Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ

ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ

ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ - ур-ние для ф-ции распределения плотности вероятности частиц в фазовом пространстве - основное ур-ние статистич. физики. Ур-ние для статистич. оператора ( матрицы плотности )в квантовой статистич. механике также наз. Л. у., но иногда уравнением фон Неймана.

Инвариантность фазового объёма при движении фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве ( Лиувилля теорема), позволяет ввести ф-цию их распределения f(p, q), так что =f( р, q)dpdq- вероятность найти фазовые точки р,q = (p₁,..., p_N, q₁, ..., q_N )в элементе фазового объёма dpdq. При движении системы фазовых точек их число сохраняется, поэтому при переходе из элемента фазового объёма dpdq в выполняется равенство f(p,q)dpdq= откуда следует, что f (р,q) = т. е. ф-ция распределения постоянна вдоль фазовых траекторий системы. В результате полная производная ф-ции распределения по времени равна нулю:

>ткуда с учётом ур-ний Гамильтона

следует Л. у.:

где (H, f) - Пуассона скобка, Н - ф-ция Гамильтона.

Из постоянства ф-ции распределения f вдоль фазовых траекторий можно сделать важный для статистич. физики вывод, что f в случае статистич. равновесия зависит лишь от интегралов движения системы.

В квантовой статистич. механике система описывается статистич. оператором (матрицей плотности) р, к-рый удовлетворяет квантовому Л. у.:

где квадратная скобка обозначает коммутатор операторов H и о. т. е. = H - оператор Гамильтона, - квантовая скобка Пуассона,- постоянная планка. Ур-ние (2) является квантовым аналогом классич. Л. у. (1). Стационарным равновесным решением Л. у. является произвольная ф-ция от H, вид к-рой определяется типом статистического ансамбля Гиббса. Неравновесные ф-ции распределения статистич. систем находятся как решения Л. у., зависящие от параметров, к-рые описывают неравновесное состояние.

Лит. см. при ст. Статистическая физика. Д. Н. Зубарев.