Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА - замкнутая невырожденная дифференциальнаяформа степени 2. Многообразие, снабжённое С. с., наз. симплектическиммногообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задаёт кососкалярноепроизведение (см. в ст. Симплектическая группа). Кососкалярное произведение пары векторов можно принять за определение площади натянутого на них параллелограмма. <Поэтому на симплектич. многообразии определена площадь 2-мерных ориентированныхповерхностей. Условие замкнутости С. с. связывает кососкаляр-ные произведенияв соседних касательных пространствах таким образом, что (ориентированная)площадь (малой) замкнутой поверхности нулевая. Условие невырожденностикососкалярного произведения позволяет отождествить на симплектич. многообразиивекторы и ковекторы (линейные ф-ции от векторов):Оба условия вместе делают локальную геометрию С. с. универсальной (теоремаДарбу): в окрестности любой точки существуют координаты (p₁,...,p_n, q₁ ,..., q_n), называемыекоординатами Дарбу, в к-рых С. с. принимают вид Для сравнения заметим, что в римановой геометрии риманова метрика (скалярное произведение в касательных пространствах) приводится в подходящихлокальных координатах к виду (dx₁)² + ...+(dх _n)² лишь с точностью до членов 2-го порядкамалости: (последние определяют кривизны риманова многообразия в данной точке).

С. с. естественным образом возникают в классич. механике, а также вкомплексной геометрии. Пусть М ^п - n -мерное комплексноемногообразие, G - эрмитова метрика на нём (т. е. эрмитово скалярноепроизведение в касательных пространствах). Если рассматривать М как2n-мерное вещественное многообразие, то g =ReG задаёт евклидовоскалярное, а - кососкалярное произведение в касательных пространствах. Эрмитова метрика G наз. кэлеровой структурой, если w является С. с., т. е. замкнута:dw=0. Последнее условие необходимо и достаточно для того, чтобыэрмитова метрика G в подходящих локальных комплексных координатахприводилась к виду

Примеры. 1) Комплексное проективное пространство по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в .Касательное пространство отождествляется с эрмитово-ортого-нальной гиперплоскостью к прямой . относительно эрмитовой формы . Форма ,рассматриваемая на этой гиперплоскости, задаёт эрмитову форму в касательномпространстве к в точке х. Такие формы, определённые во всех точках ,задают эрмитову метрику на .Эта метрика кэлерова и называется метрикой Фубини - Штуди.

2) Комплексное алгебраич. многообразие - это комплексное подмногообразиев комплексном проективном пространстве. Ограничение метрики Фубини - Штудина такое подмногообразие наделяет его кэлеровой структурой. В частности, <алгебраич. многообразия обладают С. с. Более общо, комплексное подмногообразиекэлерова многообразия само кэлерово.

3) Гиперкэлерова структура (на 4n-мерном вещественном многообразии)состоит из трёх комплексных структур I, J, К, удовлетворяющихсоотношениям для образующих алгебры кватернионов|Н, и такой метрикиДирака , что соответствующие кососкалярные произведения замкнуты. <Т. <о., касательные пространства к гиперкэлерову многообразию несут структурукватернионного пространства, а само многообразие - риманову метрику, согласованную« тремя вещественными С. с., или в комплексной интерпретации - три кэлеровыструктуры Z_I, Z_J, Z_K и три комплексныеС. с. Z_I, Z_J, Z_K.

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном ( п =1) гиперкэлеровоммногообразии имеет антиавтодуальную форму кривизны и автоматически удовлетворяетур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразиеназ. в этом случае гравитац. инстантоком, чем подчёркивается, чторечь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теорииотносительности.

Лит. см. при ст. Симплектическое многообразие. А. Б. Гивенталъ.