Приглашаем посетить сайт
МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕНИЕ
МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕНИЕ - приближённый метод решения дифференц. ур-ний, содержащих случайные параметры; основан на малости отношения времени корреляции воздействий 
ко времени корреляции отклика 
Формально соответствует пределу 
Непосредственно применим лишь к причинным задачам, в к-рых значения динамич. переменных в нек-рый момент времени функционально не зависят от последующих по времени значений случайных параметров. В физ. задачах M. п. п. является гл. членом разложения по малому параметру 
и, в отличие от методов теории возмущений, допускает описание сильных флуктуации, возникающих в физ. системе под влиянием случайных воздействий.
Пусть поведение динамической системы описывается обыкновенными дифференц. ур-ниями:
Здесь 
- детерминиров. ф-ции своих аргументов, а 
- случайная ф-ция (n+1)
переменной, обладающая след, свойствами ((...) означает статистич. усреднение,
В ур-нии (1) случайна как сама ф-ция 
при детерминиров.
аргументах, так и ф-ции 
входящие в аргумент 
. Условия (2) - (4) накладываются на случайные f-ции 
при детерминиров. аргументах.
Если реальную корреляц. ф-цию (3) заменить ф-цией вида 
и считать, что входящие в (1) гауссовы случайные ф-ции характеризуются корреляц. ф-цией 
то это соответствует замене истинного времени корреляции 
нулём и эквивалентно переходу к M. п. п. При этом в (1) возникают два стремящихся к нулю временных масштаба: один - при вычислении производной 
другой - при стремлении к нулю 
Ниже предельный переход 
совершают после выполнения перехода 
т. е. предполагают, что 
Ф-ции 
находят из условия
При сделанных предположениях плотность вероятностей
решения системы (1) удовлетворяет Эйнштейна - Фоккера- Планка уравнению
где 
по повторяющимся индексам производится суммирование. Совместная плотность вероятностей для величин 
при 
в этом случае
распадается на произведение
а ф-ция 
(переходная вероятность) удовлетворяет по переменным х, t ур-нию (5) с нач. условием 
T. о., случайный процесс 
является марковским.
В реальных физ. задачах время корреляции флуктуации всегда конечно и вопрос о пригодности M. п. п. сводится к учёту конечности малого параметра 
Одно из условий применимости M. п. п. всегда имеет вид 
но обычно возникают и др. условия.
M. п. п. применимо и к причинным задачам, описываемым ур-ниями с частными производными, однако здесь уже нет такой универсальной формулировки, как для обыкновенных дифференц. ур-ний.
Задачи, описываемые дифференц. ур-ниями с двухточечными граничными условиями (напр., в задаче о распространении волны одно из граничных условий ставится в точке возбуждения волны, а второе описывает её отражение от нагрузки в конце), непосредственно нельзя описывать M. п. п. Однако в ряде случаев такие задачи можно свести к вспомогат. задачам Коши (методом инвариантного погружения или др. способами), после чего к ним применимо M. п. п.
Лит.: Кляцкин В. И., Татарский В. И., Приближение диффузионного случайного процесса в некоторых нестационарных статистических задачах физики, "УФН", 1973, т. НО, с. 499; Введение в статистическую радиофизику, ч. I - Pытов С. M., Случайные процессы, ч. 2 - Pытов С. M., Кравцов Ю. А., Татарский В. И., Случайные поля, M., 1976-78; Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах, M., 1980.
В. И. Татарский.