Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ - согласование частот, фаз или др. характеристиксигналов, генерируемых взаимодействующими колебательными системами. Различаютвзаимную С. к., когда парциальные подсистемы перестраивают режим колебанийдруг друга, и внешнюю (вынужденную) С. к., когда характеристики колебанийсистемы (систем) изменяются под действием внеш. силы. Вынужденную синхронизациюпо частоте колебаний, т. е. навязывание системе, характеризующейся в автономномрежиме одной частотой колебаний, др. частоты, определяемой внеш. силой, <называют захватыванием частоты. Захватывание частоты - простейшийпример явления синхронизации, к-рый был описан ещё X. Гюйгенсом (Ch. Huygens)в связи с ускорением или замедлением хода часов, висящих на независимоколеблющейся балке (см., напр., [1]).

Наиб. полно развита теория С. к. для квазигармонических колебаний вслабо нелинейных системах [2-4].

В частности, усреднённые по периоду внеш. силы ур-ния для комплекснойамплитуды а нелинейного генератора с одной степенью свободы, находящегосяпод действием слабой гармонической силы, имеют вид:

где - действительные параметры:- расстройка между частотой автоколебаний и частотой внеш. силы,- коэф. усиления в автономном генераторе,- нелинейный сдвиг частоты. Режиму С. к. соответствует устойчивое положениеравновесия системы (1). В исходном же (3-мерном) фазовом пространстве режимуС. к. отвечает устойчивый предельный цикл. При увеличении режим С. к. либо перестаёт существовать (при слабых внеш. сигналах), либотеряет устойчивость (в случае сильных сигналов). Область значений расстроек, <для к-рых реализуется режим С. к., наз. полосой захватывания. Граница полосызахватывания находится из (1): из условия существования режима С. к. (а= 0) устанавливается резонансная кривая , где - интенсивность автоколебаний в режиме С. к., и по линеаризованному ур-ниюопределяется устойчивость этого режима. На рис. 1 показаны полосы захватыванияв случаях слабых и сильных сигналов. На рис. 2 изображены последовательностифазовых портретов на плоскости (Rea, Ima),. отвечающих (1)при разных значениях расстройки. При переходе через границу области захватываниярежим С. к. сменяется режимом биений - наблюдается бифуркация Андронова - Хопфа (при сильных сигналах) или бифуркация рождения предельногоцикла из петли, сепаратрисы седло - узел (при слабых сигналах).В исходном (3-мерном) фазовом пространстве переходу к режиму биений отвечаетрождение притягивающего двумерного тора с квазипериодич. обмоткой. Аналогичнымобразом можно исследовать С. к. ансамбля генераторов, находящихся под действиемодной и той же внеш. гармонической силы [5, 6].

Рис. 1.

Рис. 2.

Явление взаимной синхронизации генераторов квазигармонических колебанийв простейшем случае бигармонического резонанса может быть исследовано в рамках системы ур-ний для комплексных амплитуд а_1,2 взаимодействующих мод в автогенераторе с двумя степенямисвободы:

где - расстройка от точного резонанса, h_1,2 - инкрементыкаждой из мод,- параметры, характеризующие конкуренцию мод, а - их резонансное взаимодействие. Здесь также режиму С. к. отвечает устойчивоесостояние равновесия, граница области устойчивости к-рого и определяетграницу области взаимной синхронизации [3]. Взаимная синхронизация наблюдаетсяв системах с числом степеней свободы 2, и во многих ситуациях после разрушения режима С. к. возможно возникновениестохастических автоколебаний (см. Стохастические колебания). ЯвлениеС. к. наблюдается не только в случае, когда частоты парциальных генераторовблизки друг к другу, но и когда они близки к кратным друг друга (синхронизацияна гармониках и субгармониках). Именно за счёт взаимной синхронизации модоптич. резонатора удаётся реализовать режим генерации ультракоротких импульсовв лазерах [7].

В сильно нелинейном случае усреднённое описание, приводящее к ур-ниямтипа (1) и (2), не адекватно задаче, и здесь используется качеств. теориялинамических систем. В этой теории явление синхронизации периодич. колебанийдвух автоколебат. систем можно описать следующим образом. Каждой из системсвойственны периодич. автоколебания, т. е. в ее фазовом пространстве имеетсяустойчивый предельный цикл - L₁ и L₂ соответственно.

Система

при = 0 будет иметь притягивающий двумерный тор (каждая система колеблется независимо от другой). При возрастании параметрасвязи движениев парциальных подсистемах системы (5) перестаёт быть независимым, что отвечаетбифуркациям на торе [остающемся аттрактором для системы (5)]. В частности, явлению синхронизацииотвечает рождение устойчивого предельного цикла на этом торе.

Более подробную информацию о перестройках в системе при изменении параметрасвязи даёт т. н. дьявольская лестница - график зависимости числа вращениясистемы на торе от параметра связи. [Число вращения - это предел отношения фаз бывших независимымипри =0 колебаний парциальных генераторов:

Зависимость числа вращения от величины параметра связи имеет вид непрерывно уменьшающихсяступеней (рис. 3). Точнее, ф-ция растёт на канторовом множестве. Каждое своё значение, равное отношениюцелых чисел p/q (синхронизация), число вращения принимает, вообщеговоря, на нек-ром интервале, а числа р и q соответствуютномерам гармоник, на к-рых осуществляется взаимная синхронизация. Еслиследить за изменением не только параметра связи, но и др. параметра (напр.,надкритичности в каждом из генераторов), то области синхронизации будутизображаться уже не на прямой, а на плоскости. Обычно эти области имеютвид «языков» [8] (т. н. языки Арнольда [9]) - рис. 4.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Взаимное согласование движений свойственно генераторам не только периодических, <но и стохастических автоколебаний. Принципиальное отличие от случая периодич. <колебаний здесь в том, что движения взаимодействующих неидентичных подсистемсогласуются лишь в среднем по времени. При этом могут быть одинаковымитопология проекций странных аттракторов на парциальные подпространства, <их размерности, спектры мощности парциальных колебаний. В то же время самиреализации локально по времени могут не совпадать. На рис. 5 представленыстранные аттракторы парциальных подсистем в автономном режиме (С = 0) ипроекции аттрактора на парциальные подпространства в режиме стохастич. <синхронизации ( С =10) для системы, описываемой ур-ниями вида:

(напр.,= 2, k₁ =0,48, k₂ = 0,45 для двухсвязанных параметрически возбуждаемых генераторов [10]). Степень стохастич. <синхронизации может быть различной; в частности, в нек-рых ситуациях, когдавзаимодействуют идентичные подсистемы, совпадение парциальных колебанийможет быть полным.

Лит.:1) Блехман И. И., Синхронизация в природе и технике, М.,1981; 2) Андронов А. А., В и т т А. А., К математической теории захватывания, <в кн.: А н д р о н о в А. А., Собр. трудов, М., 1956; 3) Блакьер О., Анализнелинейных систем, пер. с англ., М., 1969; 4) Рабинович М. И., ТрубецкойД. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 5) A i z a w a Y.,Synergetic approach to the phenomena of mode-locking in nonlinear systems,«Progr. Theor. Phys.», 1976, v. 56, № 3, p. 703; 6) Рабинович М. И., Стохастическиеавтоколебания и турбулентность, «УФН», 1978, т. 125, с. 123; 7) Квантоваярадиофизика, 2 изд., т. 2 - X а н и н Я. И., Динамика квантовых генераторов, <М., 1975; 8) Арнольд В. И., Малые знаменатели: 1. Об отображениях окружностина себя, «Изв. АН СССР. Сер. мат.», 1961, т. 25, с. 21; 9) Т h о m р sо n J. М., S t e w a r t H. В., Nonlinear dynamics and chaos, N. Y.- [a.o.], 1986; 10) А ф р а й м о в и ч В. С., В е р и ч е в Н. Н., РабиновичМ. И., Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах,«Изв. вузов. Радиофизика», 1986, т. 29, № 9, с. 1050. В. С. Афраймович, <М. И. Рабинович.