Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ - аналитическая функция, не имеющая в комплексной плоскости особенностей кроме полюсов. В частности, любая целая функция или рациональная ф-ция является M. ф. Кол-во полюсов у M. ф. не более чем счётно. Если M. f. f(z) имеет конечное число полюсов и выполнена оценка при нек-рых R> 0, С> 0 и - рациональная ф-ция. Если M. ф. имеет бесконечное число полюсов, расположенных в точках то обязательнопри Для того чтобы f(z) была M. ф., необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде отношения двух целых ф-ций.

Справедлива теорема Миттаг-Леффле-р а. Пусть задана нек-рая конечная или бесконечная последовательность точек ... и последовательность комплексных чисел

..., m_k. Тогда существует M. ф. h(z), к-рая имеет полюсы только в точках ..., причём гл. часть

Лорана ряда f(z) в точке совпадает с ф-цией

Ф-цию h(z )можно представить в виде суммы ряда

где ... - нек-рые полиномы. Обратно, всякая M. f. f(z), имеющая полюсы в точках k =1, 2 ... с гл. частями ряда Лорана h_k (z), отличается от ф-ции h(z )на целую ф-цию.

Напр., ф-ция является M. ф. и имеет простые полюсы в точках , , ... с гл. частями Для неё имеет место представление

M. ф.имеет полюсы второго порядка в тех же точках с гл. частями ряда Лорана . Соответственно разложение для неё имеет вид

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.