверх, как и всякое тело, более легкое, чем жидкость, часть же его, находящаяся в воздухе, стремится, очевидно, вниз. Так как в результате плавающее тело остается неподвижным, то, очевидно, стремление вверх части, погруженной в жидкость, равно стремлению вниз, т. е. весу части, находящейся в воздухе. Но вес части, находящейся в воздухе, равен разности между весом всего плавающего тела и весом его подводной части, а, как мы видели, вес всего плавающего тела равен весу жидкости, взятой в объеме погруженной в жидкость части его. Итак стремление погруженной в воду части вверх (равное весу части, находящейся в воздухе) равно разности между весом жидкости, взятой в объеме погруженной в жидкость части, и весом самой этой части. Это верно, очевидно, для всякого погруженного в жидкость тела. {186}

Эта теорема имеет огромный принципиальный интерес. Стремление тела вверх, т. е. эта разность, очевидно, тем больше, чем больше удельный вес жидкости, в которую тело погружено. Это есть принцип Демокрита, прямо противоположный принципу Аристотеля, по которому тело, погруженное в жидкость, движется тем быстрее, чем удельный вес этой жидкости меньше. Очень возможно, что в этом случае, как и в случае с определением объема пирамиды, Архимед, не зная Демокрита, самостоятельно пришел к тому же выводу, что и он.

Это совпадение во взглядах между Архимедом и Демокритом осталось не отмеченным в нынешней науке вследствие недостаточно глубокого знакомства с наследием Демокрита. Но древним оно не могло не броситься в глаза; недаром Эратосфен, боровшийся, как мы видели, с атомизмом, счел необходимым и в этом случае выступить против теории, противоречившей концепции Аристотеля.

Как мы уже указали выше (стр. 53—54), Эратосфен, будучи математиком, не мог оспаривать правильность доказательства Архимеда. Несомненно, он оспаривал не самое доказательство, а аксиому, легшую в его основание, согласно которой все тела тяжелы и все стремятся к центру Земли, а не к «своему естественному месту» (οικεΐος τόπος), как утверждал Аристотель, и, очевидно, вслед за ним Эратосфен.

óльшим удельным весом, чем жидкость, при погружении в эту жидкость теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненный им, т. е. равный его объему, объем жидкости.

Пусть вес тела a+b, вес равного ему объема воды b. Представим себе теперь тело, более легкое, чем вода, вес которого равен b, тогда как вес равного ему объема воды a+b. Сцепим вместе оба тела. Вместе они весят (а+b)+b=a+2b; вес равного им объема воды b+(a+b)=а+2b. Теперь соединенное тело весит как раз столько, сколько вытесненный им объем воды, и, следовательно, плавает и находится в состоянии равновесия. Но второе, легкое тело стремится вверх, как мы видели выше, с силой, равной разности между весом жидкости, взятой в его объеме, и его собственным весом, т. е. с силой (a+b)—b=а. Итак, лег-{187}кое тело стремится вверх с силой a, и в результате получается равновесие; это возможно только в том случае, если тяжелое тело стремится вниз с той же силой a, а следовательно, его потеря в весе равна b, т. е. оно потеряло в весе столько, сколько весит равный ему объем жидкости.

Прежде чем перейти к группе работ из области «логистики» (вычислительной арифметики), остановимся на курьезной работе Архимеда, посвященной салонной игре «стомахион» («головоломке»), бывшей, вероятно, одним из развлечений сиракузского двора. Из этого сочинения прежде известен был только один небольший отрывок в арабском переводе. Так как в более позднее время всякую трудную задачу называли «архимедовой задачей», то полагали, что и сочинение о «стомахионе» называлось «архимедовым» в этом переносном смысле, ибо считали невероятным, чтобы Архимед занимался такими пустяками, как теория салонной игры. Однако в рукописи с подлинными сочинениями Архимеда, найденной в 1906 г. Попадопуло- Керамевсом и опубликованной Гейбергом (см. стр. 143), сохранилось и начало «стомахиона», так что нет никаких сомнений в подлинности этого сочинения.

Игра «стомахион» состоит в том, чтобы сложить 14 пластинок из слоновой кости таким образом, чтобы они в совокупности образовали квадрат; разумеется, это можно сделать различными способами. Архимед прежде всего обратил внимание на то, что в некоторых случаях получается только видимость заполнения квадрата фигурами, «стороны фигур не лежат на одной прямой, но так мало отступают от нее, что это не заметно глазу»; эти случаи также подлежат изучению, ибо и в этом случае задача считается решенной.

Так, например, если в квадрате ABCD (фиг. 36) провести прямую АЕ, соединяющую вершину А с серединой {188} Е ВС, а затем отрезок АК прямой АЕ от вершины А до пересечения с диагональю BD разделить пополам в точке F, то получается впечатление, что ΔAFD = ΔFKD и что один из них можно заменить другим. В действительности же, если прямые АЕ и CD продолжить до пересечения в точке G, то 

∠AKD = ∠AGD + ∠GDB (1). 

Но в DACG сторона CG, равная стороне квадрата, меньше стороны АС (диагонали квадрата) и, следовательно,

∠GAC < ∠AGD (2);

с другой стороны, 

∠∠GDB (3).

Поэтому, складывая почленно (2) и (3), получаем

∠GAC + ∠CAD < ∠AGC + ∠CDB,

или, ввиду (1),

∠GAD < ∠AKD.

Следовательно, ∠AFD не равен ∠FKD.

Другой дошедший до нас отрывок посвящен доказательству того, что отношение площади каждой из 14 пластинок «стомахиона» к площади всего квадрата рационально.

Это сочинение — характерный образец того, как ясный и научно вышколенный ум ученого умеет найти строго логические связи в любых фактах, казалось бы, основанных на сцеплении случайностей.

Дошедшая до нас в арабском переводе «Книга лемм» представляет собою, по-видимому, сделанную в позднее время выборку из различных сочинений Архимеда. Мы приведем из этого собрания две задачи, относящиеся к типу математических развлечений и близко примыкающие по типу к «стомахиону».

1. Найти площадь «скорняжного ножа» (αρβηλος). Поверхность скорняжного ножа, применявшегося для разрезания и очистки кожи, представляла собой фигуру, ог-{189}раниченную тремя касающимися друг друга полуокружностями, центры которых лежат на одной прямой (фиг. 37). Архимед доказывает, что площадь скорняжного ножа равна площади круга, диаметр которого перпендикулярен к общей линии центров данных окружностей и идет от точки касания двух меньших окружностей до пересечения с большей (фиг. 38).

Фиг. 37

Фиг. 38

В самом деле,

АС² = (АВ + ВС)² = АВ² + ВС² + 2AB · ВС.

Но

AB·BC = DB²,

АС² = АВ² + ВС² + 2DB², т. е.

(p/8)AC² = (p/8)AB² + (p/8)BC² + (p/4)DB²,

или

(p/8)АС²—(p/8)АВ²—(p/8)ВС² = (p/4)DB².

Левая часть этого равенства есть площадь скорняжного ножа, а правая — площадь круга с диаметром DB, что и требовалось доказать.

2. Римская солонка (σάλινον) имеет форму полушария с желобком вокруг в форме тора и крышкой в форме полушария (фиг. 39). Изображенная в проекции на плоскость она выглядит, как на прилагаемом чертеже (фиг. 40). Эту проекцию Архимед и называл σάλινον («римской солонкой»). {190}

Докажем, что площадь искомой фигуры равна площади круга с диаметром BD.

AN² = (PN + АР)² = PN² + АР² + 2PN·АР,

AN² + АМ² = PN² + АР² + 2PN·AP + АМ².

Фиг. 39

Фиг. 40

Заменяя АР в предпоследнем члене через PN+АМ, получим.

AN² + АМ² = PN² + АР² + 2PN (PN+АМ) + АМ² =

= PN² + АР² + 2PN² + 2PN·АМ+АМ² =

= АР² + 2PN² + (PN + АМ)² =

= 2(AP²+PN²).

Но

BD = ВР + PD = АР + PN = AN,

откуда

BD² + АМ² = 2АР² + 2PN²,

или

2АР² + 2PN² — АМ² = BD²,

т. е.

(p/2)AP² + (p/2)PN² — (p/4)AM² = (p/4)BD²

Здесь левая часть — площадь солонки, а правая — площадь круга с диаметром BD, что и требовалось доказать. Архимед обходится без умножения обеих частей уравнения на π/4 ибо он действует при помощи пропорций.

Сочинение «Об измерении круга», как и другие работы этой эпохи, исключая разобранную выше работу «О пла-{191}вающих телах», не имеет большого познавательного значения, скорее являясь образцом виртуозного овладения вычислительной техникой («логистикой»). Избалованные алгебраическими обозначениями, таблицами корней, логарифмов и т. д., мы, к сожалению, уже не в состоянии воздать должную дань восхищения этой стороне работы Архимеда. Открывающая это сочинение теорема о том, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен окружности, а другой — радиусу, представляет собою переработку в новом духе старой теоремы математики атомистов. В этой математике круг как «бесконечноугольник» (как «всюду-угол», как выражался Демокрит) естественно рассматривался как совокупность узких треугольников с вершинами в центре, высоты которых сколь угодно мало отличались от радиусов. Сумма площадей всех этих треугольников, очевидно, равна площади того треугольника, о котором говорит Архимед. Но Архимед так рассуждать не мог. Он предполагает, что площадь круга больше или меньше площади указанного треугольника на некоторую конечную величину. Описывая и вписывая многоугольники и последовательно удваивая число их сторон, он показывает по разобранному выше шаблону невозможность того и другого допущений.

Основная теорема этой книги — это доказательство того, что отношение окружности любого круга к его диаметру меньше, чем 3¹/₇, и больше, чем 3¹⁰/₇₁.

Для этой цели применяется метод, который мы вынуждены были постулировать уже для Антифонта: число сторон вписанного и описанного многоугольников последовательно удваивается, длины периметров описанного и вписанного многоугольников сравниваются между собой. Но, конечно, Архимед не собирается продолжать эту процедуру до тех пор, пока периметры описанного и вписанного многоугольников станут равны между собой: он сопоставляет эти периметры только для оценки погрешности, для определения степени точности полученного результата. Это его первая большая заслуга.

Таблииа 8. Памятники финикийско-эллинистического искусства. Изделия из терракоты

Нахождение периметра многоугольника с числом сторон 2n не является личной заслугой Архимеда: этот пе-{192}риметр умел находить уже Антифонт³⁴. Но Архимед упростил и рационализировал чертеж, и, по-видимому, получил результат при помощи более простых и более точных вычислений. Вместо того чтобы чертить ряд описанных многоугольников, он откладывает полустороны описанных многоугольников на одной и той же касательной (фиг. 41). В самом деле, пусть АВ половина стороны описанного n-угольника; стоит разделить угол ВОА пополам и провести биссектрису ОС, и мы получим отрезок АСn-угольника. Разделив далее пополам ∠СОА и проведя биссектрису OD, мы получим отрезок AD, равный полустороне описанного 4n-угольника и т. д.

Пусть АВ полусторона описанного шестиугольника а, следовательно, угол ВОА — треть прямого. Тогда

OA : AB = √3: 1 > 265: 153 (1),

OB : AB = 2: 1 = 306: 153 (2).

Фиг. 41

Откуда взял Архимед приближение 265: 153 для √3, нам не известно: либо оно было вычислено уже его предшественниками, либо он сам произвел это вычисление в одном из утраченных арифметических произведений; Архимед дает лишь готовый результат без всяких пояснений.

Для определения длины полустороны 12-угольника АС, 24-угольника AD и т. д. Архимед пользуется теоремой: биссектриса делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам

OB: OA = ВС: СА.

(OB + ОА) : ОА = (ВС + СА): СА,

(OB + OA) : ОА = ВА : СА

(ОВ + ОА): ВА = ОА : СА. {193}

(OВ + ОА): ВА = (265 + 306): 153 = 571: 153.

Следовательно,

ОА : СА = 571: 153 (3),

или

OA = 571 часть, СА = 153 части.

Чтобы определить отношение ОС: СА; учтем, что ОС — гипотенуза треугольника ОАС, катеты которого — СА и ОА, и, следовательно,

OC² = CA²+OA².

Но из (3)

ОА² + СА² = (571² + 153²) частей,

ОС² = (571² + 153²) частей,

ОС² : СА² = (571² +153²): 153²

на основании чего Архимед сразу пишет

OC : CA > 591¹/₃ : 153.

Как Архимед извлек квадратный корень из 349 450, нам не известно.

Применяя тот же прием и для дальнейшего удвоения числа сторон, он получает для полустороны 24-угольнпка

OA : DA > 1162¹/₈ : 153,

OD : DA > 1172¹/₈ : 153,

где 1172 ¹/₈ есть квадратный корень из 1 373 943 ³³/₆₄; как извлечен этот корень, Архимед и в этом случае не объясняет.

Переходя к полустороне AE 48-угольника, Архимед получает

OA : EA > 2334¹/₄ : 153,

OE : EA > 2339¹/₄ : 153, {194}

а для полустороны OF

OA : AF > 4673¹/₂ : 153.

Но отношение радиуса OA к полустороне 96-угольника равно отношению диаметра к целой стороне 96-угольника; значит, отношение диаметра ко всему периметру

> 4673¹/₂ : (153 ´ 96) > 4673¹/₂ : 14688.

А следовательно, отношение периметра 96-угольника к диаметру

< 14688: 4673¹/₂ < 3 + (667¹/₂)/(4673¹/₂) < 3¹/_7.

Не трудно видеть из чертежа, что Архимед здесь дает правило для последовательного нахождения

ctga, ctg^a/₂, ctg^a/₄, ...

Для определения нижнего предела (фиг. 42) Архимед начинает со стороны вписанного n-угольника АВ. Если соединить точку B с противоположным концом А₁ АА₁, то получится прямоугольный треугольник. Если мы разделим ∠АОВ пополам и проведем биссектрису ОС, то сторона АС будет, очевидно, стороной 2n-угольника. Но, проведя СА₁, убедимся, что при этом и ∠АА₁В разделился пополам (ибо ∠АА₁В=¹/₂∠AOB, а ∠АА₁С= ¹/₂АОС); итак, и разделяя угол при А₁ пополам, мы получаем каждый раз сторону многоугольника с удвоенным числом сторон.

Треугольники АСА₁ и АСК  подобны, ибо ∠САК = ∠ВА₁С как опирающиеся на одну и ту же дугу СВ, а {195} ∠ ВА₁С = ∠СА₁А и следовательно, ∠∠СА₁А; ∠АСА₁ — общий. Следовательно,

СА₁ : АС = АС : СК = АА₁ : АК (1).

Но А₁С — бнссектриса ∠BA₁A; следовательно (permutando),

АА₁ : АК = А₁В : ВК (2);

из (1) и (2) ut omnes ad omnes, ita unus ad unum:

CA₁ : AC = (AA₁ + A₁B): (AK + BK),

CA₁ : AC = (AA₁ + A₁B): AB,

откуда, в случае шестиугольника

CA₁ : AC = (2 + √3): 1

и т. д.

Таким же путем, как в случае с описанным 96-угольником, получаем для вписанного 96-угольника, что отношение периметра к диаметру

> (66´96): 2017 ¹/₄ > 6336: 2017 ¹/₄> 3¹⁰/₇₁.

И здесь на каждом шагу приходится извлекать корни из очень больших чисел, но Архимед не объясняет, как он это делает. Не трудно видеть, что последовательные, получаемые им величины это

coseca, cosec^a/₂, cosec ^a/₄ ...

Предел погрешности, очевидно, равен

3¹/₇ — 3¹⁰/₇₁ = ¹/₄₉₇ » 0.002

Для прикладного практического уклона научной деятельности Архимеда в эту эпоху характерен повышенный интерес к вычислительной технике, логистике и к связанному с ней вопросу о написании и наименовании больших чисел. Уже из сочинения об измерении круга мы {196} видели, что Архимед мастерски владел искусством извлечения квадратных корней из многозначных чисел.

Большой заслугой Архимеда была новая система обозначений для многозначных чисел. Греческая система обозначений чисел не была позиционной. В позиционных системах одна и та же цифра имеет различное числовое значение в зависимости от позиции, от положения: так, в нашей десятичной системе цифра, скажем цифра 6, означает число «6», если стоит на первом месте справа, «60» — если стоит на втором месте справа, «600», если на третьем и т. д. В древневавилонской шестидесятичной системе та же цифра 6 означала число «6», если стояла на первом месте справа, «360», если стояла на втором месте, «21600» — если стояла на третьем месте и т. д. Наоборот, в греческой нумерации каждая цифра всегда имеет определенное значение, независимо от места, которое она занимает: α — всегда 1, δ — всегда 4, κ — всегда 20, ο — всегда 70, ρ — всегда 100, υ — всегда 400 и т. д. Распространение десятичного принципа на числа меньше единицы привело к открытию десятичных дробей, не известных древним грекам; однако, древние вавилоняне оперировали уже с шестидесятичными дробями, вполне аналогичными нашим десятичным.

Трудно допустить, чтобы Архимеду и его современникам не была известна эта вавилонская нумерация, применявшаяся уже за 2 000 лет до н. э. Однако, греки вплоть до начала нашей эры никогда не применяли шестидесятичной системы, отчасти, может быть, потому, что ее трудно было совместить с греческим способом обозначения чисел, но главным образом, несомненно, ввиду своей косности. Однако Архимед (или его предшественник), вероятно, от тех же вавилонян усвоил метод записи чисел при действиях над ними: несмотря на абсолютное значение числовых знаков, он располагал их по десятичным разрядам, подписывая знаки одного и того же разряда друг под другом.

которое могло быть выражено таким образом, была «ми-{197}риада мириад», т. е. 100 миллионов. Занятия астрономией заставили греков иметь дело с расстояниями, требовавшими для своего выражения гораздо больших чисел. Этим вопросам была посвящена не дошедшая до нас книга Архимеда «Основы арифметики» (αρχαί); как мы узнаем из популярного сочинения Архимеда «Число песчинок», она была посвящена «наименованиям чисел». Краткое резюме не дошедших до нас «Основ» и дано в упомянутой популярной книге.

Примером «бесконечно большого» числа в греческом фольклоре и быте с древнейших времен было число песчинок. Аристофан даже употребляет шутя особое название для такого числа: «песоксот» (ψαμμακόσιοι). Название сочинения Архимеда — «Псаммит», которое мы неточно переводим — «Число песчинок», имеет тот же смысл, что и «песоксот».

Это сочинение по своему оформлению также примыкает к числу придворных развлекательных сочинений Архимеда. Оно посвящено соправителю Гиерона, царю Гелону, и имеет вид парадокса. Согласно общему мнению греков, число песчинок — самое большое из всех возможных чисел; большего числа нельзя придумать. Архимед доказывает, что это неверно: если даже число существующих в мире песчинок мы увеличим настолько, что они займут все мироздание, то и в этом случае их число не будет наибольшим из всех возможных чисел. Для этой цели Архимеду прежде всего необходимо определить максимальную величину мира. При этом он, как мы говорили уже, исходит из гелиоцентрической системы Аристарха Самосского, полагая, что диаметр всего мира примерно во столько раз больше диаметра солнечной системы во сколько раз этот диаметр больше диаметра Земли. Уже Аристарх нашел, что Солнце равно примерно ¹/₇₂₀ большого круга солнечной системы; Архимед экспериментальным путем нашел угол, под каким видно Солнце: этот угол больше ¹/₁₆₄ прямого и меньше ¹/₁₂₀ °33′ и меньше 0° 45′); отсюда следует, что диаметр Солнца больше, чем сторона тысячеугольника, вписанного в большой круг солнечной системы. Но диаметр Солнца, {198} меньше, чем 30 диаметров Земли, а диаметр Земли меньше, чем 1 000 000 стадиев (157 000 км). Из этих отношений получаем, что диаметр солнечной системы меньше, чем «сто мириад мириад стадиев» (т. е. чем 10 000 000 000 стадиев = 1 570 000 000 км). С другой стороны, зерно мака содержит не более 10 000 песчинок, а ширина пальца не больше, чем ширина 40 зерен мака.

Чтобы найти отношение величины мироздания к величине песчинки, придется иметь дело с числами, не имеющими названий в греческом языке. Но Архимед в своих «Основах арифметики» уже придумал систему названий для этих чисел. В разбираемой нами книге он вкратце знакомит читателя с этой системой.

Числа, названия для которых существуют в языке, т. е. числа до «мириады мириад» (или до 10⁸) он называет числами «первого порядка» или «первой октады» («восьмерицы»); название «восьмерицы» показывает, что Архимед воспринимал уже 10 000´10 000 как 10 в восьмой степени, хотя и не создал еще понятия степени. Числа от 10⁸ до 10⁶ «второго порядка», или «второй октады», от 10¹⁶ до 10²⁴ — «третьего порядка» и т. д., перебирая все употребляющиеся числа вплоть до «мириадно-мириадного» или 100-миллионного порядка, заключающего числа от  до .

Этим числом заканчивается первый период. Второй период, также разбиваемый на «порядки», простирается от  до  «мириадно-мириадного» порядка «мириадно-мириадного» периода, т. е . Если выражать эти результаты нашими цифрами, то уже последнее число первого периода выразится единицей с 800 000 000 нулей, а последнее из всех этих чисел выразится единицей с 80 триллионами нулей!

Впрочем для поставленной Архимедом задачи не только нет необходимости выходить за пределы первого периода, но можно довольствоваться лишь первыми восемью из 100 миллионов порядков этого периода: число песчинок в мироздании оказывается меньшим, чем 10 000 000 единиц восьмого порядка первого периода (=10⁶³).

Две последние работы Архимеда — «Об измерении {199} круга» и «О наименовании чисел» — вызвали (я думаю, мы вправе это утверждать) энергичную полемику со стороны другого великого математика эллинистической эпохи — Аполлония из Перги. Поэтому, прежде чем перейти к последнему из дошедших до нас сочинений, приписываемых Архимеду, будет целесообразным остановиться здесь на Аполлонии и на споре его с Архимедом; возможно, что этот спор имел политическую подкладку.

По вычислениям нынешних ученых, основанных на различных замечаниях древних авторов, Аполлоний из Перги (в М. Азии) родился приблизительно в 262 г., т. е. был на 20—25 лет моложе Архимеда. Мы не знаем, жил ли он в Александрии уже одновременно с Архимедом или прибыл туда только после отъезда Архимеда в Сиракузы. Во всяком случае он очень долго жил в Александрии, причем его товарищами по работе были, как сообщают древние авторы, «ученики Евклида». Из его сочинений видно, что он был хорошо знаком с трудами и научной перепиской упомянутого Конона, Никотела из Кирены и других корифеев математической науки. Главной работой Аполлония были его «Конические сечения» в восьми книгах; эта книга оставалась вплоть до нового времени таким же основным классическим сочинением в области конических сечений, как и книга Евклида в области элементарной геометрии. Она быстро вытеснила все существовавшие до нее труды по коническим сечениям, которые поэтому и не дошли до нас.

До Аттала I Пергамское царство, расположенное в северо-западном углу М. Азии, находилось в вассальном подчинении у Селевкидов. Атталу I удалось освободиться от этой зависимости, нанести сокрушительное поражение Селевкидам и стать одним из могущественнейших государей тогдашнего мира. Главным орудием для этого усиления было его сближение с Римом.

Таблица 9. Карфагенские надгробия из Лилибея (Музей в Палермо)

Наибо-{200}лее влиятельные круги, а также лучшие представители образованности в Александрии и Сиракузах также сочувствовали этому объединению; однако страх перед могуществом Рима удерживал Птолемеев от выступления против римлян и побуждал их поддерживать с ним хорошие отношения. В Сиракузах, как мы увидим ниже, шла открытая борьба между греко-карфагенской и римской партиями.

Естественно, что те небольшие государства, которые были до этого времени врагами главных руководителей греческой коалиции или терпели от них обиды, ищут поддержки у Рима. Так, на стороне Рима выступил Этолийский союз, главный враг Ахейского союза; открыто выступил на стороне Рима также Аттал I Пергамский, враг Филиппа V Македонского и Селевка III Сирийского. Аттал и его преемники вели низкопоклонную политику по отношению к Риму (так Аттал I послал в Рим золотой венок весом 246 фунтов). Флот и войска Аттала действуют совместно с римлянами и наносят ряд чувствительных ударов Филиппу V. Римляне умели ценить по заслугам эту помощь. По словам У. Вилькена, виднейшего специалиста по истории эллинизма, верность союзу, заключенному с Римом, была причиной расцвета Пергама в ближайшие десятилетия; но, с другой стороны, чрезмерная преданность Риму была причиной потери Пергамом политической независимости.

Немаловажной причиной сближения Пергама с Римом был экономический антагонизм между Пергамом и Александрией. Это и было одной из причин, которые побудили Аттала создать в Пергаме второй центр греческой культуры, пытавшийся конкурировать с Александрией, Так же, как Гиерон Сиракузский, сам Аттал был писателем: он написал ряд сочинений географического и естественно-научного содержания. Он собрал при своем дворе выдающихся философов и ученых, например философов Антигона из Кариста и Неанфа Младшего. В Пергаме образовалась и замечательная математическая школа, виднейшими представителями которой были Филонид из Эфеса, Евдем и Аполлоний. О преследовании вольнодумства в Пергамской школе мы говорили уже выше (стр. 44, прим. 1).

Аполлоний провел большую часть своей жизни в Александрии; но, как мы узнаем из предисловия к книге I его {201} «Конических сечений», он провел значительное время и в Пергаме в теснейшем общении с математиком Евдемом. Первые три книги своего труда Аполлоний посвятил Евдему. Остальные он посвятил царю Атталу I

Как мы говорили уже (стр. 166), после выхода в свет «Конических сечений» Аполлоннию было брошено обвинение в плагиате; это сочинение будто бы было только переработкой неопубликованных «Конических сечений» Архимеда.

Это обвинение, несомненно, было вздорным. Сам Аполлоний, как мы видим из предисловия к отдельным книгам его труда, никогда не выдавал своей работы за собственное оригинальное открытие, но скромно заявлял, что он привел только в систематический порядок открытия своих предшественников, придав их выводам более универсальный характер; в тех случаях, когда он сам что-либо открыл, он тщательно это отмечал. Нынешняя критика показала, что Аполлоний склонен скорее преуменьшать, чем преувеличивать свои заслуги: и новой последовательной терминологией, и ясностью изложения, и прекрасным литературным греческим языком он далеко превосходит Архимеда. С другой стороны, Архимед как гениальный мыслитель не имел ни желания, ни вкуса подробно излагать то, что уже до него было сделано другими, и писать учебники; каждый его труд — это отчет о его новом открытии. Несомненно, сам Архимед не мог принимать участия в этом обвинении Аполлония в плагиате; за это говорит весь тон предисловий к его сочинениям. Конфликт скорее всего раздувался уже упомянутым Гераклидом и другими друзьями и единомышленниками Архимеда из политических соображений: в Аполлонии, быть может видели прежде всего сторонника Аттала, т. е. сторонника римской партии.

Во всяком случае, между Архимедом и Аполлонием не было дружественных отношений. Архимед, который поддерживал оживленную переписку с выдающимися математиками своего времени и постоянно упоминает их в своих трудах, ни разу не упомянул Аполлония, величайшего из современных ему математиков. {202}

«Измерение круга» Архимеда он выпускает сочинение с полемическим, сатирическим заглавием «Средство для ускорения родов» (’Ώκυτοκιον); для нахождения π он пошел совершенно иным путем, чем Архимед, и получил более точное значение. Он отвергал новые наименования для чисел, предложенные Архимедом, как необычные, чересчур отступающие от принятого словоупотребления. Он счел совершенно излишним давать наименования любым мыслимым числам и показал, что и при помощи словоупотребления, близкого к обычному, можно обозначить числа, далеко превосходящие все, что только можно себе представить. Счету октадами, выдуманными Архимедом, он противопоставлял обычный счет мириадами. Его система в основном та же, что применяем и мы, но нашей тысяче, соответственно особенностям греческого языка, соответствует «мириада» (10000): если в нашем счете в каждом классе три разряда (единицы, десятки, сотни), то в его счете в каждом классе четыре разряда (единицы, десятки, сотни, тысячи). Мириаду мириад (10000²) он называет «двойной мириадой», 10000³ — «тройной мириадой» и т. д. Здесь же Аполлоний обнаружил, соперничая с Архимедом, исключительную виртуозность в действиях над числами и дал общее правило показателей при действиях над мириадами.

Если «Средство для ускорения родов» имело сатирическое острие, направленное против Архимеда, то, быть может, прав Гульч, заключивший из начальных слов архимедовой «Задачи о быках» (рукопись которой впервые найдена и опубликована Лессингом в 1773 г.), что эта «Задача» имела в виду Аполлония, ибо ее начальные слова имеют сатирический оттенок ³⁵.

Здесь применен столь обычный в литературе эллинистического времени «ложный адрес». Такой же прием был применен знаменитым Евгемером в его «Священной надписи», поставленной якобы Зевсом в то время, когда он был царем никогда не существовавшего государства Пан-{203}хеи. Архимед якобы нашел старинную надпись, в которой содержалась головоломная задача на вычисление. Задача эта в дошедших до нас рукописях имеет заголовок, не принадлежащий самому Архимеду: «Задача, которую Архимед, найдя на надписи, послал для решения александрийским математикам в письме, адресованном Эратосфену Киренскому». Дальше следуют стихи, написанные эпическим ионийским языком:

Если уже в словах: «Если ты причастен к мудрости, постарайся напрячь свой разум и исчислить число быков», можно видеть добродушную усмешку по адресу противника, то во всяком случае эта первая часть задачи, даже при отсутствии алгебраических обозначений и знакомства с алгебраическими преобразованиями, не представляла собою чего-либо особенно трудного для античного математика, хотя и требовала головоломных вычислений, в которых проявил себя таким мастером Аполлоний. С нашей точки зрения это — задача на систему из 7 уравнений с 8 неизвестными:

Это — древнейшая из известных нам задач на неопределенный анализ; при решении этой системы уравнений в качестве наименьших значений получаются числа, вполне представимые и обозримые; наибольшее из них u равно 10 366 482, а во всем стаде 50 389 073 головы.

Эта вторая часть задачи, по всем видимостям, не может быть разрешена средствами античной математики и во всяком случае приводит к числам, которые не могут быть обозначены или «измерены» при применении метода, предложенного Аполлонием. По вычислению Вурма, общее количество голов скота в этом случае выражается числом, имеющим 206 545 десятичных знаков, т. е., для того чтобы только записать это число, придется занять 60 страниц убористого шрифта.

Вот почему вполне уместно видеть в этой второй части насмешку над Аполлонием: «Ты думал перещеголять меня в искусстве счета. То, что ты сделал в твоем «’Ωκυτόκιον», еще не настоящая мудрость. А вот реши-ка предлагаемую задачу, и тогда я готов открыто признать, что ты меня победил».

Весьма интересно также небольшое сочинение Архимеда «О семиугольнике», ставшее известным только в 1927 г. {206} в переводе Шоя с арабского перевода Табит ибн Куррах (см. стр. 240). Сочинению была предпослана следующая лемма (фиг. 43):

Фиг. 43

ABCD проведена прямая DE так, чтобы при продолжении ее до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Z образовался DEAZ, равновеликий треугольнику — точка пересечения прямой DE с диагональю ВС, TL — высота DDTC

DC: AZ = AZ: DL,

LT : DL = DL : (LT + AZ).

Действительно, треугольники DTC и AEZ, по условию, равновелики, откуда

AZ·AE = DC·TL,

AE/TL = DC/AZ (1).

DAEZ подобен DTLD (они прямоугольны и накрестлежащие углы AZE и TDC равны), откуда 

AE/TL = AZ/DL (2).

Из (1) и (2)

DC/AZ = AZ/DL.

TL до пересечения с АВ в точке К. Тогда из подобия треугольников DLT и TKZ

LT/DL=LT/KT=DT/TZ=DL/KZ=DL/(KZ+AZ)=DL/(LT+AZ),

что и требовалось доказать.

DL через z, AZ через x, LT через y. Тогда наши уравнения перепишутся так:

(z+y)/x = x/z; y/z = z/(y+x

Легко видеть, что в этой лемме был применен νεΰσις и притом практически неосуществимый. Обычный (разобранный выше) νεΰσις осуществить очень просто. Не трудно передвигать прямолинейный отрезок так, чтобы его концы упирались в две линии, до тех пор пока его продолжение не попадет в данную точку (см. стр. 34—35); но для того чтобы прямую DE вращать вокруг точки D до тех пор, пока ее продолжение не образует ΔΑΕΖΔDTC, нужно делать ряд проб, производя каждый раз соответствующие измерения. На неприемлемость этого решения обратили внимание уже арабские математики. Так, аль-Ялиль ас-Сийзи (951—1024) в своем сочинении «О построении семиугольника, вписанного в круг», замечал: «Это ложное решение заслуживает особенного порицания со стороны тех, которые требуют от построений геометрической точности. Приходится сделать вывод, что вспомогательное построение, с которым знакомит нас Архимед, труднее, чем сама основная теорема, и самый метод решения не красив. Эта вводная теорема не дает ясного представления о практической осуществимости решения и лишена надлежащего доказательства. Разделить прямую в таком отношении труднее, чем разделить круг на семь равных частей... Не может быть хорошего доказательства этой теоремы без применения конических сечений»...

Вдобавок Архимед вообще никогда не применял νεΰσις для решения задач, а только для решений. Здесь такая же загадка, как в случае с евтокиевым решением задачи разделения шара на две части, объемы которых имеют данное отношение (стр. 128); тем не менее сомневаться в том, что это решение действительно принадлежало Архимеду, не приходится. Возможно, однако, что арабский переводчик Табит опустил какие-то принципиально важные оговорки; не надо забывать, что, по его собственным словам, рукопись Архимеда дошла до него в очень искаженном виде.

Эта лемма давала Архимеду возможность построить семиугольник при допущении, что предположенный в лемме νεΰσις выполнен и отрезки x, у, z найдены.

Таблица 10.

Фиг. 44

На прямой BZ (фиг. 44) откладываем последовательно три указанных в лемме отрезка: ВК=z, КА=у, AZ=x. Из А как из центра — проводим окружность ZNH AZ=x; из К как из центра проводим окружность ВМН радиусом BK=z; точку пересечения этих окружностей Н соединяем с В и Z. ΔBHZ описываем окружность. ВН и есть сторона семиугольника, вписанного в эту окружность: Проведем HAG, HKE, BTG, ТА. BGH, противолежащий указанной стороне ВН, через α. Тогда BZH как опирающийся на ту же дугу, тоже равен α; угол H₁ (см. чертеж) ввиду равенства AZ и АН α. Значит, ZG также равна указанной стороне ВН, так как и на нее опирается вписанный угол α. Тогда и опирающийся на GZ угол B₁, также равен α. ΔАНК ΔZHK, ибо ∠К у них общий и

по условию y: z = z: (у+x) (согласно лемме); значит, ∠H₂ α, и, следовательно, EG тоже равняется стороне ВН ΔВКТ=ΔНКА (∠НКА∠ВКТ, ∠H₂=∠B₁=a, НК=ВК по построению); значит, и ΔBHT = ΔВНА∠B₂=∠H₃, ∠B₂+∠B₁=∠H₃∠H₂; ВТ=АН=х, а КТ=КА=у.

Наконец, ΔKHA подобен Δ АНТ, ибо ∠H₂ у них общий, а (z+y): x=x: z ∠НТА=∠НАК=2α как внешний угол в ΔHAZ. Далее, ∠H₃=2α (как угол накрест лежащий с углом HTA), ∠B₂=∠H₃α (ибо ΔВКН по построению равнобедренный). Следовательно, соответственные дуги BE и HZ, на которые опираются эти вписанные углы, в два раза больше дуги, которую стягивает указанная сторона ВН, т. е. в каждую из них можно вписать по две стороны равные ВН. Итак, мы построили правильный семиугольник.

доказывал, что отрезки диагонали относятся между собой, как указано выше. Но применение νεΰσις, и притом в столь несовершенном виде, остается непонятным⁴⁰.

Фиг. 45

Нам остается еще сказать несколько слов о двух не дошедших до нас сочинениях Архимеда, относящихся, по-видимому, к этой эпохе. Это прежде всего сочинение «О многогранниках». В дополнение к пяти правильным многогранникам, изученным уже Феэтетом, учеником Платона, и впоследствии вошедшим в труд Евклида, Архимед доказал существование еще 13 полуправильных многогранников, ограниченных равносторонними и равноугольными, но не одинаковыми между собой многоугольниками; это восьмигранник, ограниченный четырьмя правильными треугольниками и четырьмя квадратами, три различных 14-гранника (первый ограничен 8 треугольниками и 6 квадратами; второй — 6 квадратами и 8 шестиугольниками, третий — 8 треугольниками и 6 восьмиугольниками) и т. д. На фиг. 45 изображены 38-гранник, ограниченный 32 правильными треугольниками и 6 квадратами, и 92 гран-{210}ник, ограниченный 80 треугольниками и 12 пятиугольниками.

Что касается других не дошедших до нас произведений, то наиболее тяжелой надо считать утрату оптического сочинения Архимеда «Катоптрика».

Живший двумя столетиями позже римский архитектор Витрувий вкратце сообщает об основных вопросах, разбиравшихся в этой книге:

«Почему в плоских зеркалах предметы сохраняют свою натуральную величину, в выпуклых — уменьшаются, а в вогнутых — увеличиваются; почему левые части предметов видны справа и наоборот; когда изображение в зеркале исчезает и когда появляется; почему вогнутые зеркала, будучи поставлены против Солнца, зажигают поднесенный к ним трут; почему в небе видна радуга; почему иногда кажется, что на небе два одинаковых Солнца, и много другого подобного же рода, о чем рассказывается в объемистом томе Архимеда».

Итак, круг интересов Архимеда в этой книге был чрезвычайно широк; зная точность научного метода Архимеда, можно быть уверенным, что, если бы удалось найти эту книгу, то наши представления о научной оптике древних изменились бы коренным образом.

Из дошедших до нас цитат известно, что Архимед излагал здесь также результаты наблюдений над предметами, видимыми в воде: чем глубже они погружены, тем в большем увеличении мы их видим. Архимед бросал в сосуд с водой кольцо, чтобы изучать явления рефракции света.

Феон Александрийский, говоря о рефракции в атмосфере, замечает, что «в этом случае, увеличение вследствие рефракции объяснено Архимедом очень точно».

В этом же сочинении Архимед доказывал, что в зеркале угол падения равен углу отражения; это доказательство случайно сохранилось в схолии к псевдоевклидовой «Катоптрике».

Пусть ЕВ плоское зеркало, С глаз, D видимый предмет. Пусть ∠∠DAB=b. Допустим, что a не равно b. Тогда оно либо больше, либо меньше b. Пусть a>bD, а видимый предмет в точку С. Так как, по нашему предположению, угол отражения больше угла падения, то получаем b>а. Но как мы видели, а>ba=b. Не трудно видеть, что это доказательство имеет предпосылкой аксиому: если предмет и глаз поменяются местами, то глаз увидит предмет так же, как до перемещения. Однако такая аксиома не самоочевидна.

«Катоптрика» Архимеда была очень популярна в древности и послужила, по-видимому, источником легенды, будто Архимед сжег римский флот при помощи изобретенных им зажигательных зеркал. На этой легенде мы остановимся подробнее ниже (стр. 235 и сл.); легенда эта служит подтверждением того, что в своей «Катоптрике» Архимед изучал зажигательные стекла и зеркала.

Арабские математики Абульвафа и Эль-Бируни (в книге «О нахождении хорд круга», ставшей нам известной впервые в 1910—1911 г.), сообщают поразивший всех факт: знаменитая теорема для определения площади треугольника по сторонам известная нам по трудам Гелона Александрийского и приписывавшаяся ему (ее называли всегда «теоремой Герона»), оказывается, была открыта Архимедом в его «Книге кругов». Герон и в этом случае оказался компилятором. В этой же книге была решена задача нахождения высот треугольника по трем сторонам; здесь содержалась также пользовавшаяся большой популярностью у арабских математиков «лемма Архимеда», предвосхищавшая в известной степени, как показал Тропфке (см. Библиогр. указатель, № 114), выводы нынешней тригонометрии.

∠BAC между диаметром AB и хордой AC разделить пополам хордой AD, а затем на диаметре AB AH = AC, то {212}

OB·BH = BD².

Эта лемма доказывалась таким образом. ΔDAC равен ΔDHABAD и DAC, равно как и стороны CA и АН равны между собой по условию, а сторона DA — общая. Значит, и DH=DC. Но DC=DBDH = DB и, следовательно, Δ DBH равнобедренный.

Но в таком случае Δ DBH ΔDBO: оба они равнобедренные, а угол при основании DBO общий, следовательно,

HB : BD = BD : DO,

или

BD² = НВ·DO = НВ·ВО.

∠DOB обозначить через α, то

∠DAB = ^α/₂, BD = 2sin ^α/₂, —АН =

= АВ — АС = 2 — 2 sin (90—α) = 2—2 cos α,

откуда

4sin^α/₂=2(1—cosα),

sin^{2 α}/₂ = (¹/₂)(1—cosα).

Такой вид получит эта формула в переводе на язык нынешней тригонометрии. {213}