Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
НАБЛЮДАЕМЫХ АЛГЕБРА

НАБЛЮДАЕМЫХ АЛГЕБРА

НАБЛЮДАЕМЫХ АЛГЕБРА - множество наблюдаемых физ. системы, наделённое структурой алгебры над полем комплексных чисел. Наблюдаемой наз. любую физ. величину, значения к-рой можно найти экспериментально. T. к. всякий эксперимент осуществляется в ограниченной области пространства и в течение конечного промежутка времени, то каждая наблюдаемая локализована в нек-рой ограниченной области О пространства-времени M, т. е. её значения можно измерить посредством экспериментов в О. Две наблюдаемые одной системы наз. совместимыми (несовместимыми) между собой, если они допускают (не допускают) одновременное и независимое измерение. В классич. системах все наблюдаемые совместимы. Для релятивистских квантовых систем, в силу причинности принципа, любые две наблюдаемые совместимы, если они относятся к областям из M, разделённым пространственнопо-добным интервалом. Наблюдаемая, локализованная в ограниченной области M н подчинённая принципу причинности, наз. локальной наблюдаемой. T. о., для релятивистских квантовых систем все наблюдаемые локальны; однако на практике удобно причислять к наблюдаемым также глобальные, суммарные характеристики системы, типа полного заряда, полной энергии-импульса, и т. п., получаемые из локальных наблюдаемых при помощи к.-л. предельных операций. В этом смысле говорят о квазилокальных и глобальных наблюдаемых.

Наблюдаемые можно представлять с помощью разл. матем. объектов. Для квантовой теории, где состояния системы обычно представляют векторами гильбертова пространства , стандартным является представление наблюдаемых операторами в гильбертовом пространстве, причём операторы, отвечающие совместимым наблюдаемым, коммутируют между собой. Операторы должны быть эрмитовыми, ибо измеряемые значения наблюдаемых вещественны, операторы могут быть ограниченными и неограниченными (в частности, наблюдаемым координат и импульсов, удовлетворяющим ка-нонич. перестановочным соотношениям, всегда отвечают неограниченные операторы). Однако, т. к. операторы наблюдаемых эрмитовы, неограниченным операторам можно сопоставить ограниченные спектральные проекции неограниченных. В этом случае множеству всех наблюдаемых квантовой системы отвечает множество А эрмитовых (ограниченных) операторов в . Добавляя к А все произведения его элементов, получаем алгебру R, к-рая наз. H. а. квантовой системы (хотя не все её операторы отвечают наблюдаемым). Иногда вместо указанного добавления вводят новую операцию перемножения операторов: B^.A = (AB + ВА)/2; по отношению к этой операции А - коммутативная алгебра, принадлежащая классу т. н. й оpдановых алгебр. В квантовой механике алгебра R обычно совпадает с алгеброй В() всех ограниченных операторов в .

Ясно, что с помощью H. а. можно описывать любые физ. системы, классические и квантовые, релятивистские и нерелятивистские. Наиб. плодотворным такой способ описания оказывается в квантовой теории, где успешно развивается алгебраич. подход в квантовой статистич. механике и алгебраический подход в квантовой теории поля. В последнем случае, чтобы учесть принцип причинности, нужно рассматривать множества наблюдаемых для каждой ограниченной (ибо наблюдаемые локализованы в ограниченных областях) области О из M. Описание релятивистской квантовой системы с помощью таких множеств существует в двух вариантах: конкретный подход, где A(O) - множество эрмитовых элементов алгебры фон Неймана R(O); абстрактный подход, где А (О) - множество эрмитовых элементов абстрактной С*-алгеб-ры ( О). Алгебры R(O )и (О) наз. алгебрами локальных наблюдаемых (локальным и алгебрами) области О; их совокупность для всех ограниченных областей О подчиняется системе аксиом (см. А ксио-матическая квантовая теория поля). Объединению локальных алгебр по всем О можно придать структуру С*-алгебры; эта алгебра наз. квазилокальной алгеброй, а её элементы - квазилокальными наблюдаемыми. Объединению алгебр R(O )по всем О можно придать также структуру алгебры фон Неймана; эта алгебра включает в себя квазилокальную и наз. глобальной алгеброй, а её элементы - глобальными наблюдаемыми. Состояния системы при этом обычно рассматривают как нормированные положит. функционалы на квазилокальной алгебре; представление состояния вектором в гильбертовом пространстве является частным случаем такой трактовки. Аналогично строится и алгебраич. подход в квантовой статистич. механике. Место множеств A(O )здесь занимают множества A(V) наблюдаемых, отвечающих конечным областям пространства или, в решёточных системах, конечным подмножествам ячеек решётки. Аналогом фундам. принципа локальности (причинности) в релятивистской теории здесь служит требование взаимной совместимости любых наблюдаемых, отвечающих непересекающимся областям.

Описание квантовополевой системы с помощью локальных алгебр первоначально использовалось для построения аксиоматич. теории. Затем оно стало применяться и для изучения конкретных моделей. Алгеб-раич. аппарат открывает здесь большие возможности: выбирая разл. состояния на квазилокальной алгебре, можно канонически строить описания системы, обладающие разл. желательными свойствами - наличием, отсутствием или вырождением вакуума, сохранением или нарушением тех или иных симметрии и т. п. В статис-тич. механике алгебраич. методы оказываются эффективными для описания и изучения равновесных состояний. С их помощью, напр., установлена эквивалентность разл. определений равновесного состояния, доказаны соотношения Онсагера для модели стационарной неравновесной термодинамики.

Лит.: Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., M., 1971; Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, пер. с англ., M., 1976; Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике, JI., 1980; X о-ружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, M., 1986. С. С. Хоружий.