Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА

ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА

ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА (ферми-статистика) - квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с полуцелым (в единицах h )спином. Такие частицы наз. ферми-частицами или фермионами. К ним относятся, напр., электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов. Ф.- Д. с. предложена Э. Ферми (Е. Fermi) в 1926. В том же году П. Дирак (P. Dirac) выяснил её квантовомеханич. смысл: волновая ф-ция, описывающая систему из ферми-частиц, антисимметрична относительно перестановок координат и импульсов любой пары частиц. В. Паули (W. Pauli) в 1940 доказал ( Паули теорема), что тип статистики однозначно связан со спином частиц. В отличие от частиц с полуцелым спином, частицы с целым спином подчиняются Бозе - Эйнштейна статистике. Согласно Ф.- Д. с., в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Для идеального газа фермионов ( ферми-газа )в случае статистич. равновесия ср. число п. частиц в состоянии i определяется распределением Ферми-Дирака (распределением Ферми):

где -энергия частицы в состоянии i (для нерелятивистской частицы с импульсом р и массой т равная р ²/2 т);m -химический потенциал, определяемый из условия равенства суммы всех полному числу частиц в системе. При exp(-m/kT)>>1 Ф.- Д. с. переходит в Больцмана статистику.

Распределение Ферми - Дирака получается при рассмотрении статистически равновесного состояния идеального ферми-газа как наиб. вероятного состояния, при учёте неразличимости частиц и принципа Паули. Пусть уровни энергии одночастичных состояний сгруппированы по малым ячейкам, содержащим G_i уровней, причём в каждой ячейке можно разместить N_i частиц. Вследствие принципа Паули на каждом уровне может находиться не более одной частицы (N_i<=G_i). Частицы считаются тождественными, поэтому их перестановки не меняют состояния. Статистич. вес такого состояния W равен числу разл. распределений частиц по ячейкам:

Энтропия идеального газа, подчиняющегося Ф.- Д. с., равна.

где -ср. число частиц на уровне i.

Наиб. вероятное состояние идеального ферми-газа можно найти из условия максимума статистич. веса (или энтропии) при заданном полном числе частиц и энергии при этом оказывается, что определяется распределением Ферми - Дирака (1). Ф-ла (1) следует также из Гиббса распределения для идеального ферми-газа с уровнями энергии где n_i согласно Ф.- Д. с., может принимать лишь два значения: 0 и 1.

Важное следствие Ф.- Д. с.- явление квантового вырождения ферми-газа (см. Вырожденный газ )при темп-ре ( -ферми-энергия), однако в отличие от бозе-газа это явление не связано с фазовым переходом. Особенно существенна Ф.- Д. с. для понимания свойств металлов и вырожденных полупроводников, в теории сверхпроводимости и сверхтекучести ³ Не.

Ф.- Д. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни системы и удаётся вычислить статистическую сумму Z, напр. для большого канонического распределения Гиббса

где суммирование ведётся по всем квантовым уровням n, допустимым Ф.- Д. с., и по полному числу частиц N. Эта задача не сводится к простой комбинаторике и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало.

Задачу вычисления Z можно упростить, если представить Z в инвариантной форме, не зависящей от представления статистического оператора:

где Sp обозначает сумму диагональных матричных элементов статистич. оператора; Н- гамильтониан в представлении вторичного квантования, выраженный через <х) одночастичного гамильтониана (без учёта взаимодействия между частицами). Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям Ф.- Д. с.:

где d_ij -Кронекера символ. Гамильтониан Н может быть записан в более компактной форме через операторы вторичного квантования

удовлетворяющие перестановочным соотношениям:

где д(х -х')-дельта-функция Дирака, * - обозначает комплексное сопряжение. Тогда требования Ф.-Д. с. оказываются выполнены и в статистич. сумме будут учитываться лишь антисимметричные состояния.

Представление вторичного квантования для Н даёт наиб. компактную и удобную форму для приложений Ф.-Д. с., в частности в теории конденсированных сред. Аналогичное представление имеет место и для статистики Бозе-Эйнштейна, причём антикоммутаторы следует заменить на коммутаторы.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., М., 1976, p 54; Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, 2 изд., М., 1977, гл. 3.

Д. И. Зубарев.