Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
РАКА КОЭФФИЦИЕНТЫ

РАКА КОЭФФИЦИЕНТЫ

- в квантовой механике характеризуют сложение трёх (и более) угл. моментов, а также изотопических спинов и др. аналогичных величин, связанных с группой трёхмерных вращений (см. Квантовое сложение моментов). Введены Дж. Рака (G. Racah, 1942) при развитии теории спектров сложных атомов. Широко применяются в разл. приложениях квантовой механики, а также в задачах теории представлений групп SU(2 )и SО(3).

В результате сложения трёх моментов j₁, j₂ и j₃ полный момент j можно получить неск. способами (разл. схемы связи):

Вектор состояния, соответствующий схеме связи (1а), обычно обозначают как Он является собств. вектором для операторов и причём собств. значения двух последних операторов равны j(j + 1) и Приведём его явное выражение через собств. векторы трёх складываемых моментов:

Здесь m_l2 = m₁ + m₂, т= m_l2 + m₃, а С- Клебша- Гордана коэффициенты.

Аналогично (2), схемам связи (1б, 1в) отвечают векторы состояния и

Р. к. характеризуют соотношения между состояниями, отвечающими указанным разл. схемам связи. Переход от одной схемы связи к другой осуществляется унитарным преобразованием (матрицей), элементы к-рого отличаются от Р. к. только нормировочными множителями:

Отсюда следует, что Р. к. могут быть выражены через суммы от произведения четырёх коэффициентов Клеб-ша - Гордана. Поэтому Р. к. всегда вещественны и отличны от нуля только в том случае, когда для каждой из троек моментов и выполнено условие треугольника (т. е., напр.,

Вместо Р. к. часто используют Вигнера 6j-символы, к-рые отличаются от Р. <к. выбором фазового множителя:

Р. к. обладают многочисл. свойствами симметрии, напр.,

(полный список соотношений симметрии см. в [1-3]). Имеются также рекуррентные соотношения, связывающие между собой Р. к., в к-рых индексы изменяются на 1/2 или 1.

Общие ф-лы для Р. к., справедливые при произвольных значениях моментов, чрезвычайно громоздки и мало пригодны для вычислений. Однако в тех случаях, когда один из моментов (напр., j₃) невелик, Р. к. нетрудно подсчитать по сравнительно простым алгебраич. ф-лам. Простейшие из них имеют вид (табл. таких ф-л вплоть до j₃ = 4 см. в [1]). Имеются также численные табл. Р. к. и 6j -символов для конкретных (и не очень больших, ) значений моментов [1, 2]. Подробное изложение теории Р. к., основанное на методах теории групп, содержится в [3].

Обобщением Р. к. являются 9j -символы, или коэф. Фано (к-рые определяются как коэф. преобразования между разл. схемами сложения четырёх моментов), и в общем случае 3nj -символы [1, 3]. Для упрощения громоздких вычислений в задачах сложения большого числа моментов можно использовать спец. диаграммную технику [1, 3].

Лит.:1)Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К., Квантовая теория углового момента, Л., 1975; 2) Юцис А. П., Бандзайтис А. А., Теория момента количества движения в квантовой механике, Вильнюс, 1977; 3) Баденхарн Л., Лаук Д ж., Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984. В. С, Попов.