Приглашаем посетить сайт
НЕЙМАНА ЗАДАЧА
НЕЙМАНА ЗАДАЧА - задача о нахождении решения Лапласа уравненияDu = 0 или Пуассона уравненияDu = -f в области G (внутр. H. з.) или вне её (внеш. H. з.), имеющего на границе S области G заданную непрерывную нормальную производную u1 (соответственно внутри и извне S). При постановке внеш. H. з. требуется, чтобы решение на бесконечности стремилось к нулю в трёхмерном и было ограниченным в двумерном случаях.
H. з. для ур-ний Пуассона и Лапласа связаны подстановкой u(x)= и( х) - V(x), где в трехмерном случае
- объёмный потенциал, а в двумерном 
- логариф-мич. потенциал; очевидным образом связаны и граничные значения u1 и u1. Внеш. H. з. связана с внутренней преобразованием Кельвина, т. е. переходом к новым координатам x
x' = xR2/x2 и новой ф-ции
(в двумерном случае множитель R/|x'| перед и отсутствует). Координаты x и х' симметричны относительно сферы радиуса R с центром в начале координат.
Решение внутр. H. з. существует, единственно с точностью до постоянной и непрерывно зависит от граничных условий для достаточно гладких границ S (в частности, для S, задаваемых в окрестности каждой своей точки x0 ур-нием fx о = 0 с условием, что 
О, a fx о непрерывна вместе со своими производными).
Необходимым условием разрешимости внутр. H. з. (а также внеш. H. з. в двумерном случае) является равенство
Решение H. з. для ур-ния Лапласа обычно представляется в виде потенциала простого слоя
(в двумерном случае вместо | х.- у|-1 стоит -ln | х - у| )и сводится к решению Фредгольма уравнения для плотности m(x):
где "+" соответствует внутренней"-" внешней Н. <э., yxy - угол между вектором x - у и нормалью к S вточке у, dSy - элемент поверхности в точке у.
H. з. часто встречается в электро- и магнитостатике, стационарных задачах гидродинамики, теплопроводности и т. д. Условие её разрешимости имеет физ. смысл закона сохранения: суммарный поток (напряжённости электрич. или магн. поля, несжимаемой жидкости, тепла и т. д.) через замкнутую поверхность S равен суммарной величине источников (заряда и т. п.).
Лит.: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., M., 1957; Tихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977. В. П. Павлов.