Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ТЕЙЛОРА РЯД

ТЕЙЛОРА РЯД

ТЕЙЛОРА РЯД - степенной ряд, описывающий поведение данной ф-ции f( х) в окрестности заданной точки. Точнее, если f(x )в точке х₀ имеет бесконечное число производных, то её Т. р. имеет вид

Т. р. назван по имени Б. Тейлора (В. Taylor), опубликовавшего ряд (*) в 1715. При х₀ =0Т. р. часто называют рядом Маклорена.

Если f( х) имеет в точке х₀ производные вплоть до N- го . порядка, то

где o_N(x - x₀)/|х - x₀|^N0 при х х₀. (ф-ла Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

Если f(x )в нек-ром интервале, содержащем точку х₀, имеет непрерывные производные до порядка N+1, то для любого х из этого интервала

где для остаточного члена R_N(x )существует несколько эквивалентных представлений, каждое из к-рых может быть удобным в той или иной конкретной ситуации. В частности,

- остаточный член в интегральной форме;

- остаточный член в форме Лагранжа;

- остаточный член в форме Коши.

Особенно важную роль Т. р. играет в теории аналитических функций. Эта роль определяется следующим утверждением. Пусть f(z) голоморфна в круге {z:|z - z₀|<R}. Тогда в этом круге

причём ряд в правой части этой ф-лы сходится абсолютно и равномерно в любом круге {z| z - z₀|<r} для любого r < R. В частности, если f(z) голоморфна во всей комплексной плоскости (целая ф-ция), то её Т. р. сходится к ней абсолютно всюду в этой плоскости, причём сходимость равномерна на любом ограниченном множестве.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.