Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА - одно из осн. понятий теории вероятностей;величина, значения к-рой зависят от случая, причём определены вероятностивсех её значений. Примерами являются число выпадений решки при 10-кратномслучайном бросании монеты или расстояние, на к-рое случайно движущаясяброуновская частица отошла от своего начального положения за время t.

В вероятностей теории для описания случайного явления принятаслед, схема: вводится подходящее «вероятностное» пространство (пространствоэлементарных событий)- множество всех «мыслимых» случаев - реализаций этого явления, и каждомуподмножеству этих случаев (событию) приписывается неотрицательное число Р(А) - вероятность события А. Так, в случае 10 независимых бросаний монеты вероятностноепространство состоит из 2¹⁰ последовательностей ,где каждое -герб или решка (исход i-гo бросания монеты), i =1,..., 10; вероятностькаждого события ,состоящего из N разл. последовательностей w_k Р(А)= N*2^-10. Вероятностное пространство, описывающееброуновское движение частицы, состоит из всех мыслимых траекторий этогодвижения; правило, по к-рому вводятся вероятности событий Р(А )изэтого пространства, довольно сложно (см., напр., [3]).

Тепепь можно более етрого определить С. в.как числовую ф-цию на вероятностном пространстве .В наиб. простом случае, когда принимаетлишь дискретное множество (конечное или счётное) значений х ₁,..., x_n набор вероятностей наз. распределением вероятностей значений С. в. (или, короче, распределением ).В случае, когда принимает значения из произвольного «непрерывного» числового множества(так, что вероятность каждого отд. значения ,как правило, равна нулю), распределение задаётсяс помощью т. <н. функции распределения

При этом в случае дискретного множества значений

Если рассматривается одновременно неск. С. в. (напр., число всех решек в последовательности и число двух последовательных выпадений решки, три координаты x(t),y(t), z(t )броуновской частицы в момент времени t), то вводятих совместную ф-цию распределения

С. в.наз. независимыми, когда эта ф-ция распадается на произведение вероятностейотд. С. в. Ср. значение (матем. ожидание)С. в., принимающей значения из дискретного множества чисел x₁,...,x_n, определяется ф-лой

В общем случае, когда С. в. принимает «непрерывное» множество значений, <полагают

где - т. <н. интеграл Стилтьеса (см. [1]). Дисперсия С. <в. определяется как

Осн. рабочий (неформальный) принцип теории вероятностей состоит в том, <что все сведения о «статистич. свойствах» С. в. можно целиком извлечь изеё ф-ции распределения (а в случае неск. С. в. - из их совместной ф-циираспределения), не обращаясь к деталям явной зависимости от случая

Лит.:1) Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М.,1988; 2) Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, <т. 1, пер. с англ., [3 изд.], М., 1984; 3) Г и х м а н И. И., СкороходА. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977. Р. А. <Минлос.