Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ

ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ

ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ - математическая- наука о пластич. деформировании тел. П. т. занимается построением матем. <моделей пластич. тел, методами определения напряжений и деформаций в пластическидеформиров. телах. За исходные положения П. т. принимаются эксперим. данные, <и непосредственно она не связана с физ. объяснением свойств пластичности. Совр. П. т. в основном связана со свойствами металлов; её применениявозможны к таким материалам, как горные породы, лёд и т. д.

Осн. эксперименты по определению пластич. <свойств металлов проводятся при испытании на растяжение - сжатие плоскогоили цшшндрич. образца при однородном деформировании тонкостенной цилиидрич. <трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего моментаи внутр. давления. На диаграмме напряжение - деформация (рис. 1) при одноосномрастяжении образца мягкой малоуглеродистой стали до точки А деформацииявляются упругими (линейный участок).

Рис. 1. Диаграмма зависимости напряжение- деформация для образца из мягкой малоуглеродистой стали.

Точка А соответствует пределу пропорциональностиматериала, т. е. макс. напряжению, при к-ром ещё справедлив Гуна закон. Наиб. напряжение, к-рое может выдержать данный материал, не обнаруживаяостаточных деформаций при разгрузке, наз. пределом упругости, или пределомпластичности; он не совпадает с пределом пропорциональности, но обычноих различием в П. т. пренебрегают. После точки А диаграмма становитсякриволинейной, а на отрезке ВС она имеет горизонтальную площадку, <наз. площадкой текучести. Точка В соответствует пределу текучестиматериала. На площадке текучести деформация возрастает без увеличения напряжения. <Начиная с точки С кривая вновь идёт вверх. Если снять нагрузку, <то диаграмма разгрузки оказывается прямой МР, параллельной прямойупругого участка. Полная деформация соответствующая точке М, состоит из двух частей - упругой ипластической

Вторичное приложение растягивающих усилийсопровождается упругим деформированием до достижения растягивающими напряжениямизначений, имевших место в нач. момент разгрузки (прямая РМ), т. <о., вторичный вывод материала в пластич. область повышает предел упругости. <Это явление наз. упрочением или наклёпом. При сжатии диаграмма напряжение- деформация подобна диаграмме растяжения. Однако наклёп материала прирастяжении понижает предел упругости при сжатии (т. н. Баушингера эффект). При пластич. деформировании возникает анизотропия механич. свойствв разных направлениях и эффект Баушингера - следствие приобретённой пластич. <анизотропии.

Эксперименты показывают разнообразие вповедении металлов и др. твёрдых тел при пластич. деформировании. Существеннымоказывается влияние скорости нагружения. При повышенной темп-ре (а в нек-рыхслучаях при комнатной темп-ре) твёрдые тела обнаруживают свойства ползучестии др. последствия. П. т. идеализирует сложное поведение реальных материалов;для разл. областей применения используются разл. модели пластич. тел. Обычнов П. т. диаграмму напряжение - деформация аппроксимируют схемой (рис. 2),состоящей из двух участков: отрезка ОА, соответствующего упругомусостоянию материала, и отрезка АС, соответствующего состоянию пластичности. <Широко используется схема жёсткопластического тела, где упругимидеформациями пренебрегают по сравнению с пластическими (рис. 2,в). Выбормодели пластич. тела состоит в установлении связи между тензорами, определяющиминапряжённое и деформиров. состояние материала.

Рис. 2. Идеализированные схемы зависимости -: а- упругопластический материал с линейным упрочением; б - идеальныйупругопластический материал; в - идеальный жёсткопластический материал.

При пластич. деформировании напряжённоеи деформиров. состояния материала зависят от последовательности нагружения. <Данному напряжённому состоянию могут соответствовать различные пластич. <деформации в зависимости от того, какой последовательностью напряжённыхсостояний оно достигнуто.

Теории пластического течения. В теориипластич. течения устанавливается связь между тензором напряжений и тензором приращений пластич. деформации (или тензором скоростей пластич. деформаций ).Приращение полной деформации равно сумме приращений упругой и пластич. <деформации Предполагается, что упругая часть деформации связана с напряжениями законом Гука. Теории пластич. течения характеризуютсянеголоном-ным видом связи между напряжениями и деформациями. Термин "течение"в П. т. имеет смысл, отличный от течения, напр., вязких жидкостей: соотношениятеорий пластич. течения не зависят от времени и при фиксиров. нагрузкахизменение деформирования пластич. тел не происходит (в противном случаеимеет место ползучесть материала).

В П. т. используется понятие пространстванапряжений. В шестимерном пространстве напряжений П декартовы координатысоответствуют компонентам тензора напряжений .Любому напряжённому состоянию в пространстве П соответствует вектор напряжений с компонентами В пространстве П определяется поверхность нагружения ,ограничивающая все упругие состояния данного элемента тела (т. е. все состояния, <к-рые могут быть достигнуты из начального без приобретения остаточных деформаций).Напряжённые состояния, соответствующие точкам поверхности нагружения ,соответствуют пределам текучести при сложном напряжённом состоянии. Приизменении напряжённого состояния поверхность нагружения изменяет свою форму.

Из опыта известно, что материал, находящийсяв любом напряжённом состоянии, можно деформировать, не сообщая ему остаточныхдеформаций (упругая разгрузка). Поэтому поверхность при изменении своей формы меняется так, что всё время проходит через конецвектора напряжении Если для нек-рого материала напряжённое состояние меняется от до (рис. 3),то поверхность нагружения занимает соответственно положения и Приизменении поверхности нагружения так, как показано на рис. 3( а),увеличение предела текучести в одном направлении приводит к понижению егов противоположном направлении. Если поверхность включает в себя поверхность (рис. 3,6), то пределы текучести увеличиваются во всех направлениях. <При этом поверхность можетоставаться гладкой (рис. 3, а, <б) или приобретать угл. точку.

Рис. 3. Изменение поверхности нагруженияпри изменении напряжённого состояния от до а и б - поверхности нагружения остаются гладкими;- вектор приращения пластич. деформации (ортогональный к поверхности нагружения, <согласно ассоциированному закону); в- поверхность нагружения приобретаетугловую точку, стрелки ограничивают возможные направления вектора приращенияпластической деформации (согласно обобщённому ассоциированному закону пластическоготечения).

Рис. 4. а - вектор ортогонален к поверхности нагружения; для любых неравенство Мизеса выполняется: угол между векторами - и меньше или равен ; б- вектор неортогонален к поверхности нагружения. Найдётся такое при котором неравенство Мизеса не выполняется; угол между векторами - и больше

Аналитич. выражение поверхности нагруженияможно записать в виде f = 0. Ф-ция f наз. ф-цией нагруженияи может зависеть от компонент напряжений, пластич. деформаций, разл. параметров, <связанных с процессами нагружения неголономными дифференциальными или функциональнымисоотношениями, и др.

Соотношения связи формулируются обычно на основе принципа (постулата) максимума Мизеса: дляфиксиров. точки поверхности и действит. компонент скорости пластич. деформации имеет место неравенство где - компоненты действительного напряжённого состояния, а - компоненты любого возможного напряжённого состояния, т. е. лежащего внутриили на поверхности Из принципа Мизеса следуют невогнутость поверхности нагружения и ассоцииров. <закон течения, определяющий ортогональность вектора

и поверхности (рис. 4).

Аналитич. выражение связи определяемое ассоцииров. законом пластич. течения, имеет вид

где f - ф-ция нагружения, к-раяв этом случае наз. пластическим потенциалом. Для поверхности нагруженияс особенностями (угл. точки, рёбра и т. п.) имеет место теория обобщённогопластич. потенциала и обобщённого ассоцииров. закона течения.

В основу построения П. т. наряду с определениемф-ций нагружения и принципом Мизеса, согласно к-рому варьируются компонентынапряжения (статич. подход), возможно построение П. т., исходящее из определениядиссипативной ф-ции и принципа Онсагера, при к-ром варьируются компоненты скорости пластпч. <деформации (кинематич. подход). Оба подхода построения П. т. эквивалентны.

Теория идеальной пластичности. В П. т. <наиб. развита теория идеальной пластичности. Для идеального пластич. телаповерхность нагружения фиксирована, в этом случае наз. поверхностью пластичности или текучести. Ур-ние поверхности пластичности(текучести) имеет вид и наз. условием пластичности (текучести). Соотношение плоской задачи теорииидеальной пластичности даны А. Сен-Венаном (A. Saint-Venant, 1871), использовавшимусловие пластичности макс, касательного напряжения:=k,где k - константа материала. В этом случае

где (3) - ур-ния равновесия; (4) - условиепластичности; (5) - условие изотропии, утверждающее совпадение гл. осейтензоров напряжений и скоростей пластич. деформаций; условие несжимаемости;(6) - ф-лы Коши, связывающие компоненты скорости деформации с компонентамискорости перемещений и, v. Характерной особенностью является замкнутостьсистемы трёх ур-ний (3 и 4) относительно трёх неизвестных компонент напряжений . В этом смысле задача является статически определённой. Ур-ния (3 и 4)принадлежат к гиперболич. типу, ортогональные характеристики совпадаютс линиями скольжения (линии разрыва скоростей перемещений), наблюдаемымиэкспериментально.

В теории идеальной пластичности нарядус условием макс. касательного напряжения используются разл. условия пластичности.

Построение теории идеальной пластичностив общем случае с единым матем. аппаратом (ур-ния гиперболич. типа) имеетместо при использовании условия пластичности макс. касательного напряженияи обобщённого ассоцииров. закона пластич. течения.

Для ребра призмы Треска, интерпретирующейв пространстве напряжений пластичности условие Треска, пмеет местовыражение

Система шести ур-ний: трёх ур-ний равновесияи трёх ур-ний (7) [недостающие два получаются из (7) круговой перестановкойиндексов ( х у z)] относительно шести неизвестных компонент напряжений как и в плоском случае, является статически определимой.

Согласно теории обобщённого пластич. потенциала, <любое деформиров. состояние может соответствовать ребру призмы Треска.

На основе модели идеально-пластическоготела развиты теории технол. задач обработки металлов давлением, несущейспособности конструкций оптимального проектирования, приспособляемости, <динамики упругопластич. и жёсткопластич. тела и др.

Модели пластических сред. Обобщениемтеории идеальной пластичности для упрочняющегося материала является теориятрансляц. упрочнения (А. Ю. Ишлинский), согласно к-рой происходит смещениеповерхности пластичности как твёрдого целого в пространстве напряженийв зависимости от роста пластич. деформаций:

Компоненты в (8) могут интерпретироваться как внутр. упругие микронапряжения. Теориятрансляц. упрочнения описывает аффекты приобретённой анизотропии и связанныйс ней эффект Баушингера.

Существуют разл. подходы к описанию поведенияупрочняющихся пластич. тел. Теории скольжения рассматривают материал какполикристаллич. агрегат с равновероятным распределением форм и размеровзёрен в элементарном объёме тела, в к-ром выделяются преимуществ. линиискольжения. Вклад отд. поверхностей скольжения в пластич. деформированиеопределяется в нек-рой интегральной форме. Подобные теории могут быть описаныв рамках теории обобщённого пластич. потенциала.

Деформационные теории пластичности. При активном простом (пропорциональном) нагружении соотношения теориималых упругопластич. деформаций (А. А. Ильюшин, 1943) имеют вид

где

Согласно (9), векторы девиаторов напряжений и девиатарое деформаций коллинеарны. Соотношения (10) определяютфункциональную зависимость модулей этих векторов, пропорциональность измененияобъёма среднему давлению.

Сравнит. простота соотношений теории малыхупругопластич. деформаций позволила получить ряд важных результатов прирасчётах на прочность и устойчивость деталей конструкций (труб, стержней, <пластин, оболочек), дать методы определения динамич. напряжений при продольномударе стержней и т. д.

Теории упругопластических процессов. В теории сложного непростого, непропорционального нагруже-ния (Ильюшин)аналогично пространству напряжений вводится пятимерное пространство девпаторадеформаций В процессе деформирования вектор девиатора деформации описывает кривую, <наз. траекторией деформации, внутр. геометрия к-рой описывается четырьмякривизнами k_i, определяющими т. н. репер Френе, и пятьюединичными векторами р _i.

Параметрами, характеризующими процессдеформации, являются: ориентация траектории, её внутр. геометрия (кривизна),скорость деформации, др. механич. и термодинамич. параметры, заданные какф-ции длины дуги. Вектор напряжений определяется модулем и углами ориентации :

Для определения соотношений связи (11)устанавливают зависимость величин , (где .= 1,..., 5) от параметров произвольного процесса деформации.

Согласно постулату изотропии, для изотропногоматериала модуль вектора напряжений и углы его ориентации в репере Френеоднозначно определяются изменением параметров процесса от его начала дотекущего момента, т. е. они являются функционалами, порождаемыми ф-циями k_i и др. параметров. Полное определение функционаловпластичности по данным опыта чрезвычайно затруднительно, и пока предложеныспособы построения лишь части из них.

Другое свойство пластичности изотропногоматериала отражает принцип запаздывания: значения углов ориентации векторанапряжений в репере Френе зависят от изменения кривизны не на всей предшествующейтраектории деформации, а на последней её части, длина к-рой, характернаядля данного материала, наз. следом запаздывания. Это свойство позволиловыделить неск. типов процессов (простой деформации, малой кривизны и т. <п.), для к-рых соотношения между напряжениями и упругопластич. деформациямиустановлены конкретно и не содержат функционалов.

Идеи теории упругопластич. процессов реализуютсяв т. н. эндохронных теориях, использующих зависимости напряжения - деформациив виде функционала.

Лит.: Соколовский В. В., Теорияпластичности, 3 изд., М., 1969; Прагер В., X о д ж Ф., Теория идеальнопластических тел, пер. с англ., М., 1956; Xилл Р., Математическая теорияпластичности, пер. с англ., М., 1956; Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В.,Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения, "ПММ", 1958,т. 22, с. 78; Ильюшин А. А., Пластичность. Основы общей математическойтеории, М., 1963; Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И., Теория упрочняющегося пластическоготела, М., 1971; Ревуженко А. Ф., Чанышев А. И., Шемякин Е. И., Математическиемодели упругопластических тел, в сб.: Актуальные проблемы вычислительнойматематики и математического моделирования, Новосиб., 1985.

Д. Д. Ивлев.