Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ - интеграл, в к-ром интегрирование производится по контуру (кривой) в n -мерном комплексном или вещественном пространстве. Различают два типа К. и.- интегралы от скалярных ф-ций и интегралы от векторных ф-ций. К первому из них относятся интегралы вида , где - гладкий (или кусочно гладкий) контур в n -мерном вещественном пространстве, Р=(х ₁,. . ., х _n) - точка в этом пространстве, f(P) - ф-ция, заданная на , ds - элемент длины . Если контур задан параметрически ур-ниями x₁=x₁(t), . . ., x_n=x_n(t), где параметр t меняется в пределах от а до b( а<b), то

К К. и. этого типа сводятся нахождение длины кривой, вычисление массы материальной кривой по её плотности, нахождение её центра инерции и т. д.

К К. и. второго типа относятся интегралы вида

где f₁ ( Р),..., f_n ( Р) - п ф-ций, заданных на контуре . Если, как и выше, контур g задан параметрически, то

Значения интегралов в правой части не зависят от выбора параметризации контура , сохраняющей направление его обхода. При изменении направления обхода К. и. второго типа (в отличие от К. и. первого типа) меняет знак. К таким К. и. сводится задача о вычислении работы силового поля при перемещении точки вдоль кривой. Если контур замкнут, то К. и. второго типа сводится к интегралу по двумерной поверхности, натянутой на этот контур (см. Грина формулы, Гаусса - Остроградского формула, Стокса формула).

Важную роль К. и. второго типа играют в теории аналитических функций. Пусть z = х+iy, f(z) = = и(х, y)+i(x, у) - комплекснозначная ф-ция, заданная на контуре , тогда по определению

В терминах интегралов вида формулируется

Коши теорема, определяется Коши интеграл, на их свойствах основана теория вычетов и т. д.

Б. И. Завьялов.