Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ

ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ - матем. понятие, <обобщающее классич. понятие ф-ции. Потребность в таком обобщении возникаетво многих техн., физ. и матем. задачах. Понятие О. ф. даёт возможностьвыразить в математически корректной форме такие идеализир. понятия, какплотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, плотность(пространств.) простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источникаи т. д. С др. стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, чтореально нельзя измерить значение физ. величины в точке, а можно измерятьлишь её ср. значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Т. <о.,О. ф. служат удобным и адекватным аппаратом для описания распределенийразл. физ. величин, поэтому О. ф. наз. также распределениями.

О. ф. были введены впервые в кон. 20-хгг. 20 в. П. Дираком (P.A.M. Dirac) в его исследованиях по квантовой механике. <Основы матем. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решениизадачи Коши для гпперболич. ур-ний, а в 50-х гг. Л. Шварц (L. Schwartz)дал систематич. изложение теории О. ф. и указал мн. применения. ТеорияО. ф. имеет многочисл. применения и вошла в обиход математиков, физикови инженеров.

Основные определения. Формально О. ф.f определяют как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторнымпространством достаточно "хороших" (основных) ф-ций Важным примером основного пространства является пространство D(O )бесконечнодифференцируемых финитных в открытом множестве ф-ций Наим. замкнутое множество, вне к-рого наз. носителем Последовательность сходится к ф-ции в D(О), если носители ф-ций содержатсяв нек-ром ограниченном замкнутом подмножестве О и любая производнаяф-ций сходитсяпри равномерно по х к соответствующей производной ф-ции

Примером основной ф-ции из служит "шапочка"

Соответствующее D(O )пространствоО. ф. обозначают D'(O); Сходимостьпоследовательности О. ф. из D'(0 )определяют как слабую сходимостьфункционалов в D'(О), т. е. f_k - > 0,в D'(O )означает, что для всех

Для того чтобы линейный фунционал f на D(O )был О. ф. в О, т. е.необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества существовали числа К и т такие, что

где означает верх. грань модуля и её производных порядка

Если в неравенстве (1) целое число . независит от О', то О. ф. f имеет конечный порядок; наименьшеетакое т наз. порядком f в О. Т. о., в силу (1) всякаяО. ф. f из D'(O )имеет конечный порядок в любом О.

Пространство D'(O) - полное: еслипоследовательность О. ф. f_k, k =1, 2, ..., из D'(O )такова, <что для любой ф-ции числовая последовательность сходится, то функционал принадлежит D'(O).

Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, <порождаемые локально интегрируемыми в О ф-циями:

О. ф., определяемые локально интегрируемымив О ф-циямп f(x )по ф-ле (2), наз. регулярными О. ф. в О; остальныеО. ф. наз. сингулярными.

Примером сингулярной О. ф. в служит дельта-функция Дирака,Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке х =0.При этом "шапочка"аппроксимирует -функцию,в D'. Пусть и -"шапочка". Тогда ф-ция наз. регуляризацией О. ф. f и в D'(О). Более того, всякая f из D'(O )есть слабый пределф-ций из D(O). Последнее свойство иногда берут в качестве исходногодля определения О. ф., что вместе с теоремой о полноте пространства О. <ф. приводит к эквивалентному определению О. ф.

О. ф., вообще говоря, не имеют значенийв отд. точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. с локальноинтегрируемой ф-цией на открытом множестве: О. ф. . из D'(O )совпадаетв О'О слокальноинтегрируемой в О' ф-цией f₀( х), если еёсужение на О' есть f₀, т. е. в соответствии с(2)

для всех при этом считается f = f₀(x), В частности, при f₀0 получается определение того, что О. ф. f обращается в нуль в О'. Множествоточек О, ни в какой окрестности к-рых О. ф. f не обращаетсяв нуль, наз. носителем О. ф. f и обозначается suppf. Еслиsupp то О. <ф. / наз. финитной в О.

Справедлива теорема о кусочном склеиванииО. ф.: пусть в окрестности U_y О каждойточки у задана О. ф. f_y из D'(U_y), причёмэлементы f _у согласованы, т. е. f_y1 = f_y2 в тогда существует О. ф. f из D'(О), совпадающая с f_y в U _у привсех у 0.

Напр., для -функцииДирака: supp={0}. О. ф.определяемая равенством

наз. главным значением интеграла отф-ции 1/ х;suppО. ф.сингулярна в однако на открытом множестве х 0она регулярна и совпадает с 1/х.

Поверхностная -функция. Пусть S - кусочно гладкая поверхность и - непрерывная ф-ция на S. О. <ф.определяется равенством

При этом вне S,- сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространств. плотность масс илизарядов, сосредоточенных на поверхности S с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).

Линейные операции над О. ф. вводят какрасширение соответствующих операций над основными ф-циями.

Замена переменных. Пусть fD'(O )и х= Ау+ b - линейное преобразование О на O_ldet A0. О. ф. f(Ay+ b )из D'(О' )определяют равенством

В частности, если (.=- подобие), то если А - I(х=у+b- сдвиг на b), то Ф-ла (3) позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, <центрально симметричные, однородные, периодические и т. д. О. ф.

Пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция а имеет только простые нули х ₁, x₂,... на оси Ф-цию ( а(х) )определяютравенством

Напр.,

Произведение. Пусть fD'(0 )и произведение а f = f а определяют равенством

Оказывается, что afD'(0 )идля обычных ф-ций произведение а f совпадает с обычным умножениемф-ций f(x )и а(х). Напр.,

Однако эта операция произведения не допускаетраспространения на любые О. ф. так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной. <В нек-рых классах О. ф. такое произведение можно определить, однако ономожет оказаться неоднозначным.

Дифференцирование. Пусть fD'(O). Обобщённуюпроизводную О. ф. f

порядка определяют равенством

Т. к. операция линейна и непрерывна, то функционал определяемый правой частью равенства (4), есть О. ф. из D'(O).

Имеют место след. свойства: операция линейна и непрерывна, любая О. ф. из D'(O )бесконечно дифференцируема(в обобщённом смысле); дифференцирование не зависит от порядка; справедливаф-ла Лейбница для дифференцирования произведения а f, где дифференцирование не увеличивает носителя; всякая О. ф. f из D'(О )вовсяком открытом множестве О'О естьнек-рая производная от непрерывной ф-ции в О'; любое дифференц. <ур-пие Lu= f, fD'(О )спост. коэф. разрешимо в D'(O); любая О. ф. f порядка Nс носителем в точке 0 единств, образом представима в виде

Напр.,где - ф-ция Хевисайда: х>= 0;.<0;

ф-ция -описывает плотность зарядов, соответствующую диполю момента, равного +1в точке х= О и ориентированного вдоль положительного направленияоси х.

Обобщением является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемойповерхности S:

О. ф. -описывает пространств. плотность зарядов, соответствующих распределениюдиполей на поверхности S с поверхностной плотностью момента и ориентированных вдоль заданного направления нормали n на . (плотностьдвойного слоя).

Общее решение ур-ния хи = О в классе есть и(х) =k = 0,1, ...,m - 1. Тригонометрич. ряд

сходится в D', и его можно дифференцироватьв D' почленно любое конечное число раз;

Прямое произведение. Пусть f(x )и g(y )-локально интегрируемые ф-ции в пространствах и соответственно. <Ф-ция f(x )х g(y) локально интегрируема в она определяет регулярную О. ф.

наз. прямым произведением f и g. Ф-ла(5) служит основой для определения прямого произведения О. ф.f(x )из и g(y )из Прямое произведение коммутативно и ассоциативно. Напр.,

Свёртка. Если f(x )и g(x )локальноинтегрируемы в и ф-ция также локально интегрируема в то свёрткой f * g наз. ф-ция

Эта ф-ция локально интегрируема в и определяет регулярную О. ф.:

Свёртка заведомо существует, если однаиз ф-ций f или g финитна. Если свёртка существует, то онакоммутативна: f * g = g * f; справедливы ф-лы дифференцированиясвёртки:

Если учесть, что получим

Свёртка, вообще говоря, не ассоциативна. <Однако если рассмотреть, напр., совокупность D'+ О. ф. из D'(),обращающихся в нуль при х< 0, то их свёртка существует и ассоциативна.

О. ф.из D' наз. фундаментальным решением (ф-цией точечного источника)дифференц. оператора L(д )с пост. коэффициентами, если она удовлетворяетур-нию

Зная фундам. решение оператора L(д), можно построить решение ур-ния L(d)u = f для тех f из D', для к-рых свёртка f *существует, <и это решение даётся ф-лой Напр., для ур-ния

п= 2;п = 3

(см. также Грина функция).

Преобразование Фурье определяютдля класса О. ф. S' = S'( )медленного роста. Пространство основных ф-ций S= S( )состоитиз ф-ций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстреелюбой степени | х | ^-1. Норма в S задаётся выражением

Локально интегрируемые в ф-ции медленного роста содержатся в S', определяя по ф-ле (2) регулярныефункционалы на S. Всякая О. ф. из S' есть нек-рая производнаяот непрерывной ф-ции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядокв

Преобразование Фурье .[f]О. <ф. f из S' определяется равенством

где классич. преобразование Фурье. Обратная операция к F:

Основные ф-лы для fS':

если g финитна. Если О. ф.f - периодическаяс периодом Т =( Т₁, ..., Т _п), T_jS' иеё можно разложить в тригонометрич. ряд

сходящийся к f в S'; здесь

Напр.,в частности F[1]=в частности

Преобразование Лапласа в одномерном случае.Пусть S'₊ - пересечение множеств S' и D'₊, тогда множество О. ф. из D'₊, таких, что при всех а, обозначают D'+(a). Если f и то причём (f * g)exp( - х)=/ехр( - х)*gexp ( - х), а.

Пусть fD'₊ (a), тогда преобразование Лапласа f есть

L_f (p) - аналитич. <ф-ция в полуплоскости а. Ф-цию f(x )наз. оригиналом, ф-цию L_f (p)- изображением, между ними имеется взаимно однозначное соответствие f(x)<->L_f(p), Обратное преобразование определяют равенством

Справедливы след. ф-лы:

Напр.,

р- любое, m = 0,1,...

Лит.: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.,Обобщенные функции, в. 1 - 3, М., 1958; Дирак П. А. М., Принципы квантовоймеханики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Шварц Л., Математические методыдля физических наук, пер. с франц., М., 1965; Владимиров В. С., Уравненияматематической физики, 5 изд., М., 1988; его ж е, Обобщенные функции сматематической физике 2 изд., М., 1979; Антосик П., Микусинский Я. СикорскийР., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, пер. с англ., М.,1976; Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, пер. с англ. <т. 1, М., 1982; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А. Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общиепринципы квантовой теории поля, М., 1987.

В. С. Владимиров.