Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

ЛОРЕНЦА СИСТЕМА - система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:

решения к-рой в широкой области параметров являются нерегулярными ф-циями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу ( Р _r - Прандтля число, - приведённое Р _э -лея число, b- определяется выбором моды в Фурье-разложении поля скорости и темп-ры).

Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r: а) ; б) ; в) г) д) е)

Л. с.- один из примеров динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор, движение изображающей точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению жидкости при тепловой конвекции.

Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.

Л. с. (при b=l) описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла ) темп-pa Т(); ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa в точке N, a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г<1) жидкость неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r всё течение становится чувствительным к малым изменениям нач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно: жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда - против.

При обычно используемых значениях Pr=10, b=8/3 Л. с. обладает след. свойствами: ур-ния Л. с. инварианты относительно преобразования , фазовый объём сокращается с пост. скоростью

за единицу времени объём сокращается в 10⁶ раз. С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации. 1) При единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат О (О, О, 0). 2) При , где r₁=13,92, Л. с. кроме упомянутого тривиального ( О )имеет ещё два состояния равновесия , . Состояние равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие и одномерное неустойчивое, состоящее из О и двух сепаратрис и , стремящихся к и (рис. 1, а). 3) При r=r₁ каждая из сепаратрис становится двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе r через r₁ из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодич. движения - предельные циклы L₁ и L₂. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при (рис. 1, в), где r₂=24,06, все траектории по-прежнему стремятся к . Эта ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы _ и идут к "не своим" состояниям равновесия и соответственно. 4) При , гдо = 24,74, в Л. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия существует ещё притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий,- аттрактер Лоренца (рис. 1, д ирис. 3). 5) При седловые циклы L₁ и L₂ стягиваются к состояниям равновесия и , к-рые при теряют устойчивость, и при единственным притягивающим мно

жеством Л. с. является аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить к со стороны меньших значений, то стохастичность в Л. с. возникает сразу, скачком, т. е. имеет место жёсткое возникновение стохастичности.

Рис. 3. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат); горизонтальная плоскость соответствует r = = 27, r=28.

К Л. с. сводятся не только ур-ния, описывающие конвективные движения жидкости, но и др. физ. модели (трёхуровневый лазер, дисковое динамо и т. д.).

Лит.: Lorenz E., Deterministic nonperiodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, p. 130; в рус. пер., в кн.: Странные аттракторы, М., 1981, с. 88; Гапонов - Грехов А. В., Рабинович М. И., Хаотическая динамика простых систем, "Природа", 1981, № 2, с. 54; Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П., О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца, "Тр. Московского матем. общества", 1982, т. 44, с. 150; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. В. Г. Шехов.