Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КОШИ ЗАДАЧА

КОШИ ЗАДАЧА

КОШИ ЗАДАЧА - задача о нахождении решения дифференц. ур-ния (обыкновенного или в частных производных), удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823-24 О. Коши (A. Cauchy).

Примером К. з. может служить осн. задача механики, когда по известным нач. положениям и скоростям частиц требуется при известном законе взаимодействия между ними определить движение частиц во времени.

Поскольку ур-ния матем. физики, для к-рых ставится К. з., описывают реальные процессы, то естественно потребовать: существования решения в определ. классе ф-ций; его единственности; непрерывной зависимости решения от нач. данных. Даже в случае простейшей К. з. dy/dx=f(x, у), у(х ₀) - у ₀, где f(х, у) - заданная ф-ция, выполнение этих требований накладывает ограничения на вид ф-ции f(x, у).

Аналогично ставится К. з. для систем обыкновенных дифференц. ур-ний; при этом у (х )и f ( х, у) - вектор-функции в к.-л. векторном пространстве. Поскольку обыкновенное дифференц. ур-ние порядка п сводится к системе ур-ний первого порядка, К. з. для него фиксирует нач. значения для производных искомой ф-ции вплоть до п-1 порядка.

Для дифференц. ур-ний в частных производных в (n+1)-мерном пространстве-времени К. з. фиксирует нач. значения ф-ции (и её k-1 производных, если k - порядок ур-ния по времени) на "-мерной поверхности.

Напр., для волнового уравнения. решение К. з. с нач. данными: и(х,0) =(x), = (х), где (х), (х) - достаточно гладкие ф-ции, даётся при n=1, 2, 3 Д'Аламбера формулой, Пуассона формулой и Кирхгофа формулой. При этом решение непрерывно зависит от ф-ции и . Для ур-ния в частных производных требуется, чтобы К. з. была корректно поставлена. Напр., для волнового уравнения К. з. корректно поставлена в случае, если нач. данные заданы либо на гиперплоскости t=0, либо на любой пространственноподобной поверхности, для к-рой ]

Лит.: Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1061; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1982. С. В. Молодцов.