Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВОЛНА

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВОЛНА

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ВОЛНА - волна, радиально расходящаяся от или сходящаяся к нек-рой оси в пространстве или точке на плоскости. В последнем случае эти волны наз. также круговыми. Примерами Ц. в. могут служить волны на поверхности воды от брошенного камня или колеблющегося поплавка, эл.-магн. или акустич. волны, возбуждаемые источниками, расположенными в пространстве, ограниченном, напр., двумя плоскопараллельными отражателями (в т. ч. внутри океанич. волноводов и т. д.).

Структура Ц. в. существенно сложнее структуры плоских (одномерных) и сферич. (трёхмерных) волн. Простейшая монохроматич. симметричная Ц. в. с источником в центре (рис. 1) удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью ф-ции Ханкеля нулевого порядка H₀(kr):

Рис. 1. Радиально расходящаяся цилиндрическая волна, возбуждаемая источником в центре.

где w - круговая частота, k - волновое число. На больших расстояниях от оси (kr >>1) волновое поле (1) приобретает вид

и только в этом асимптотич. представлении в Ц. в. можно однозначно выделить амплитуду А/. и фазу wt -kr = w(t -r/u _ф), где фазовая скорость u _ф совпадает с фазовой скоростью плоской волны: u _ф = w/k = 2p/l (l - длина волны). По мере удаления от оси квадрат модуля волнового возмущения (2) убывает как 1/r, а поверхность цилиндра, охватывающая источник, растёт пропорционально r, так что, в соответствии с законом сохранения энергии, суммарное значение потока энергии, уносимого от источника на оси, остаётся постоянным.

В отсутствие дисперсии волн из гармонич. волн (2) вдали от оси можно составить волну любой формы (в частности, уединённую волну или волновой пакет), перемещающуюся с пост. скоростью u _ф=u:

где ф-ция f(t - r/u)удовлетворяет одномерному волновому ур-нию. Однако в промежуточной области, где kr~1, даже в среде без дисперсии происходит сильная деформация волнового возмущения (рис. 2).

Рис. 2. Радиально расходящаяся цилиндрическая волна, заданная в начальный момент времени в форме одиночно го импульса u = u₀(1+ r/r₀)^3/2. С увеличением t =ct/r₀ (с ростом времени t )импульс расплывается, оставляя за со бой "шлейф".

Это связано с тем, что Ц. в. в принципе нестационарна: удаляясь от оси (центра), она оставляет за собой "шлейф", к-рый можно интерпретировать как результат прихода волновых возмущений от всё более и более удалённых от точки наблюдения источников на оси.

Лит. см. при ст. Волны. M. А. Миллер, Л. А. Островский.