Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ПРИНЦИП

НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ПРИНЦИП

НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ПРИНЦИП - один из вариационных принципов механики, согласно к-рому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механич. системы действительным является то, для к-рого физ. величина, наз. действием, имеет минимум (точнее, экстремум). Обычно H. д. п. применяется в одной из двух форм.

а) H. д. п. в форме Гамильтона - Остроградского. В этом случае под действием за промежуток времени t₁ - t₀ понимают величину

где L - ф-ция Лагранжа, зависящая от обобщённых координат системы q_i, обобщённых скоростей ^.q_i и времени t (см. Лагранжа функция).H. д. п. в этой форме устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени t₁ - t₀, действительным является то, для к-рого действие S будет наименьшим. Матем. выражение H. д. п. имеет в этом случае вид

где d - символ неполной (изохронной) вариации.

б) H. д. п. в форме Мопертюи - Лагранжа. В этом случае под действием за промежуток времени t₁ - t₀, в течение к-рого система перемещается из конфигурации А в конфигурацию В, понимают величину

где T - кинетич. энергия системы, p_i - обобщённые импульсы. H. д. п. в этой форме устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из конфигурации А в близкую к ней конфигурацию В, совершаемых при сохранении одной и той же величины полной энергии системы, действительным является то, для к-рого действие S₀. будет наименьшим.

Матем. выражение H. д. п. в этом случае имеет вид

где D - символ полной вариации (в отличие от принципа Гамильтона - Остроградского, здесь варьируются не только координаты и скорости, но и время перемещения системы из одной конфигурации в другую). H. д. п. в форме (2) справедлив только для консервативных и притом голономных систем.H. д. п. в форме (1) является более общим и, в частности, может быть распространён на неконсервативные системы. H. д. п. пользуются для составления ур-ний движения механич. систем и для исследования общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий H. д. п. находит приложения в механике непрерывной среды, в электродинамике, квантовой механике и др.

Лит. см. при статьях Вариационные принципы механики, Действие и Динамика. С. M. Тарг.