Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ

ПАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ

ПАДЕ АППРОКСИМАЦИЯ - методсуммирования расходящихся рядов с помощью рациональных ф-ций. Понятие П. <а. сформировалось в кои. 19 в. в рамках классич. теории непрерывных дробейв работах Г. Фробениуса (G. Frobenius) и А. Паде (H. Pade).

Для аналитической функции f(z),определённой разложением в ряд Тейлора

П. а. f^[N,M](z )(или просто [N,M]) наз. рациональная ф-ция

где P_N(Z) и Q_M(Z)- полиномы степеней N и М соответственно. Если N= М, то f^[N,M] наз. диагональной П. а. <Фундам. результаты о диагональных П. а. были получены П. Л. Чебышевым, <А. А. Марковым и Т. Стплтьесом (Th. Stieltjcs) в терминах непрерывных дробей. <Вычисление П. а. f^[N,M] сводится к решению системылинейных ур-ний, коэф. которых выражаются через коэф.f _п.

П. а. (1) обладает след. свойствами. 1)При фиксированных N и М f^[N,M] единственна.2) Класс ф-ций, к-рый можно аппроксимировать методом П. а., включает всебя ф-ции, имеющие особенности в виде полюсов; это отличает П. а. от аппроксимациис помощью полиномов, несправедливой в окрестности полюса. 3) ПосколькуП. а. осуществляет гладкое аналитическое продолжение неизвестныхчленов ряда Тейлора, начиная с N + М + 1, она имеет смысл, есличлены ряда медленно меняются с ростом п. Это всегда справедливо, <если ряд имеет ненулевой радиус сходимости. 4) Для любой мероморфной ф-ции f(z) и для любых R> О,N, такой, что при п N диагональныеП. а. [ п, п]удовлетворяют условию

при |z|R за исключением области D_n меры менее . Это свойство обычно называют сходимостью по мере. Тот же результат справедливи для [n + k, п]П. а. 5) Недостатком П. а. являетсято, что в нек-рых случаях ф-ция f^[N,M] при фиксированных . и М может иметь особенности, отличные от особенностей ф-ции f(z). В этом смысле наилучшее описание обычно дают диагональные П. а.

Метод П. а. применяют в разл. физ. задачахдля улучшения свойств решений, полученных приближёнными методами. Методпозволяет ускорить сходимость ряда теории возмущений по малому параметру, <аналитически продолжить полученное решение за пределы круга сходимостиисходного ряда, осуществить численное решение ур-ний, в этом случае П. <а. имеет преимущество по сравнению с методом Ньютона.

Метод П. а. можно также применить длясуммирования асимптотич. разложений, имеющих нулевой радиус сходимости. <В атом случае П. а. следует использовать в комбинации с др. методами, улучшающимисходимость исходного ряда, напр. с методом преобразования Бореля. Разработаномного алгоритмов для машинного вычисления П. а., что существенно для разл. <приложений. Метод П. а. применяют к задачам статистич. механики, физикитвёрдого тела, физики элементарных частиц, теории критич. явлений, квантовоймеханики - ко всем задачам, где имеется разложение помалому параметру.

Лит.: Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-МоррисП., Аппроксимации Паде, пер. с англ., М., 1986.

Д. И. Казаков.