Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОПЕРАТОРЫ

ОПЕРАТОРЫ

ОПЕРАТОРЫ - в квантовой теории - символич. <изображение составленных но определённым правилам матем. операций (алгебраич.,дифференциальных, интегральных, перестановочных и т. д.), используемыхв квантовой теории для преобразования встречающихся в ней величин. Еслисостояние квантовой системы описывается с помощью волновой ф-ции (для конкретности, напр., в Шрёдингера представлении), то О. илиих последовательность в конечном счёте действуют на эту ф-цию, сопоставляяс ней волновую ф-цию, соответствующую уже др. состоянию системы. В др. <формализмах квантовой теории (напр., когда состояние системы фиксируетсяс помощью О. матрицы плотности или в представлениях, когда является фиксир. вектором в гильбертовом пространстве )О. действуютна др. О., характеризующие состояние системы или к.-л. её характеристики. <Ниже будут рассмотрены наиб. часто встречающиеся типы О.

Операторы динамических величин Общиеположения. В соответствии с осн. принципами квантовой механики (в линейнойотносительно -функции теории) каждой физ. величине F ставится в соответствиелинейный самосопряжённый О.преобразующий -функциюв новую, но принадлежащую тому же классу ф-цию (где f - число). Если кси задана в виде разложения

по заранее выбранным базисным ф-циям (определяющим конкретное представление как волновой ф-ции, так и действующихна неё О.), т. е. задана как вектор Ф(t) = {Ф _п(t)}в бесконечномерном гильбертовом пространстве, то действие 0.приводит помимо умножения на число f к повороту вектора Ф в этомпространстве, а изменение его компонент Ф _п- > Ф' _п- к перераспределению квантовомеханич. вероятностей |Ф _п(t)|² обнаружить систему в каждом из состояний, характеризуемых Ф-ции и считаютсянормированными на 1, т. е. вне зависимости от наличия штриха

С каждым О.в квантовой механике связывается ур-ние определяющее его собств. значения f _п и полную системуортонормированных собств. ф-ций подчинённых определённым граничным и всем необходимым общим для -функцийусловиям. Совокупность величии {f _п} определяет спектрвозможных значений физ. величины F, а система ф-ций {;(каждая из к-рых характеризует состояние, в к-ром эта величина имеет значение f_n )может служить базисом пространства, в к-ром представляются все др. состояниясистемы.

Требование линейности О.

(где и - волновые ф-цни двух возможных состояний системы, c₁ и с ₂ - числа) можно рассматривать как выражение суперпозициисостояний принципа в квантовой механике, условие же самосопряжённостиоператора обеспечивает действительность квантовомеханич. ср. значений физ. величины F, к-рыеопределяются как

где - волновая ф-ция состояния, для к-рого определяется ср. значение F, а - её комплексносопряжённая величина (если - многокомпонентная ф-ция, то вместо здесь стоит эрмитово сопряжённая ф-ция ).Определяя О.транспонированный по отношению к исходному с помощью соотношения

можно записать условие самосопряжённостиО.в виде где Вслучае, когда система находится в одном из состояний ср. значение автоматическисовпадает с собств. значением f_n. Более того, ур-ние, <определяющее собств. ф-ции и собств. значения О.математически эквивалентно обращению в нуль квантовомеханич. дисперсии(не только квадратичной, но и любого порядка) величины F: для состояний совпадающих с любым из В связи с этим говорят, что в рамках квантовомеханических представленийизмерение физ. величины F может привести только к к.-л. из значений f_n.

Алгебраич. действия с О. определяютсясогласно ф-лам

Деление на О. определяется с помощью введенияобратного О.такого, что где I означает О. умножения на единицу, причём = для f_n0. Если О.выступает в качестве аргумента нек-рой ф-цни то О.понимаетсякак разложение этой ф-ции в формальный степенной ряд, в к-ром вместо степеней стоятсоответствующие степени О.

а его собств. значения непосредственновыражаются через собств. значения

Еслп два О.и имеютодну и ту же систему собств. ф-ций,и то порядокдействия этих О. в произведении безразличен и коммутатор этих О. равеннулю:

И обратно, величины . и G могутодновременно иметь определённые значения только в том случае, если коммутаторО.и равеннулю. В противном случае физ. величины F и G не могут (врамках квантовой теории) одновременно иметь точные значения. Некоммутативностьряда О. физ. величин приводит к существованию соответствующих неопределённостейсоотношений в квантовой механике. Т. к. при эрмитовом сопряжении произведениядвух О. порядок их расположения меняется,то произведение эрмитовых О. будет также эрмитовым О. только в случае, <если эти О. коммутируют друг с другом.

Постановка задачи на полное определениеф-ции состояния и полного набора квантовых чисел п, характеризующихэто состояние, для системы с степенями свободы (с обязат. включением степени свободы, связанной с возможнымиэнергетич. состояниями) заключается в построении полного набора независимыхкоммутирующих друг с другом О.характеризующих положение системы по отношению к её степеням свободы, исовместном решении ур-ний

со всеми необходимыми для волновой ф-ции дополнит. <условиями, соответствующими характеру рассматриваемой задачи.

Конкретное матем. выражение О. дипамич. <величины зависит от выбора пространства х, на к-ром определены ф-циисостояния ( х).

О. в конфигурационном (координатном) представлении. <Если волновая ф-цня системы задана как ф-ция пространств, координат и времени,то простейшими О., с помощью к-рых строятся все остальные О. динамич. величин, <являются О. координаты определяемый как умножение на координату пО. импульса являющийся дифференц. О. первого порядка:

Собств. ф-ция О. координаты, соответствующаясобств. значению r₀, представляет собой дельта-функцию Дирака:а собств. ф-ция О. импульса, соответствующая собств. значению р,- плоскую волну

[в обоих случаях нормировка и произведенана -функцию].О. любой динамич. величины F(p,r )определяется как

Т. к.и неимеют общей системы собств. ф-ций, то О. дииамич. величин, как правило, <нe коммутируют друг с другом, в частности

но

Для системы из N частиц динамич. <переменные представляются совокупностью координат r₁,..., r_N и импульсов р₁,..., p_N и в написанных выше ф-лах аргументы r и заменяются на r₁, ..., r_N и ...,гдекаждое является дифференц. О., действующим на аргумент r_i ф-ции (r₁,..., r_N).

Вкачестве примеров для О.может служить оператор Гамильтона ( гамильтониан) играющийпринципиальную роль во всей квантовой теории и определяющий данную конкретнуюсистему, и О. орбитального (углового) момента Для N взаимодействующих между собой нерелятивистских частиц гамильтонианимеет вид

где m_i - масса i -йчастицы, U(r_i) и Ф(r_i,r_j)- потенциалы взаимодействия частиц с внеш. полем и друг с другом (еслиэто взаимодействие не зависит от скоростей частиц). Для системы заряж. <частиц О. импульса заменяется:

где A(r,t) - векторный потенциалэл.-магн. поля, e_i- заряд частицы (в гауссовой системеединиц).

О. момента представляетсобой сумму О. моментов для каждой из N частиц. Для одной частицы Компоненты О. моменты не коммутируют друг с другом, (дведр. лары соотношении получаются при циклич. замене х- > у - x), но поэтому в квантовой теории имеет смысл говорить о состояниях с определённымизначениями квадрата момента и одной из его компонент, обычно Эти О. как коммутирующие друг с другом имеют общую систему собств. ф-ции [сферическиефункции Y_i^m где и -угл. переменные сферич. координат] и характеризуются собств. значениями и где l =0,1, 2,... и т = - l, - l +1, ..., l - соответственноорбит. и магн. квантовые числа. Если частица движется в центрально-симметричномполе U(r)= U(| r |), то образуют полный набор коммутирующих О. для данной системы с общей системойсобств. ф-ций причём l определяет не только величину М² (и наряду с гл. квантовым числом п энергетич. состояние системы),но и пространственную чётность состояния, характеризующую изменениеволновой ф-ции при инверсии координат,( - О. инверсии),т. е. чётность состояния совпадает с чётностью l.

Импульсное представление. Если разложить по собств. ф-циям О. импульса:

то волновой ф-цией системы в импульсномпредставлении (в к-ром квадрат её модуля определяет распределение плотностивероятности распределения по р )будет её фурье-образ Ф ( р). В соответствии с этим преобразованием О. координаты становится дифференциальным, <а О. импульса - О. умножения:

Нормированные на -функциюсобств. ф-ции этих О. имеют вид

О. динамич. величин определяются как

Матричное представление. Рассмотренныевыше представления являются частными случаями, когда в качестве системыбазисных ф-ций {( х)}выбиралисьсобств. ф-ции координаты или импульса. В общем случае волновая ф-ция системы (x,t )можетбыть задана совокупностью компонент Ф(t) = {Ф _n(t)} впространстве с достаточно произвольно выбранным базисом {(t)},

причём величины |Ф _n(t)|² определяют вероятности обнаружить систему в каждом из состояний ( х). Представляя (x,t )ввиде столбца из её компонент {Ф _n(0)} [сопряжённую ей- в виде строки из элементов Ф _n(t)] а в виде квадратной матрицы

можно записать результат действия этогоО.в виде алгебраич. соотношений, определяющих изменённые в результате поворотавектора Ф(t) значения компонент Ф'(t) через их исходные значения:

Матричные представления могут быть дискретными, <непрерывными (как в случаях координатного и импульсного представления)и смешанного типа, когда часть квантовых чисел, входящих в n, дискретна, <часть непрерывна. Приведём неск. общих соотношений в матричном выражении. <Алгебраич. действия над О.:

условие самосопряжённости :

единичный О.[в случае дискретного спектра где - Кронекера символ, в случае непрерывного спектра ( п- т)=( п- m), где ( п- т) - дираковская -функция];ф-ла для ср. значений:

Проблема расчёта собств. значении и собств. <ф-ций сводится к решению системы однородных относительно компонент Ф _n ур-ний

причём условие существования нетривиальногорешения для {Ф _n}

является ур-нием (степени, равной рангуматриц, фигурирующих в данном представлении), определяющим спектр собств. <значений {f_n}.

Если в качестве базиса {( х)}выбранасистема собств. ф-ции О.то его матричное представление диагонально,поэтому проблему определения собств. ф-ций и собств. значений нек-рогоО. или неск. коммутирующих друг с другом О. можно представить как проблемуодноврем. диагонализации их матричных представлений.

Если в качестве базисных ф-ций {( х)}используютсясобств. ф-ции оператора Гамильтона,то говорят об энергетич. представлении О. и ф-ций состояния. Однако собств. <ф-ции О.как правило, неизвестны. Поэтому в ряде случаев в качестве системы базисныхф-ций выбирают собств. ф-ции той части полного гамильтониана для к-рой удаётся получить точное решение для собств. ф-ций и собств. значений,и затем уже в этом матричном представлении развивают теорию возмущенийпо параметру, к-рому пропорц. часть как для расчёта собств. значений полного так и его собств. ф-ций.

Матричное представление является органичнымдля О. момента ввиду дискретности квантовых чисел l и m.Т. к. каждому l соответствует 2l+ 1 значений числа т, тособств. ф-ции О.и представляютсястолбцами, а О. момента - матрицами (2l+ 1)-ранга, ненулевые элементык-рых определяются ф-лами

Эти же соотношения справедливы и для О. <полного момента включающего помимо О. орбит, момента также и О. спина (для к-рого нематричного представления просто не существует), причём квантовоечисло j, заменяющее в этом случае l в приведённых выше ф-лах, <принимает ряд целых или полуцелых значении, а число т= - j,-j+ 1,...,j пробегает 2j + 1 значений.

Общие ф-лы для О. момента определяют такжеи О. спинового момента частицы Так, для частиц со cпином ¹/₂ О. спина где - двухрядные Паули матрицы. Поэтому и состояние электрона (в нерелятивистскойтеории) будет описываться соответственно двухкомпопентной волновой ф-цией[ причём помимо классич. замены в гамильтониане этой системы р-> р - ( е/с) А он должен быть дополнен энергиейвзаимодействия -собств. магн. момента электрона внеш. магн. полем (r,t.)].Врелятивистской теории электрона состояние частицы описывается четырёхкомпонентнойволновой ф-цией (не исключено матричное представление для каждой из них)в соответствии с разл. спиновыми состояниями электрона и состояниями частицаи античастица, а О. выражается четырёхрядными матрицами, элементы к-рыхсами могут быть О. в к.-л. x -представлении. Простейшие примеры полныхнаборов коммутирующих О. для случая свободного движения электрона: гамильтониан импульс, проекция спина на направление импульса где а - четырёхрядные Дирака матрицы; или О._D,,иО. инверсии Собств. ф-ции при первом выборе характеризуются плоскими волнами (с импульсомр), проекцией спина s =¹/₂ и энергией при втором - сферич. волнами, числами j, т и l (чётность).При движении электрона в центрально-симметричном поле U(|r| )системойкоммутирующих О., полностью определяющих состояние системы, являются гамильтониан О. квадрата полного момента ,его проекции и чётности Для частиц со спином 1 необходимо использовать уже как минимум трёхрядныематрицы и т. д.

Представление вторичного квантования эффективно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа одинаковыхчастиц (проблема мн. тел в статистич. механике; см. Квантовая теориямногих частиц), или систем, допускающих существование любогочисла частиц одного и того же сорта (см. Квантовая теория поля), иявляется одним из наиб. естеств. способов учёта свойств симметрии волновыхф-ций системы по отношению к перестановкам одинаковых частиц. В основесвоей - это матричное представление, для формулирования к-рого используются N -частичныебазисные ф-ции с определённым типом симметрии ( х), сконструированныекак симметризов. или аитисимметризов. произведения одночастичных ф-ций (чаще всего для этого используются известные решения задач на свободноедвижение частицы данного типа), где х = х_l, ..., х _N,а в наборе квантовых чисел п={...,n_f,...} каждоеиз n_f указывает, сколько раз в структуре данной базиснойф-ции встречается ф-ция с данным индексом f. Числа n_f наз. числамизаполнения (очевидно, а базисные ф-ции обычно обозначают символами ( х)= |.... n_f, ... >, введёнными П. А. М. Дираком (Р.A. М. Dirac), при этом Отличие систем, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановкамдвух частиц, проявляется в том, что в первом случае (бозе-частицы) n_f могутпринимать любые целые неотрицат. значения, а во втором (ферми-частпцы)- только 0 и 1. Это ограничение на числа заполнения для ферми-систем выражает Паулипринцип. О. динамич. величин, представленные соответствующими матрицами<...n_f, ... ... |F| ..., n'_f,...>, действуя на волновую ф-цию, имеющую в этом представлении вид векторас компонентами Ф(...,n_f ,...), характеризуемыми определённыминаборами чисел n_f, "перепутывают" эти наборы. Иными словами, <вместо нек-рого Ф(...,n_f,...) в результате действия О.F появляется амплитуда Ф(...,n_f',...), к-рая характеризуетсяуже другими, изменёнными числами заполнения тех же состояний f,т. е. О. в этом представлении меняют числа частиц в каждом из состоящих f.Удобно рассматривать "элементарные" О., изменяющие на единицу к.-л. изчисел заполнения n_f, т. и. О. рождения и О. уничтожениячастицы в состоянии f, и с их помощью выражать более сложные О.F. Действие каждого такого О. рождения и уничтожения меняет на единицуне только определённое число n_f, но и общее число частиц N. Т. о., для использования формализма вторичного квантования необходимооперировать с бесконечным набором пространств и соответствующих им базисныхсистем ф-ций [..., n_f ,...> для всех значений общегочисла N от нуля до бесконечности. Конкретный результат действия элементарныхО. на эти базисные ф-ции определяется с помощью непосредств. расчёта соответствующихматричных элементов. Действие их на |..., n_f,...> вслучае бозе-систем можно представить в виде

для О. уничтожения a_f и

для О. рождения а _f⁺, причем ни а _f, ни а _f⁺ недействуют на числа n_f', если f 'f.Отсюда следуют перестановочные соотношения

В случае ферми-систем а _f и а _f⁺ имеют тот же смысл О. изменения на единицучисла n_f, но учёт антисимметрии базисных ф-ций по отношениюк перестановкам индексов частиц и ограничение чисел заполнения двумя значениямиО, 1 приводят к перестановочным соотношениям антикоммутации:

В ряде задач, когда гамильтониан системыцеликом выражается в терминах спиновых О., удобны О. рождения и уничтоженияс коммутац. соотношениями смешанного типа:

По своей матем. природе они тождественныбозе-O., но действуют в урезанном пространстве чисел заполнения, допускающемзначения n_f =0 и n_f=1. Их называютпаули - О., т. к. они непосредственно связаны со спиновыми матрицами Паули:

Во всех случаях О. n_f = а _f⁺ а _f является О. числа частиц в состоянии f и имеетсобств. значения n_f= 0, 1, 2, ... для бозе-систем и n_f= 0, 1 для ферми- и паули-систем.

Чаще всего в приложениях индекс f означает импульс и спин f = ( р, )частицы, <т. е. в качестве базисных ф-ций |..., n_f,... > выбираютсясимметризов. или антисимметризов. произведения ф-ций где - плоская волна (V - объём

системы),- спиновая ф-ция. Тогда а _f⁺ и a_f- О. рождения и уничтожения частицы с данным значением импульса и спина. <Возможно и "координатное" (или к.-л. иное) представление этих О., определяемоес помощью преобразования типа фурье-преобразования:

О. дпнамич. величин в представлении вторичногоквантования строятся след. образом: величинам аддитивного динамич. типа, <таким, что (напр., полный импульс системы из N частиц, <их полная кинетич. энергия, <энергия взаимодействия с внеш. полем и т. д.) соответствуют О.

где <f|F|f' > - О.в f -представлении, матричные элементы к-рого рассчитываются с помощьюф-ций величинамбинарного типа (напр., энергии взаимодействия частиц друг с другом) соответствуют О.

где < f₁f₂|G|f'₁f'₂- матричный элемент О.в f -представлении, <рассчитанный с помощью системы ф-ций и т. д.

Напр., гамильтониан системы нерелятивистскихчастиц с центр. их взаимодействием Ф(r_i,r_j)= Ф(r_i - r_j), находящихсяво внеш. поле U(r), в представлении вторичного квантования имеетвид

где и -фурье-образы потенциалов Ф и U, причём для частиц со спином нижнийиндекс у а ⁺ и а помимо волнового вектора k включает и спиновый индекс s: ит. д. Каждое слагаемое этого О. имеет наглядный смысл: общая кинетич. энергияпредставлена как сумма по всем k кинетич. энергий умноженных на числа частиц a_k⁺ak=n_k с этой энергией, каждое слагаемое из второйсуммы учитывает рассеяние частицы k - > k +на фурье-компоненте внеш. поля а из третьей суммы - рассеяние двух частиц (k,k') - > (k+ x,k'- )на фурье-компоненте потенциала их взаимодействия

Помимо модели прямого взаимодействия частиц, <возможной только в нерелятивистской теории, рассматривается взаимодействиечастиц с разл. полями, переносящими это взаимодействие: в электродинамикес эл.-магн. полем (полем фотонов), в статистич. физике - с полем фононови т. д. В гамильтониан системы в этом случае необходимо добавить свободнуюэнергию этого поля и О. взаимодействия его с частицами системы, <имеющий вид

причём элементарный акт этого взаимодействияимеет характер рассеяния частицы с испусканием (или поглощением) квантаполя b. Подобные наглядные представления о взаимодействии послужилиодним из стимулов развития диаграммной техники в квантовой теории поляи в квантовой статистике.

О. энергии и производные О. по времени. В квантовой теории О. энергии определяется как первая производная повремени,С его помощью записывается ур-ние Шрёдингера - осн. ур-ние квантовой механики, <являющееся ур-нием движения для волновой ф-цип,После подстановки оно превращается в ур-ние на собств. значения гамильтониана,и определяет стационарные состояния системы. О. производной по времени физ. величины F определяется в соответствии с ур-нием движения для как

что позволяет определять в квантовой механикеО. величин типа скоростей, ускорений и т. д. Если величина F независит явно от времени и коммутатор то эта величина является интегралом движения.

В релятивистской теории помимо ур-ний, <содержащих О.впервой степени, напр. Дирака уравнение используются ур-ния второго порядка по ( Клейна- Гордона уравнение], для однокомпонентной -функциичастицы без спина, а также для векторных 4-компонентных ф-ций и тензорныхболее высокого ранга. Оператор можно рассматривать как нулевую компоненту релятивистского О. энергии-импульса = 0,1,2,3, что позволяет использовать для релятивистских ур-ний удобнуюлоренц-ковариантную запись.

Различные временные представления О. Рассмотреннаявыше схема квантовой теории, когда не зависящей от времени динамич. величине F ставится в соответствие также не зависящий от . О.аэволюция системы целиком определяется поведением волновой ф-ции, подчиняющейсяур-нию Шрёдингера, формальное решение к-рого можно представить как

наз. Шрёдингера представлением дляО. и ф-ций состояния. Из возможных др. временных представлений отметимдва, широко используемых в квантовой теории. В Гейзенберга представлении -функцияявляется пост. вектором; полагая в приведённой выше ф-ле t₀=0,можно представить эту ф-цию как нач. значение рассмотренной ранее =азависимость от t переносится на О. динамич. величин:

ур-ниедвижения для к-рых имеет вид

Для построения взаимодействия представление существенно разделение на части,связанное обычно с применением теории возмущений. В атом временном представлениизависимость от . определяетсяс помощью нулевого гамильтониана:

аэволюция волновой ф-ции определяется О.

причём формальное решение этого ур-нияможно записать как

где оператор S -матрицы (наз. матрицейрассеяния)

Матрица плотности, матрица рассеянияи другие О.

Наряду с О., непосредственно связаннымис определёнными физ. переменными, в квантовой теории используются О., к-рыеопределяют все свойства системы, включая её состояние, или ряд её свойств. <Выше предполагалось, что состояние кваитовомеханич. системы фиксируетсяс помощью волновой ф-ции, представляемой вектором Ф(t) = {Ф _n(t)}.Если этому т. н. чистому состоянию поставить в соответствие О.с матричными элементами <n|р| т> = Ф _n*(t)Ф _m(t),то ср. значения физ. величины F запишутся как

а сам О. p(t) в соответствии с ур-ниемШрёдингера для Ф(t )будет удовлетворять ур-нию

и иметь формальное решение в виде

О. р наз. матрицей плотности. Онхарактеризует систему и в случаях, когда она находится в т. н. смешанномсостоянии, что существенно, напр.. при рассмотрении статистич. систем. <Матричное представление О. р может быть определено в смешанном представлении(напр., в координатно-импульсном), что невозможно в традиц. квантовой механике, <оперирующей с чистыми квантовомеханич. состояниями. О.допускает помимо шрёдиигеровского и иные временные представления.

О. S -матрицы (и его модификаций, <включая температурные варианты) определяет изменение свойств системы поотношению к нек-рому известному "исходному" состоянию, напр. к состояниюс "выключенным" взаимодействием частиц (для этого в добавляют фактор ехр{ -|t|}, -> 0, обеспечивающий выключение взаимодействия при t - >).Тогда для конечного t (t₀- > - )введённый ранее О. можно представить как бесконечный ряд, записываемыйусловно в виде т. н. Т -экспоненты, т. е. упорядоченного по временнымаргументам (см. Хронологическое произведение )степенного её разложения:

Этот ряд служит основой для построенияприближений в рамках теории возмущений по

О. t-матрицы, родственной О. S, на простейшем примере задачи двух тел (задачи рассеяния) модифицирует падающуюиз бесконечности на рассеивающий центр H₁ = Ф(r )плоскуюволну в расходящуюся волну (в соответствии с граничными условиями квантовомеханич. задачи рассеяния),так что Ур-ние Шрёдингера, записанное в терминах t-О., и его формальное решениеимеют вид

В случаях, когда потенциал Ф(r )не имеет фурье-образа (напр., прп взаимодействии твёрдых сфер конечногорадиуса), а использование импульсного варианта представления вторичногоквантования всё же рационально, импульсное представление t-О. <заменяет несуществующуювеличину v(q), причём при малых передачах импульса |q|матричный элемент t-О. <выходит на константу, пропорц. длине рассеянияа:

О. преобразований. В квантовой теории такиеО. широко используются для осуществления переходов к др. представлениями координатам, для трансляций и поворотов в разл. пространствах, сдвигаво времени, дискретных преобразований самого разного физ. содержания. Рассмотримнек-рые из них.

Пусть - система базисных ф-ций, определяющих нек-рое n -представление О. <и волновых ф-ций, а - др. базисная система, соответствующая -представлению. <Переход от одной системы к другой

где можно символически записать с помощью линейного унитарного О. U, матричноепредставление к-рого приведено выше, как Условие унитарности U⁺U = I является следствием ортонормироваиностибазисных ф-ций и Т. <к. обратный О. U^-1= U⁺, тообратное преобразование имеет вид Обозначаясимволом F матричное представление О.в т -представлепии <n|F|n'> и символом матрицу , будем иметь в компактной записи правило преобразования О. динамич. переменнойот одного представления к другому в виде F'= U⁺FU. Преобразованиеф-ции состояния, определяемой в n -представлении совокупностью компонентФ = {Ф _n}, а в -представлении- совокупностью штрихованных компонент Ф' =записывается как Ф' = U⁺ Ф.

Унитарные преобразования . сохраняютнормировку волновых ф-ций, свойство их ортогональности, порядок действияО. дниамич. величин, сумму их диагональных элементов

и т. д. Проблему определения собств. значенийО. F можно свести к проблеме построения такого О. U, к-рыйпревращал бы матрицу <n|F|n'> в диагональную:

Примеры О. преобразований приводились выше. <Так, переход к представлению Гейзенберга осуществлялся с помощью О.к представлению взаимодействия - с помощью переход от координатного представления к импульсному (в одномерном случае)производится с помощью непрерывной матрицы и т. д.

О. U используются при преобразованиисистем координат. При рассмотрении непрерывных преобразований (сдвиг, вращение)достаточно ограничиться бесконечно малым преобразованием данного типа. <Напр., О. бесконечно малого смещения координат непосредственноопределяетсяпервыми членами разложения ф-ции в ряд Тейлора:

откуда для О. конечной трансляции получаем Аиалогичная процедура с бесконечно малым смещением во времени приводитдля конечного сдвига на tк известному результату:

[в представлении взаимодействия где S(t₁,t₂) - S -матрица].При бесконечно малом повороте на угол на скалярную ф-цию (r )действуетО.а для частицы со спиом О.

О. конечного поворота, как видно из этихф-л, представляются матрицами (2j + 1)-го ранга. В релятивистскойтеории при бесконечно малых поворотах в четырёхмерном пространстве на угол (при Лоренца преобразованиях) О. <преобразования ф-ции состояния можно записать как U =1/2где для четырёхкомпонентной ф-ции фермиона О.целиком выражается с помощью Дирака матриц в виде

Дискретные преобразования . связаныне только с преобразованиями типа отражений в пространстве и времени, нои с изменением дискретных величин, таких как электрич. заряд, барионноечисло, странность, очарование, цвет и т. д. Приведём примеры О. дискретныхпреобразований, использующихся в теории релятивистских фермн-частиц, к-рыенесложным образом выражаются через : пространственнаяинверсия (r' -r, х'₀= х ₀)- U =обращение времени (r' - r, х'= - х ₀)-U= полнаяинверсия (r' - > - r, х' _о = -х ₀) - U - где Возможны и др. законы преобразования ксипри отражениях; напр.,при r' - > - r возможны (помимо упомянутого)ещё три варианта преобразования волновой ф-ции:U= (такпреобразующиеся при отражениях -функцииназ. псевдоспинорами). Аналогичные варианты существуют и для законов преобразованийпри др. отражениях. К дискретным преобразованиям примыкает операция зарядовогосопряжения, имеющая вид

О. перестановок. Такие О. необходимыпри рассмотрении систем двух и более одинаковых частиц. С помощью простейшегоО. перестановки индексов двух частиц

можно построить любой О. перестановки этих индексов, представив его как произведение парных перестановок:Оператор линеен,

симметричен,совпадает с обратным,унитарен,Т. к. в системе одинаковых частиц О. перестановки их индексов не изменяетни О. динамич. величии (в частности, гамильтониана системы ,т. е.=0), ни граничных и др. дополнит. условий, то волновые ф-ции и отличающиесярасположением двух индексов частиц у их аргументов, удовлетворяющие однойи той же системе ур-ний и дополнит. условий, описывают одно и то же микроскопия, <состояние, т. е.где = схр {i}- фазовый множитель. Повторное применение к этому соотношению О.определяет для собств. значения О.условие = 1, т. е.- ф-ция состояния системы одинаковых частиц по отношению к перестановкамих индексов либо симметрична, (случай системы бозе-частиц), либо антисимметрична, (случай системы ферми-частиц), где - число парных перестановок на к-рые распадается данная перестановка При этом ввиду того, что =0, характер симметрии волновой ф-ции является пост. свойством данной системы.

Для двух ферми-частиц О. перестановкиимеет вид где - соответственно О. обмена спинами, зарядами и координатами. Т. к. дляферми-систем =-1, то для О. перестановки фермионов местами

где - матрицы Паули, действующие на спиновые переменные каждой из частиц, а ,- совпадающие по виду с матрицами Паули операторы изотопического спина.

О. проектирования вводятся при необходимостивыделить из всего класса допустимых волновых ф-ций ( х )подпространство ф-ций ( х), удовлетворяющихопределённым дополнит. требованиям (напр., подпространство ф-ций с к.-л. <дополнит. ограничением на числа заполнения или ф-ций, ортогональных к заданной, <и т. д.). Вследствие принципа суперпозиции любую ( х )можнопредставить как и выделить первое слагаемое с помощью проекционного О.определив его как где

Из свойств отметим его линейность и свойство Ввиду отсутствия взаимной однозначности в сопоставлении О. проектирования не имеет обратного себе О.Следует отметить, что О. матрицы плотности по природе своей является проекционным О. - для чистого состояния Ф, когда <п'п>== онпросто совпадает с О. проектирования на это состояние: РФ =

Лит. см. при ст. Квантовая механика, <Квантовая теория многих частиц, Квантовая теория поля, Квантовая хромодинамика.

И. А. Квасников.