Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - интегральное преобразование

где интегрирование ведётся по контуру L в комплексной плоскости переменной z=x+iy, ставящее в соответствие ф-ции f(z), определённой и интегрируемой на L, аналитич. ф-цию F(k )комплексной переменной . Л. п. в более узком смысле определяют на полуоси

В физ. приложениях чаще встречается именно такое одностороннее Л. п.: переменная х имеет обычно смысл времени, а функция описывает реакцию системы на внеш. воздействие, начинающееся с момента х=0. (в двустороннем Л. п. интегрирование проводится по всей оси). Согласно физ. причинности принципу, реакция не может опережать воздействие, и f(x)=0 для Поскольку Л. п. даёт в этом случае ф-цию F (k), аналитическую при можно использовать аппарат теории аналитич. ф-ций для матем. анализа разл. явлений в оптике, электродинамике сплошных сред, теории электрич. цепей, гидродинамике, сейсмологии и др. (см. Дисперсионные соотношения). Л. п. введено П. Лапласом (1812), впоследствии использовано для обоснования операционного исчисления, введённого О. Хевисайдом (О. Heaviside).

Л. п. тесно связано с Фурье преобразованием: ф-лу можно рассматривать как преобразование ф-ции Фурье обращающейся в 0 при При нек-рых дополнит. условиях справедлива след. ф-ла для обратного Л. п.:

В релятивистской физике причинность формулируется в терминах релятивистской инвариантности. В простейшем случае локального воздействия, начинающегося в момент x₀=0 в точке x= ( х ₁, х ₂, x₃)=0, реакция на него может быть отличной от нуля лишь в конусе Обобщающее (*) многомерное Л. п.

даёт ф-цию комплексного 4-вектора =Q, 1, 2, 3, аналитическую в трубчатой области , , . Отсюда следуют аналитич. свойства амплитуд рассеяния (см. Дисперсионных соотношений метод )в квантовой теории поля.

Лит.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 5 изд., М., 1987; Диткин В. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд., М., 1974; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979. В. П. Павлов.