Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР - дважды ковариантный симметричный тензорзаданный в области ри манова пространства с координатами , причём матрица положительно определена:

, если вектор (принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам). При замене координат M. т. переходит в

M. т. иногда наз. римановой метрикой, поскольку он определяет расстояние в ри-мановом пространстве: если задана кривая ,

то её длина

а элемент длины ds определён ф-лой правая часть к-рой наз. первой (основной) квадратичной формой. Элемент объёма а объём

V(U )области U равен

где Если существуют координаты , в

к-рых M. т. имеет вид где - Кронекера символ, то метрика наз. евклидовой, а сама область риманова пространства является областью евклидова пространства.

Кроме М. т., в римановом пространстве вводится ещё одна независимая структура - связность, задающая ковариантную производнуюM. т. наз. согласованным со связностью, если он ковариантно постоянен: Тогда коэф. связности, или Кристоффеля символы, однозначно выражаются через M. т.:

В окрестности любой точки можно ввести нормальные (римановы) координаты, такие, что или Тогда в этой окрестности

Коэф. характеризуют отличие M. т. от евклидова и являются компонентами кривизны тензора. Помимо внутр. характеристик многообразия, M. т. задаёт скалярное произведение векторов и касательных к многообразию в данной точке: скалярное произведение не зависит от выбора системы координат.

Понятие M. т. общеупотребительно при описании сплошной среды, при формулировке теории поля в криволинейных координатах, а особенно - в теории относительности и теории тяготения.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 7 изд., M., 1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., M., 1967; Fон В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., M., 1961; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1986. В. П. Павлов.