Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КОЛМОГОРОВА УРАВНЕНИЯ

КОЛМОГОРОВА УРАВНЕНИЯ

КОЛМОГОРОВА УРАВНЕНИЯ - ур-ния для переходной ф-ции марковского случайного процесса. Получены А. Н. Колмогоровым в 1938. В простейшем случав процесса со счётным множеством состояний переходная ф-ция есть вероятность перехода из состояния i в момент s в состояние j в момент t. К. у. для имеет вид

(первое, или обратное, К. у.),

(второе, или прямое, К. у.), где - ; - Кронекера символ. В физ. задачах чаще всего встречается марковский процесс диффуз. типа с континуумом состояний , для к-рого существуют плотность переходной ф-ции - плотность вероятности перехода из состояния х в момент s в состояние у в момент t - и пределы

Тогда (при нек-рых дополнит. предположениях) К. у. для р (s, x; t, у )имеет вид

Второе К. у. наз. в этом случае Фоккера-Планка уравнением. Величина a(s, х )имеет смысл скорости си-стематич. изменения состояния х, b (s, х )описывает интенсивность беспорядочных толчков. Для гауссова случайного процесса с

второе К. у. переходит в диффузии уравнение:

Помимо многочисл. приложений в теории броуновского движения, теории флуктуации, задачах физ. кинетики К. у. используются в астрофизике.

Лит.: Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, "УМН", 1938, в. 5, с. 5; Г и х -м а н И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; А г е к я н Т. А., Теория вероятностей для астрономов и физиков, М., 1974; Л е о н т о в и ч М. А., Введение в термодинамику. Статистическая физика, М., 1983.