Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПЕРЕВАЛА МЕТОД

ПЕРЕВАЛА МЕТОД

ПЕРЕВАЛА МЕТОД - способ оценкиинтегралов, подынтегральные ф-ции к-рых имеют резкий максимум. Обычно П. <м. применяют для оценки интегралов вида

где - большой параметр,- контур в комплексной плоскости z, ф-ции f(z) и q(z )аналитичныв области, содержащей П. м. позволяет получить асимптотическое разложение интеграла Суть П. м. заключается в том, что для подынтегральной ф-ции с резким максимумомосн. вклад в интеграл даёт малая окрестность точки максимума z₀.Преобразуя путь интегрирования и производя замену переменных, добиваютсятого, чтобы наиб. давала окрестность z₀ как можно меньшегоразмера, а подынтегральная ф-ция имела наиб. простой вид. Получающиесяэталонные интегралы часто удаётся вычислить. Простейший вариант П. м. былиспользован П. Лапласом (P. Laplace) в 1820, затем он был развит в работахБ. Римана (В. Riemann) в 1863 и П. Дебая (P. Debye) в 1909.

На первом этапе вычислений контур деформируют в контур с теми же концами, проходящий через стационарные точки z₀ ф-ции q(z)[точки, в к-рых q'(z)=0]. Стационарнаяточка является седловой точкой поверхности и = и(х, у) =Req(z),z= х+ iy. Наиб. удобный путь интегрирования совпадает с линией, <вдоль к-рой Im q(z )постоянна, a Req(z) убывает быстреевсего (перевальный контур, путь наибыстрейшего спуска), тогда вычислениеинтеграла сводится к интегрированию по вещественной переменной. Др. возможность- выбор линии с постоянной Req(z), в этом случае П. м. переходитв метод стационарной фазы. Если при переходе к перевальному контуру встречаютсяособые точки ф-ции f(z), соответствующие вклады учитываютс помощью Коши теоремы. Если в рассматриваемой области q'(z)неимеет пулей, осн. вклад в интеграл даёт окрестность одного из концов контураинтегрирования.

На след. этапе вычислений производят заменупеременной так, чтобы максимум ф-ции достигалсяпри s =0, а производная обладала нулями такого же порядка, как и ф-ция q'(z). От выбора зависит вид эталонного интеграла.

1. Если q'(z )имеет в точке z₀ нуль порядка m, а f(z) регулярна вблизи z₀,то Эталонныйинтеграл выражается через гамма-функцию (см. Эйлера интегралы).

2. Если q'(z )имеет два близкорасположенных простых нуля z_1,2, то а₀- постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1).

3. Три равноотстоящих нуля, расположенныхблизко друг к другу. Подстановка = а ₀- ( а+ s²)²,эталонный интеграл выражается через параболического цилиндра функцию.

4. Если вблизи z₀ имеетсяполюс ф-ции f(z), то интеграл разбивается на две части, одна изк-рых соответствует случаю 1, а вторая выражается через интеграл вероятностиили Френеля интеграл (см. Интегральные функции).

5. Если f(z) имеет точку ветвления1-го порядка вблизи простой седловой точки, то интеграл выражается черезф-цию параболич. цилиндра.

6. Седловая точка находится вблизи концевойточки контура интегрирования, но не совпадает с ней. Эталонный интегралвыражается через интеграл Френеля.

Напр., если ф-ция f(z) неимеет особенностей вблизи изолиров. седловой точки 1-го порядка z₀,т. е. точки, в к-рой q'(z₀) =0, q"(z₀)0,то асимптотич. значение таково:

аналогично получают асимптотич. разложениеинтеграла по степеням

П. м. можно применять и в многомерномслучае. Напр., для кратного вещественного интеграла

имеющего простую стационарную точку x₀= {x_i0,..., x_n0}, и для ф-ции f(x),регулярной вблизи x₀, асимптотич. оценка имеет вид

Возможность перехода к эталонному интегралув случае многомерной перевальной точки определяется леммой Морса, в соответствиис к-рой в окрестности невырожденной перевальной точки существует такаясистема локальных координат z₁, ..., z_n,что f(z) = f(0) + z²₁+ .... + z²_n. В тех случаях, когда при заменепеременных возникают особенности, структуру эталонных интегралов определяютметодами теории дифференцируемых отображений (см. Катастроф теория).

П. м. зачастую является единств, средствомоценки интегралов, его применяют в разл. задачах матем. и статистическойфизики, распространения и рассеяния волн, диффузии и теплопроводности, <при исследовании специальных функций, интегральных преобразований идр.

Лит.: Джеффрис Г., Свирлс Б., Методыматематической физики, пер. с англ., в. 3, М., 1970, гл. 17; Федорюк М. <В., Метод перевала, М., 1977; Фелсен Л., Маркувиц Н., Излучение и рассеяниеволн, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 4; Олвер Ф., Введение в асимптотическиеметоды и специальные функции, пер. с англ., М., 1978.

В. Е. Рокотян.