Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ - множество ненулевых векторов векторного пространства X со скалярным произведением , где символы Кронекера = 0 при и = 1 при . О. с. в. наз. полной, если для любого fX ряд сходится по норме к f. Полная О. с. в. наз. базисом пространства X. Числа наз. коэф. Фурье f относительно О. с. в. . Для полной О. с. в. выполнено равенство Парсеваля: Гильбертово пространство является сепарабельным (т. е. содержит всюду плотное счётное подмножество) тогда и только тогда, когда в нём существует полная О. с. в.

Для всякой линейно независимой системывекторов {<. Процесс построенияО. с. в. наз. ортогоналязацией системы {a_j}, он применимк конечной и к счётной системе векторов: b_l = a₁,

где

Нормируя полученную систему {b_j}. получим искомую О. с. в. Др. источником О. с. в. являются эрмитовы линейные операторы, т. к. собств. векторы эрмитова оператора, соответствующиеразл. собств. значениям, ортогональны. Поэтому для каждого эрмитова операторасуществует О. с. в., состоящая из его собств. векторов.

Важный пример О. с. в. - базис гильбертовапространства l², состоящего из векторов х вида ,

где . Т. к. любое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно либо конечномерному евклидовупространству, либо пространству l², для О. с. в.l² выполнены те же свойства, что и для ортогональнойсистемы функций.

Л. О Чехов.