Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА - задача выделения ф-ции, удовлетворяющей заданному условию на границе нек-рой области, из класса ф-ций, определённых в этой области. Обычно класс ф-ций является набором решений (общим решением) данного дифференц. ур-ния. Если речь идёт о системе ур-ний для неск. искомых ф-ций, К. з. формулируется для всей их совокупности.

В физ. примерах дифференц. ур-ние служит матем. выражением закона, к-рому подчиняется поведение физ. системы. Общее решение описывает все варианты поведения, а для однозначного выделения частного решения необходимо наложить дополнит. условия - поставить К. з. Конкретные формулировки К. з. диктуются физ. соображениями.

Эволюция одномерной системы описывается обыкновенным дифференц. ур-нием, независимой переменной служит время t, а областью определения решений является временной интервал (иногда полубесконечный). Однозначное решение ур-ния порядка п фиксируется п условиями; напр., можно задать значение ф-ции и её п-1 младших производных в нач. момент t₀ (нач. условия). Аналогично ставится К. з. для системы обыкновенных дифференц. ур-ний в многомерном случае.

Полевую (бесконечномерную) систему описывают дифференц. ур-ния в частных производных (в большинстве случаев - не старше 2-го порядка, поскольку только для таких развиты эфф. методы решений). Независимыми переменными могут быть время и k пространственных координат (k=l, 2, 3 в линейном, плоском, объёмном случае); область определения решений k+ 1-мерна: это - цилиндр с образующей вдоль оси времени и k- мерным пространственным основанием G. В стационарном случае, когда нет зависимости от времени, решение ищется в пространственной области G.

В общем случае для получения однозначного решения необходимо задать нач. состояние системы при t-t₀ (начальное условие) и режим на границе S области G (граничное условие). Общему случаю отвечает смешанная К. з. Если область G совпадает со всем k -мерным пространством, граничное условие отсутствует и К. з. сводится к Ноши задаче.

В стационарном случае дифференц. ур-ния обычного эллиптич. типа (см. Математической физики уравнения )К. з. сводится к граничному условию общего вида:

где и(x) - искомая ф-ция, - её производная по нормали к границе S, коэф. и правая часть f заданы на границе S. При a=1, (b=0 К. з. сводится к Дирихле задаче, при =0, =1 - к Неймана задаче.

В релятивистской теории нач. условия на поверхности t=t₀ физически ничем не выделены и задача Коши иногда ставится на произвольной пространственноподобной поверхности t=T(x).

Для решения К. з. развиты методы Грина функций, разложения по собственным ф-циям, последовательных приближений, вариационный и др.

Лит. см. при ст. Математической физики уравнения.

В. П. Павлов.