Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КОШИ ИНТЕГРАЛ

КОШИ ИНТЕГРАЛ

КОШИ ИНТЕГРАЛ - интегральная ф-ла, выражающая значение аналитической функции f (z )в точке, лежащей внутри замкнутого контура , не содержащего внутри себя особенностей f (z), через её значения на этом контуре:

где интегрирование производится против часовой стрелки. Если точка z лежит вне контура , то

К. и. впервые рассмотрел О. Коши в 1831.

Если - произвольный гладкий контур (замкнутый или незамкнутый), а - комплекснозначная ф-ция, заданная на , то выражение

наз. интегралом типа Коши. Интеграл типа Коши определяет ф-цию, аналитическую вне контура (если замкнут, то фактически он определяет две аналитич. ф-ции - вне и внутри него). В случае, когда - гладкая ф-ция, предельное значение интеграла типа Коши в точке z₀ на контуре , взятой слева от него (по отношению к направлению интегрирования), равно

где Р - символ гл. значения интеграла. Предельное значение справа в той же точке равно -

Разность этих граничных значений равна значению ф-ции в точке z₀.

Для того, чтобы предельные значения интеграла типа Коши, взятые со стороны области, ограниченной замкнутым контуром , совпадали с ф-цией , т. е. для того, чтобы интеграл типа Коши был К. и., необходимо и достаточно выполнение условий для любого

п=0,1, ... К. и. и интегралы типа Коши используют, напр., в дисперсионных методах квантовой теории поля, оптики и др.

Лит. см. при ст. Аналитическая фунгщия.

Б. И. Завьялов.