Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия риманова пространства. Осн. <понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространствас произвольным метрическим тензором g_ij.

Скалярное произведение касательных векторов вточке х определяется ф-лой . Это позволяет определить длины векторов и углы между векторами в данной точке. Длина (s )кривой, х ⁱ= xⁱ(t), i = 1,..., n;,определяется ф-лой

где - вектор скорости.

Расстояние между точками х н у определяется как минимум длин кривых, <соединяющих точки х и у. Ф-ция задаёт метрику в римановом пространстве.

Объём области U риманова пространства определяется ф-лой

На k -мерной поверхности, заданной в римановом пространстве впараметрич. виде,, i= 1,..., п, возникает метрич. тензор

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмы k -мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутреннейгеометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностейв трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. <Большое внимание уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалейфункционала k -мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при k = 2 )являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальныеповерхности в пространстве Минковского описывают классич. динамику струнырелятивистской.

Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основанона введении симметричной связности,, согласованной с метрикой g_ij. Её Кристоффеля символы имеют вид

Кривизны, тензор . этойсвязности определяет кривизну риманова пространства, характеризующуюего отличие от евклидова.

Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования, <сохраняющие метрику. Однопараметрич. группы движений определяются векторнымиполями К и л л и н г а , удовлетворяющими соотношениям:,где ,- ковариантная производная. Сдвиги вдоль траекторий системы,, i = 1, ...,n, определяют движения пространства. Движения n -мерногориманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит п(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерамипространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство, <сфера (метрика ,- Кронекера символ), простпанство лобачевского (метрика -.Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любуюточку х можно перевести в заданную точку у, то риманово пространствоназ. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметриейпространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. сим метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условиемпостоянства кривизны,.Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применениеР. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используютсяпри изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.

Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рыхметрика подвергается растяжению,. Конформные преобразования n -мерного риманова пространства при образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит ( п+ 1)(n+ 2)/2. Инвариантностью относительно конформных преобразованийобычно обладают теории безмассовых частиц.

Геодезическая линия - экстремаль функционала длины, рассматриваемогона кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединитьлокально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию .Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая неограниченно продолжается по t. В полном римановом пространствелюбые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной).Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляетважный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многиеур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, <методы теории геодезических применимы для получения качеств. информациио характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивныечастицы движутся по времениподобным (а безмассовые - по изотропным) геодезическим индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические. <Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличиезамкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнотатрактуется как наиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.

Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией римановапространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимостиявляется ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:

где К- гауссова кривизна поверхности,- элемент площади, g - топологич. характеристика поверхности, равнаячислу ручек (напр., для сферы g= 0, для тора g =1). Длямногомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики(характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензоракривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на римановопространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшимпримером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутыйпуть стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологическиевклидово.

Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой, <записываемой в комплексных, координатах в виде (чертаозначает комплексное сопряжение), причём .В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде ,если ввести изотормич. координаты x¹, х ², такие, что ,и положить

, (здесь i- комплексная единица). Конформные преобразования сводятсятогда к комплексно-аналитич. заменам,,,и сопряжению

Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, <в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общей теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М.,1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М.,1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М.,1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современнаягеометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теориигомологии, М., 1984. Б. А. Дубровин.