Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L²(a,b )(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям

Ф-ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение. Если все = 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если длялюбой ф-ции f(x)L²(a,b )существует ряд Фурье сходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяютсяф-лами Фурье

Всякая линейно независимая (полная) системаф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированнаясистема векторов )к (полной) нормированной О. с. ф.

Для всякого ряда Фурье, построенного поО. с. ф., выполняется неравенство Бесселя

а для полной О. с. ф. справедливо равенствоПарсеваля

Примеры полных О. с. ф.:

1) тригонометрическая система ф-ций наотрезке [ - 1, 1], g(x) =1:

2) системы ортогональных полиномов;

3)система Хаара

а т= 2 ^п+ k,1k2ⁿ, т=2, 3, ... .

О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. <Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптикеоснован на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачахна собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитоваоператора собств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. <В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции играет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемостиотражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянииравна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённымквантовым числом.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М.,1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. сангл., т. 1, М., 1982.

Л. О. Чехов.