Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ИТЕРАЦИЙ МЕТОД

ИТЕРАЦИЙ МЕТОД

ИТЕРАЦИЙ МЕТОД (последовательных приближений метод) - способ решения матем. задач, заключающийся в построении последовательности, члены к-рой получаются с помощью повторного применения к.-л. операции. Нач. член последовательности выбирают в достаточной степени произвольно. И. м. применяют для решения операторных ур-ний вида

Au =f,(1)

определения минимума нек-рого функционала, поиска собств. значений и ф-ций ур-ния Au=lu, доказательства существования решений этих задач, а также для исследования поведения сложных систем. <Наиб. простой алгоритм, реализующий И. м.,- одношаговая итерация

u^(k+1)=A_ku^(k), k=0, 1, 2, ..., (2)

где u⁽⁰⁾ - нач. член последовательности. Сходимость последовательности (2) определяется принципом сжимающих отображений - теоремой о существовании и единственности неподвижной точки у отображения А полного метрич. пространства X с метрикой r в себя, если для любых х, уО Х выполняется неравенство r( Ах, Ау)[ar( х, у), где 0<a<1. Неподвижная точка и* - решение ур-ния Аи=и; ур-ние (1) приводится к этому виду заменой -(Au-f). Если для нач. члена выполняется неравенство r( Аu⁽⁰⁾, u⁽⁰⁾)[m, где m - нек-рое число, то для n-й итерации верна след. оценка:

Операторы А_k, для ур-ния (1), заданного в линейном метрич. пространстве, обычно строят по ф-лам u^(k+1)=, где H_k - нек-рая последовательность операторов, определяющая тип итерационного алгоритма. Для ускорения сходимости при выборе H_k используют вариац. методы. Напр., при решении ур-ния (1) с самосопряжённым положительно определённым ограниченным оператором А, действующим в гильбертовом пространствеHсо скалярным произведением (f, g), и элементом f ОHполагают , (k=0,1, 2, . . ., где параметр , Ax^(k)) выбирают на каждом шаге из условия минимизации нормы величиныПростой вид приобретает И. м. при решении системы линейных алгебраич. ур-ний Ах=b, к-рую преобразуют к виду х=Вх-}-с. Решение находят как предел последовательности x^(k+1)=Bx^(k)+c, k=0,1, 2, ... Для сходимости метода при любом нач. приближении х ⁽⁰⁾ необходимо и достаточно, чтобы все собств. значения матрицы В были по модулю меньше 1. Если ||B||[j<1, то для погрешности k-гoчлена верна оценка . Скорость сходимости можно увеличить, если на k-м шаге при вычислении i-й компоненты вектора х учитывать уже вычисленные k-e приближения первых (i-1) компонент. <При решении практич. задач но всегда можно проверить условия сходимости итераций. В конкретных расчётах обычно на каждом шаге требуют уменьшения расстояния между последоват. итерациями. Счёт прерывается при увеличении расстояния. Однако в нелинейных задачах возможно сложное поведение членов итерационной последовательности, при изменении параметров системы могут возникать новые неподвижные точки, области притяжения (окрестности неподвижных точек, в к-рых концентрируются значения членов итерационной последовательности) могут перекрываться. В этих условиях необходим постоянный контроль за поведением итерационной последовательности, но гарантировать сходимость последоват. приближений уже невозможно. И. м. используют для исследования сложного поведения динампч. систем, напр. для моделирования перехода от ламинарного течения жидкости к турбулентному. Примером сложного поведения простых систем является итерационная процедура x⁽ⁿ⁺¹⁾=f(x⁽ⁿ⁾), f(x)=4mx(l - x),0[m[1. В зависимости от значений параметра m, система может иметь 1,2,4, . . . неподвижных точек; при большом кол-ве неподвижных точек поведение системы не отличается от хаотического (см. Фейгенбаума универсальность). Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981 В. Е. Рокотян.