Приглашаем посетить сайт
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ (от лат. recur-rens, род. падеж recurrentis - возвращающийся) - однотипные ф-лы, к-рые связывают между собой идущие друг за другом элементы нек-рой последовательности (это может быть последовательность чисел, ф-ций и т. д.). В зависимости от природы объектов, связанных Р. с., эти соотношения могут быть алгебраическими, функциональными, дифференциальными, интегральными и т. п.
Наиб. известный класс Р. с.- это рекуррентные ф-лы для специальных функций. Так, для цилиндрических функций Zm(x)P. с. имеют вид
Они позволяют по ф-ции Zm0(x )найти ф-ции Zm(x )п-ри т= т0 b 1, т0 b 2 и т. д. либо, напр., по значениям ф-ций 
в нек-рой точке х0. 0 найти (в численных расчётах) значение любой из ф-ций
в этой же точке (здесь m0 - любое вещественное число).
Др. важный класс Р. с. дают многочисленные методы последовательных приближений (см. Итераций метод); сюда же примыкают и методы возмущений теории.
В квантовой механике есть ещё один вид Р. с., связывающих между собой векторы в гильбертовом пространстве состояний. Напр., стационарные состояния гармония, осциллятора параметризуются целыми неотрицательными числами.
Соответствующие векторы, обозначаемые 
, где n- целое, при разных n могут быть получены друг из друга действием операторов рождения а + и уничтожения а:
Эти соотношения можно разрешить, выразив любой вектор 
через 
(наинизшее энергетич. состояние, h =0):
Обобщением этой конструкции является представление вторичного квантования в квантовой статистич. механике и квантовой теории поля (см. Фока пространство).
Типичный пример Р. с. в статистич. механике - ур-ния для частичных ф-ций распределения, образующие цепочку Боголюбова (см. Боголюбова уравнения); знание таких ф-ций позволяет найти все термодинамич. характеристики системы.
В квантовой теории поля динамич. информация содержится, напр., в Грина функциях. Для их вычисления используют разл. приближения, чаще всего - расчеты по теории возмущений. Альтернативный подход основан на интегродифференциальных Дайсона уравнениях, являющихся Р. с.: ур-ние для двухточечной ф-ции Грина содержит четырёхточечную и т. д. Как и ур-ния Боголюбова, эту систему удаётся решать, лишь "оборвав" цепочку (место "обрыва" выбирается обычно из физ. соображений и определяет получаемое приближение).
Ещё один вид Р. с. в квантовой теории поля - У орда тождества в теориях калибровочных полей. Эти тождества также представляют собой цепочку интегродифференциальных соотношений, связывающих между собой ф-ции Грина с разл. числом внешних линий, p являются следствием калибровочной инвариантности теории. Решающую роль они играют для проверки калибровочной симметрии при проведении процедуры перенормировки.
Наконец, сама перенормировка - тоже рекуррентная процедура: на каждом шаге (в каждой следующей петле) используются контрчлены, полученные из вычисления диаграмм с меньшим числом петель (подробнее см. R-операция). А. М. Малокостов.