Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ФШДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ

ФШДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ

ФШДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ - интегральное уравнение

ядро к-рого - ф-ция К(х, у) - задаёт вполне непрерывный (фредгольмов) оператор в нек-ром функциональном пространстве. Численный параметр может принимать как действительные, так и комплексные значения, a f(x), j(x) - заданная и искомая ф-ции. Напр., для пространства непрерывных ф-ций С (S)- оператор фредгольмов, если ф-ция К непрерывна в квадрате SS (подробнее см. Интегральный оператор). Ур-ние (1) изучено Э. Фредгольмом (Е. Fredholm) в 1900-03.

В теории Ф. у. доказывается совокупность теорем (называемая альтернативой Фредгольма) о разрешимости ур-ния (1) и союзного к нему ур-ния

Здесь -число, комплексно сопряжённое с параметром l, ф-ция К*(х, y) =(y, x )-эрмитово сопряжённое ядро союзного ур-ния.

Если интегральное ур-ние (1) с непрерывным ядром разрешимо в классе непрерывных ф-ций C(S )при любом свободном члене fC(S), то и союзное к нему ур-ние (2) разрешимо при любом свободном члене g С (S), причём эти решения единственны (п е р в а я т е о р е м а Ф р е д г ол ь м а).

Если интегральное ур-ние (1) разрешимо в С(S )не при любом свободном члене f, то:

1) однородные ур-ния (1) и (2) (f=g = 0) имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (в т о р а я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а);

2) для разрешимости ур-ния (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член f был ортогонален ко всем решениям союзного ур-ния (2) (т р е т ь я т е о р е м а Ф р е дг о л ь м а).

Число l, при к-ром однородное ур-ние (1) имеет ненулевое решение, наз. характеристич. числом ядра К, а соответствующие решения - собственными ф-циями ядра, соответствующими этому характеристич. числу.

Доказывается также ч е т в ё р т а я т е о р е м а Ф р е д г ол ь м а: в каждом круге |l|<=R может находиться лишь конечное число характеристич. чисел ядра К.

Отсюда следует, что множество характеристич. чисел непрерывного ядра не более чем счётно и не имеет конечных предельных точек. Из второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность каждого характеристич. числа конечна.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 6 изд., М., 1989; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988.

С. В. Молодцов.