Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ЛАГРАНЖИАН

ЛАГРАНЖИАН

ЛАГРАНЖИАН () - плотность Лагранжа функции L(t), ;. играет фундам. роль в лагранжевом формализме для полевой системы. Задание Л. полностью определяет ур-ния движения и сохраняющиеся динамич. величины. Л. является функционалом полей, и вид этого функционала в значит. мере фиксируется физ. требованиями локальности, релятивистской инвариантности, инвариантности относительно групп внутренних симметрии. Благодаря локальности функционал сводится к ф-ции полей и (обычно) их первых производных, взятых в одной и той же пространственно-временной точке х= (t, x). Строго говоря, требования инвариантности налагаются не на сам Л., а на действие . В зависимости же S от имеется произвол: добавление к полной производной любой ф-ции f(x), обращающейся в 0 на границе области интегрирования , не меняет S,a также ур-ний движения и выражений для сохраняющихся динамич. величин. В релятивистской теории S и (с точностью до этого произвола) являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В теории тяготения Л. есть скалярная плотность. В случае внутр. симметрии требования инвариантности не так универсальны: выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определ. круг физ. явлений. Напр., группой внутр. симметрии, скаляром относительно к-рой должны быть действие и Л., для электродинамики является U(1), для теории электрослабого взаимодействия - SU(2)U(l), для квантовой хромодинамики - SU(3). На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую ф-цию Казимира операторов соответствующей группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты: чтобы ур-ния движения были дифференциальными не выше 2-го порядка, суммарная степень производных в отд. слагаемых в Л. не должна превышать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора всё же не хватает для однозначного выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям и их производным. Билинейная по ним часть в Л. (кинетические плюс массовые члены) наз. свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия.

В квантовой теории поля Л. становится оператором, и его выражение через операторы полей требует доопределения (см. Нормальное произведение). Л. взаимодействия участвует в построении матрицы рассеяния; перенормировка добавляет к нему контрчлены. Взаимодействие с внеш. классич. током j_a (x )описывается добавлением к Л. члена

Принципиальное для квантовой теории поля требование перенормируемости налагает новые жёсткие ограничения па вид Л.; в большинстве реальных моделей остающаяся свобода сводится к выбору небольшого числа констант (масс и констант взаимодействия).

Лит. см. при ст. Лагракжев формализм. В. П. Павлов.