Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР - оператора- ненулевой вектор из векторногопространства L, к-рый переводится данным оператором в пропорциональныйему вектор, т. е.

где вещественное либо комплексное число наз. собственным значением оператора А. С. в. операторов, <действующих в функциональном пространстве, наз. собственными функциями.

Для линейного оператора А множество всех С. в., отвечающих одному и тому же собств. значению ,образует линейное подпространство, к-рое наз. собств. подпространством А. Если пространство L конечномерно (n -мерно), а матрицапреобразования А эрмитова, то у неё имеется ровно п различныхС. в., отвечающих вещественным собств. значениям.

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах - явлениедовольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец. <классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширныминаборами С. в. Наиб. важным для физики бесконечномерным векторным пространствомявляется пространство l² векторов f, g вида (a₁,a₂,...), (b₁, b₂,...) со скалярнымпроизведением (черта означает комплексное сопряжение) и соответствующей конечной нормой .Это пространство изоморфно пространству квадратично интегрируемых ф-ций и обладает всеми свойствами последнего.

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой n-мерной матрицы . имеетсяхотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению ,а если к тому же матрица А невырождена,, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Этосправедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольныйвектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А[напр., привестик диагональному виду симметричную квадратичную форму ( хАх)]. Этазадача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленномуиз С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводитсяк умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение .В бесконечномерном случае аналогом этой процедуры диагонализации являетсят. н. спектральное разложение.

Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.