Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ - уравнения, описывающие поведениереализации случайных процессов, волн и полей под действием случайныхсил и флуктуирующих параметров, при случайных начальных или граничных условиях. <Анализ С. у. состоит в определении статистич. характеристик их решений, <напр. матем. ожидания, корреляц. ф-ции, плотности вероятности.

Первоначально С. у. были предложены П. Ланжевеном (P. Langevin) дляописания броуновского движения (см. Ланжевена уравнение). С. у. <используют при изучении флуктуации в радиотехн. устройствах и квантовыхгенераторах, при анализе вибраций, в теории связи и адаптивного управления, <при исследовании распространения волн в случайно-неоднородных средах ит. д. Случайные процессы обычно описывают системой обыкновенных дифференц. <С. у.

где - детерминиров. ф-ции,- матрица случайных сил с известными статистич. характеристиками.

Методы анализа С. у. разбивают на 2 группы. Методы 1-й группы состоятв точном или приближённом решении дифференц. ур-ний и последующем вычислениистатистич. характеристик найденных решений. В методах 2-й группы от С. <у. переходят к ур-ниям для статистич. характеристик решений, а затем решаютполученные детерминиров. ур-ния.

В методах 2-й группы возникает проблема замыкания ур-ний и расщеплениякорреляций. Напр., перейдём от С. у.

к ур-нию для среднего (угл. скобки означают статистич. усреднение):

Это ур-ние может оказаться не замкнутым относительно по двум причинам: 1) если а(х) - нелинейная ф-ция, среднее не выражается через ;2) среднее определяется совм. статистич. свойствами x(t )и . При расщеплении средних типа применяют теорию возмущений по малому параметру ,где - время корреляции - характерный масштаб x(t). Если x(t) - решение С. у. (1), а - гауссов белый шум с корреляц. ф-цией, пропорциональной -функции,

т. е.= 0, то справедлива точная ф-ла расщепления

В этом случае ур-ние (2) принимает вид:

В случае линейных С. у. подобное расщепление приводит к замкнутым ур-ниямдля моментов. Напр., если в С. у. (1) а = ах, b = bх. тоур-ние (3) замыкается:

Если С. у. нелинейно, то моменты его решения удовлетворяют бесконечнойцепочке зацепляющихся ур-ний, при обрывании к-рой используют дополнит. <приближения.

Для исследования статистич. свойств нелинейных С. у. типа (1) удобенаппарат марковских случайных процессов. Так, если - гауссов белый шум, то решение С. у. представляет собой непрерывный марковский(диффузионный) процесс, плотность вероятности переходов к-рого удовлетворяет Фоккера - Планка уравнению. Плотность вероятности переходов дляскачкообразных марковских процессов удовлетворяет интегродифференциальному Колмогорова- Феллера уравнению. Можно аппроксимировать случайныевоздействия марковскими процессами, напр. считать, что

в С. у. (1)- случайный процесс, удовлетворяющий С. у.:

где - гауссов белый шум. При этом совокупность образует двумерный марковский процесс, совместная плотность вероятностипереходов к-рого удовлетворяет двумерному ур-нию Фоккера - Планка.

Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, напр. <в турбулентной атмосфере, ионосфере, межзвёздной плазме и т. д., описываетсяС. у. с частными производными. Примером служит Гельмгольца уравнение для стохастич. Грина функции:

где - случайное поле неоднородностей среды, k - волновое число. Мн. <методы исследования с помощью (4) статистики случайных волн опираютсяна анализ рядов теории возмущений по е:

где G₀ - невозмущённая ф-ция Грина. Если рассеяние волнына случайных неоднородностях среды невелико, то пользуются борновским приближением(приближением однократного рассеяния), удерживая в правой части (5) лишьдва первых слагаемых. Если рассеяние существенно многократное, то при расчётестатистич. характеристик волны и выводе приближённых замкнутых ур-ний дляср. поля , ф-ции когерентности и т. д. производят селективное суммирование рядатеории возмущений, используя Фейнмана диаграммы.

При анализе распространения и рассеяния волн в случайно-неоднородныхсредах применяют и методы, основанные на переходе от исходных С. у. к болеепростым. Сюда относятся, в частности, геометрической оптики метод, параболическогоуравнения приближение, плавных возмущений метод, приближение случайногофазового экрана, переход к ур-нию переноса излучения.

Лит.: Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С М.,Случайные процессы, М., 1976; ч. 2 - Рытов С. М., К р а в ц о в Ю. А.,Т а т а р с к и и В. И., Случайные поля, М., 1978; Справочник по теориивероятностей и математической статистике, 2 изд., М., 1985; К л я ц к ин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, <М., 1980. А. Н. Малахов, А. И. Саичев.