Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА (от лат. simplex - простой) - группа линейныхпреобразований конечномерного векторного пространства (вещественногоили комплексного), сохраняющих кососкалярное п р о и з в е д е н и е, т. <е. невырожденную кососимметричную (в физ. приложениях чаще употребляетсятермин «антисимметричная») билинейную форму. Пространство, снабжённое кососкалярнымпроизведением, наз. с и м п л е к т и ч е с к и м. Роль С. г. в симплектич. <пространстве аналогична роли ортогональной группы в евклидовом пространстве.

Примеры. 1) Кососкалярное произведение на плоскости с координатами р,q - это форма площади . Паре векторов она сопоставляет ориентированную площадь натянутого наних параллелограмма и меняет знак при перестановке векторов. Напр., кососкалярноепроизведение пары векторов с декартовыми координатами и ₁, u₂ и w₁, w₂ можно записать в виде:. С. г. плоскости изоморфна группе 2x2 - матриц с определителем 1.

2) Прямая сумма га симплектич. плоскостей несёт кососкалярное произведение , относящее паре векторов сумму площадей проекций на координатные плоскостинатянутого на эти векторы параллелограмма. С. г. содержится в группе линейныхпреобразований, сохраняющих объём

3) Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в n-мерном комплексномпространстве, рассматриваемом как 2n-мерное вещественное, является кососкалярнымпроизведением. В координатах эрмитова форма имеет мнимую часть -.С. г. содержит унитарную группу - группу комплексных линейных преобразований, <сохраняющих эту эрмитову форму. Унитарная группа - максимальная компактнаяподгруппа в С. г.

Изучение симплектич. пространства упрощается благодаря теореме Дарбу- Фробениуса, согласно к-рой симплектич. пространство чётномерно, а дватаких пространства одной размерности симплектически изоморфны.

Косоортогональность. Два вектора наз. косоортогональными, если их кососкалярноепроизведение - нуль. Вектор, косоортогональный всему пространству,- нулевой. <В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. <Каждый вектор себе косоортогонален (следствие кососимметричности). Косоортогональноедополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, Косоортогональноедополнение гиперплоскости - прямая в ней. Вообще Косоортогональное дополнениеподпространства имеет дополнит. размерность. Два подпространства одинаковойразмерности переводятся друг в друга преобразованием из С. г., если и толькоесли совпадают размерности их пересечений со своими косоортогональнымидополнениями. В частности, любая прямая (гиперплоскость) переводится влюбую другую. Т. о., геометрия симплектич. пространства во многом определяетсяструктурой С. г.

С. г. 2n-мерного симплектич. пространства - это простая связная группаЛи, обозначаемая [в комплексном случае ]. Её размерность (2n + 1)n. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебреЛи однородных многочленов степени 2 от переменных (p₁, ...,р _п, q₁, ..., q_n )с Пуассона скобкой вкачестве коммутатора:

По этой причине изучение С. г. равносильно до нек-рой степени изучениюлинейных гамильтоновых систем дифференциальных ур-ний. А. Б. Гивенталь.