РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОД - метод отыскания частных решений математической физики уравнений путём разложения решения, зависящего от полного набора независимых переменных, в произведение сомножителей, зависящих от непересекающихся поднаборов независимых переменных. Если каждый сомножитель зависит лишь от одного переменного, то разделение переменных наз. полным. Если по крайней мере один из сомножителей зависит от более чем одного независимого переменного, то разделение переменных наз. частичным или Р -разделением.
Решение ур-ния Lu(x1, ..., х п)= 0 представимо в виде произведения двух сомножителей
когда дифференц. оператор L можно представить в виде суммы двух операторов L1 и L2, из к-рых L1 действует только на u, L2 - только на w:
Это позволяет записать исходное ур-ние в виде
где левая часть зависит только от х1, ..., х k, правая - только от х k+1, ..., х п, что возможно лишь при условии, если Аv и Bw порознь равны одной и той же постоянной, называемой константой разделения. Существование систем координат, в к-рых данное ур-ние допускает разделение переменных, связано со свойствами симметрии ур-ния (его групповыми свойствами). Известны системы координат, в к-рых разделяются переменные всех классич. линейных ур-ний матем. физики ( Лапласа уравнения, волнового уравнения, диффузии уравнения, Шрёдингера уравнения для разл. потенциалов и др.) и нек-рых нелинейных уравнений математической физики (напр., обычного и модифицированного Кортевега - де Фриса уравнения, Шрёдингера уравнения нелинейного, синус-Гордона уравнения). Все специальные функции матем. физики получены при помощи Р. п. м. из ур-ний Лапласа, Гельм-гольца и диффузии. Частным случаем Р. п. м. являются понижение порядка динамической системы при выборе в качестве независимой переменной одного из первых интегралов, П-теорема размерностей анализа, нахождение частично инвариантных решений (напр., автомодельных) в теории групповых свойств дифференц. ур-ний.
Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Миллер У., Симметрия и разделение переменных, пер. с англ., М., 1981. Ю. А. Данилов.
