Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ШВИНГЕРА УРАВНЕНИЯ

ШВИНГЕРА УРАВНЕНИЯ

ШВИНГЕРА УРАВНЕНИЯ - функциональные -система ур-ний для Грина функций в квантовой теории поля. Предложена Ю. Швингером (J. Schwinger) в 1951. Для получения Ш. <у. вводят классич. источники внеш. полей. Напр., в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов А ^m(x )с источником внеш. эл.-магн. поля J_m(x) в мин. форме - J_m А^m. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классич. источнику J_m (x) получать ф-ции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом S[J]. источника. Удобно также ввести ср. наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

где <0|...|0>-ср. значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ T обозначает хронологич. упорядочение операторов (см. Хронологическое произведение),d/dJ_m(x) - вариац. производная.

В итоге для двухточечной фермионной ф-ции Грина

где y(x) - спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем ур-ние типа ур-ния Дирака:

где g_m -матрицы Дирака, е, т - заряд и масса электрона. Для ср. значения оператора фотонного поля ( х )получаем ур-ние типа ур-ния Максвелла (второе слагаемое в правой части ур-ния имеет смысл квантовых поправок к классич. току J):

где шпур берётся по спинорным индексам. Ур-ния (1), (2), позволяющие по заданным источникам J_m(x) определить G(x, y|J )и (x), наз. Ш. <у.

Двухточечная фотонная ф-ция Грина может быть найдена с помощью соотношения

Величина Z[J] = iln S₀.[J]наз. производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

где G^-1 - обратный оператор фермионной ф-ции Грина. Ш. у. тесно связаны с Дайсона уравнениями. Швингером было выведено также ур-ние для четырёхточечной ф-ции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внеш. поля это ур-ние эквивалентно Бете - Солпитера уравнению.

Лит.:Schwinger J., "Ргос. Nat. Acad. Sci.", 1951, v. 37, p. 452, 455; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., M., 1984. P. H. Фаустов.