Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ - оператора, действующего в функциональном пространстве,- ненулевые ф-ции , переводящиеся оператором А в пропорциональные им:

Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовомпространстве ф-цийиа множестве ,интегрируемых с квадратом по мере ,в к-ром задано скалярное произведение ф-ций

(звёздочка означает комплексное сопряжение) и вводится понятие сопряжённогооператора, особенно важную роль играют самосопряжённые линейные операторы (эрмитовыоператоры, в дальнейшем линейность операторов подразумевается). Это такиеоператоры, для к-рых для всех х и у из (и эти скалярные произведения имеют смысл); множества всех допустимых ф-ций . и у должны совпадать; все собств. значения таких оператороввещественны. В квантовой механике с каждой наблюдаемой ассоциируетсясамосопряжённый оператор, С. ф. к-рого задают состояние системы с определённымзначением оператора наблюдаемой. Напр., для гармонич. осциллятора операторэнергии (гамильтониан)

С. ф. к-рого являются функции Эрмита, ортогональные на . При этом k -й С. ф.соответствует собств. значение

С. ф. f₁ и f₂ самосопряжённого оператора А, отвечающие разл. собств. значениям п , ортогональны,Множество всех С. ф., отвечающих одному собств. значению ,образует линейное подпространство, совпадающее с ядром оператора (I - единичный оператор), т. е. с множеством ф-ций, переводимых этим операторомв 0 (ядром оператора В наз. множество ф-ций f, для к-рых Bf=0).

В приложениях (вариац. исчисление, классич. граничные задачи матем. <физики) важную роль играют самосопряжённые интегральные операторы К:

ф-ция К(х, <у) - К*(у, <х )наз. ядром интегрального оператора (непутать с понятием ядра оператора, определённым выше). Если оператор . ограничен, <а его ядро- интегрируемая ф-ция, то К компактен и его С. ф. образуют базис в пространстве . Ядро К(х, <у )такого оператора можно разложить в (конечную либобесконечную) сумму:

где - набор (всегда конечный при данном п) ортонормированных С. ф., отвечающиходному и тому же собств. значению ,при этом при Примером такого интегрального оператора может служить решение Дирихлезадачи. Одним из критериев ограниченности является условие , т. е. ф-ция К(х, <у )интегрируема с квадратом по своим аргументам.

Класс самосопряжённых операторов, действующих на всём гильбертовом пространствеф-ций , слишком узок, чтобы охватить все физически интересные величины. Не вседаже ограниченные операторы имеют разложение (*). Напр., унитарный оператор сдвига не имеет С. ф. в пространстве то же справедливо и для неограниченных операторов, к к-рым относятся практическивсе дифференциалъные операторы. Для таких операторов понятие С. <ф. обобщается в т. н. спектральном разложении. Рассмотрим спектр оператора . Если число ,то резольвента оператора А,,сингулярна на .Все собств. значения А окажутся особыми точками [поскольку в них найдётся такая, что и обратного оператора на всём не существует]. Но помимо таких особенностей у будут и др. особые точки .в к-рых оператор определён, но неограничен. Спектральная теорема утверждает, что всякийсамосопряжённый оператор А допускает спектральное разложение вида

Здесь - ортогональное семейство проекционных операторов, проектирующихна подпространство ф-ций f из таких, что .Для самосопряжённого оператора А , ядро к-рого допускает разложение(*) по С. ф.,будут интегральными операторами с ядром (спектральным)

Рассмотрим спектральное разложение оператора импульса , действующего на прямой (см. Операторы]. Его С. ф.непринадлежит пространству (хотя могут быть аппроксимированы ф-циями из L² на любомконечном отрезке). Всякий оператор ( Р + rI)^-1 будет неограничен для любого вещественного г; т. о., спектр

Для того чтобы построить спектральное разложение самосопряжённого оператора А, можно найти унитарное преобразование U пространства ф-ций и набор мер (N = 1, 2,..., )(наличие целого набора спектральных мер вместо одной обобщает понятие кратностисобств. значения ),таких, что

т. е. оператор U переводит всё пространство ф-ций в набор подпространств, внутри каждого из к-рых оператор А действуеткак оператор умножения:

Для оператора импульса Р таким унитарным преобразованием будет Фурьепреобразование:

Тогда

а фурье-образом проекционного оператора будет оператор умножения на ф-цию ,

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистскаятеория, 4 изд., М., 1989; Рисс Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональномуанализу, пер. с франц., М., 1954; И о с и д а К., Функциональный анализ, <пер. с англ., М., 1967; Рид М., Саймон Б., Методы современной математическойфизики, пер. с англ., т. 1 - Функциональный анализ, М., 1977; Математическаяэнциклопедия, т. 5, М., 1985. Л. О. Чехов.