Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ - линейного оператора А, отвечающеесобственному вектору ( собственной функции) f из линейного пространства( векторногопространства) L, - комплексное либо вещественное число ,такое, что

Совокупность всех собств. ф-ций, отвечающих одному и тому же С. з.,образует линейное подпространство пространства L. Размерность наз. кратностью С. з. Если пространство L конечномерно, то С. з. <совпадают с корнями характеристич. многочлена, det, где А - матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе,I- единичная матрица. Если оператор А самосопряжён ( эрмитовоператор), то все его С. з. вещественны. В квантовой механике вещественныеС. з. самосопряжённого оператора отвечают значениям наблюдаемых (измеримых)величин. В частности, у каждой конечномерной эрмитовой -матрицы А найдутся (с учётом кратностей) ровно п С. з.

В бесконечномерном случае можно сформулировать аналог этого утверждениядля самосопряжённых компактных операторов. Оператор А, действующий, <напр., в пространстве l² бесконечномерных векторов f= (a₁,a₂,...) с конечной нормой

и соответствующим скалярным произведением, наз. компактным, еслион переводит любую ограниченную последовательность векторов (т. е. такую, <что для всех п выполнено неравенство )в последовательность , из к-рой всегда можно выбрать сходящуюея подпоследовательность. Отсюда, в частности, следует, что если выбрать последовательность ортонормированной: ( х _п,х _т)= 1 при п =т и 0 при [примером такой последовательности служит х _п= (0,...,0,1,0,...)],то последовательность будет сходиться к нулю. Для таких операторов, действующих в пространстве l² или в функциональных пространствах, справедлива теорема Рисса - Ш а у де р а, утверждающая, что система собств. ф-ций (собств. векторов) такогооператора образует базис (полную систему из ортонормированных ф-ций) всоответствующем пространстве, а его С. з.сходятсяк нулю при ,причём каждое С. з. является корнем конечной кратности. К классу компактныхоператоров относятся все ограниченные интегральные операторы с интегрируемымядром, к-рые часто встречаются в физике, напр. в задачах с потенциалом.

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описатьвсе физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. <е. операторы, сохраняющие норму; все С. я. таких операторов представляютсяв виде ,), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. <Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра оператора А. Число принадлежит спектру оператора, если резольвента оператора А,, будетсингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать [они будут изолированными (дискретными) точками ].Однако помимо этих точек обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек ,для к-рых оператор определён, но не ограничен. В обычном смысле таким не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложенияпо базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением.

Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.