Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СИММЕТРИЯ SU

СИММЕТРИЯ SU

(2). В физике обычно реализуется как инвариантность относительно группы матричных преобразований над полями , где U_ji - матричное представление группы SU(2). Группа SU(2) - совокупность унитарных унимодулярных матриц2-го порядка (образующая группу по отношению к обычному матричному умножению). Унитарность обеспечивает неизменность нормы двумерного комплексного вектора (столбца), к-рый преобразуется такой матрицей. Условие унимодулярности, т. е. равенство определителя единице, исключает матрицы, отличающиеся от единичной лишь домножением на числовой фазовый множитель.

Любая унитарная унимодулярная матрица U представима в виде , где Н- эрмитова бесследовая матрица ,к-рую можно выразить линейной комбинацией n² - 1 линейно независимыхбазисных матриц такого типа (для матриц n-го порядка). Каждая унитарнаяунимодулярная матрица 2-го порядка задаётся тремя веществ. параметрами, <к-рые могут принимать непрерывные значения. Это значит, что SU(2 )-трёхпараметрич. группа Ли. SU(2) - простая группа, т. е. она несодержит инвариантных подгрупп Ли.

Отметим роль условия унимодулярности. Отказавшись от него, мы получимгруппу U(2), к-рая является прямым произведением двух групп - группы SU(2)и абелевой группы Ли U(1), соответствующей числовым фазовым множителям. <Каждая из них является инвариантной подгруппой группы U(2). Подчеркнём, <что группа SU(2) неабелева, т. е. два преобразования, являющихсяеё элементами, могут не коммутировать друг с другом.

Если матрицы, реализующие группу SU(2), параметризовать в виде

где - Паули матрицы, п - вещественный единичный 3-компонентный вектор( п ²= 1), то бесконечно малые преобразования порождаются генераторамигруппы . Их перестановочные соотношения совпадаютс соотношениями для генераторов 3-мерной вращений группы O(3). Поэтомумалые преобразования группы SU(2 )эквивалентны преобразованиям группы O(3), причём вектор п указывает направление оси вращения, а _ угол поворота. Но соответствие групп не однозначное, поскольку в группе0(3) поворот на угол считается неотличимым от тождественного преобразования, тогда как соответствующаяматрица 2x2 отличается от единичной знаком. В связи с этим говорят о двузначныхпредставлениях 3-мерной группы вращений. Ли алгебра генераторовгруппы SU(2)[или O(3)] - единственная алгебра Ли 1-го ранга, <т. е. такая, что диагоналпзовав один генератор (обычно I₃),невозможно, вообще говоря, диагонализовать ещё к.-л. другой генератор. <Соответственно, в этой алгебре существует лишь один Казимира оператор (т. <е. оператор, построенный из генераторов и коммутирующий со всеми генераторами).Он имеет вид:

Задание его численного значения достаточно для указания неприводимогопредставления. Возможные значения , где i - неотрицательное целое или полуцелое число.

Приложения С. SU(2 )в физике связаны прежде всего с представлениямигруппы вращений 3-мерного пространства, отвечающими полуцелому спину. Вчастности, для спина ¹/₂ получаем 2-компонентные спиноры, к-рые при вращениях преобразуются как раз унитарными унимодулярнымиматрицами 2-го порядка.

В физике элементарных частиц С. SU(2 )широко используется такжев связи с идеей изотопической инвариантности, предложенной В. Гейзенбергом(W. Heisenberg) для описания сходства взаимодействий протона и нейтрона. <Считается, что изотопич. симметрия описывает точное свойство инвариантности сильныхвзаимодействий, хотя получаемые из неё соотношения в действительностивсегда нарушаются на уровне точности порядка одного или неск. процентов.

Предположив, что изотопич. симметрия становится точной при «отключении»электродинамики, Ч. Янг (Ch. Yang) и Р. Миллс (R. Mills) предложили калибровочнуютеорию сильных взаимодействий, напоминающую квантовую электродинамику, <но использующую неабелеву локальную группу С. SU(2 )вместо абелевойлокальной группы симметрии U(1). Хотя эта теория не подтверждаетсяэкспериментом (массы кварков и, d должны, видимо, различаться дажепри «выключенной» электродинамике, что даёт малое, но неустранимое нарушениеизотопич. симметрии), она стимулировала чрезвычайно плодотворное исследованиенеабелевых калибровочных квантовых теорий поля, к-рые приобрели названиетеорий типа Янга - Миллса. С этими теориями связано ещё одно приложениегруппы С. SU(2 )к элементарным частицам. Стандартным стало совместноеописание эл.-магн. и слабых взаимодействий (см. Электрослабое взаимодействие), основанноена калибровочной квантовой теории поля с локальной группой симметрии . В этой теории симметрия спонтанно нарушается, т. е. вакуум не являетсяинвариантным относительно точной группы симметрии лагранжиана (см. Спонтанноенарушение симметрии). К.-л. экспериментальных указаний на необходимостьвыхода за рамки такого описания электрослабых взаимодействий пока не обнаружено.

Лит.: Ферми Э., Лекции о я-мезонах и нуклонах, пер. сангл., М., 1956; Элементарные частицы и компенсирующие поля. Сб. ст., пер. <с англ., М., 1964; Окунь Л. Б., Лептоны и кварки, 2 изд., М., 1990; егоже, Физика элементарных частиц, 2 изд., М., 1988. Я. И. Азимов.