Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ - неустойчивости колебат. систем и нелинейной волновой среды, возникающие в результате пространственновременной модуляции параметров, характеризующих собств. колебания системы или среды. В случае нелинейной волновой среды модуляция совершается волнами конечной амплитуды - волнами накачки. П. н. обычно имеют пороги по амплитудам волн накачки e. Если eпревышает определённое пороговое значение, то собств. мода начинает расти с теплового уровня, поглощая энергию волны накачки. При пространственновременном резонансе возникает т. н. распадная П. н. даже при небольших амплитудах волны накачки, но больше пороговой. При больших амплитудах накачки может возникнуть нерезонансная мода в случае, когда одна из волн, образующихся при распаде, не существует в среде в отсутствие накачки. Примером типичной нерезонанснон П. н. является модуляционная неустойчивость. Другим примером может служить ситуация, когда одна из волн, возникающих в результате распада, сильно затухает, а вторая волна не затухает. К П. н. относят и неустойчивость модифициров. распада - апериодич. неустойчивость, возникающую также при больших амплитудах и определённом соотношении волновых векторов k и k₀, и взрывную неустойчивость волн, возникающую в средах, где имеются волны с отрицат. энергией. Важную роль в параметрич. процессах в низкотемпературной плазме играет т. н. тепловая П. н.

Распадная неустойчивость. В простейшемслучае, когда можно пренебречь влиянием волны накачки на собств. частотысреды, условия резонанса имеют вид

wk₀ = k₁ + k.,; в = 1,2,3, (1)

где ,k₀ - частота и волновой вектор волны накачки, ak₁;k₂- соответствующие величины для волн, возбуждаемых при неустойчивости. Вслучае n = 1 имеет место резонанс с основной гармоникой волны накачки;при п= 2, 3... - резонанс с кратными гармониками. Неустойчивости, <определяемые (1), наз. распадными в связи с тем, что соотношения (1) приумножении на совпадают с условиями сохранения энергии и импульса при распаде квазичастиц-волн( k₀ или гармоник) на две волны-квазичастицы (k₁;k₂). Первым теоретически предсказанным и детально исследованнымв 1962 типом распадной П. н. явилась неустойчивость ленгмюровской волны(распадающейся на ленгмюровскую и ионно-звуковую: l = l' + s). РаспаднаяП. н. лежит также в основе вынужденного ком-бинац. рассеяния (см. Вынужденноерассеяние света )и определяет его особенности. К ннм относятся экспоненциальное(а не линейное!) нарастание амплитуд не только рассеянной, но и падающейволн. Это является прямым следствием положит. обратной связи рассеяннойи падающей волн, распространяющихся на фоне волны накачки. Ур-ния, описывающиетакую связь, можно интерпретировать как пространственно-временное обобщение Хиллауравнений, в простейшем случае - ур-ния Матьё для параметрич. резонансаосцилляторов. Для волновой среды, такой, как плазма, одномерный (по х )аналог ур-ния Матьё (см. Матъё функции )имеет вид

где - величина, описывающая волну (напр., потенциал электрич. поля), v _ф -фазовая скорость волны в среде при отсутствии волны накачки, e- амплитуда волны накачки в относит. единицах. Подобно тому как в ур-нииМатьё описывается временная модуляция частоты осциллятора, здесь описываетсяпространственно-временная модуляция фазовой скорости волны. Чтобы найтиусловия параметрич. возбуждения пары элементарных волн, удобно перейтик Фурье-компонентам по пространств. переменным:

Тогда ур-ние (2) переходит в систему ур-нийдля связанных гармонич. осцилляторов:

где осциллятор связанс осцилляторами и т. д.; при этом правую часть (3) можно рассматривать как зависящую отвремени вынуждающую силу. Если амплитуда мала то возникает слабая связь осцилляторов ит. д., не меняющая существенно частоту осцилляторов, к-рые осциллируютс собств. частотами Однако если вынуждающая сила попадает в резонанс с собств. частотой осциллятора, <то он может возбуждаться. Так, напр., если резонансным является первоеслагаемое правой части (3), для к-рого условие резонанса имеет вид то вместо бесконечной системы ур-ний для связанных осцилляторов в первомприближении по малой связи получаем укороченную систему для двух осцилляторов и связанныхусловиями резонанса (1) при п =1:

(* означает комплексное сопряжение). Решение(4) ищется в виде

где а _i(t) - медленноменяющиеся амплитуды связанных волн (i = 1, 2), тогда:

где - частотная расстройка резонанса при параметрич. связи осцилляторов и Решением(5) являются

где

Это решение описывает распадную параметрич. <неустойчивость первого порядка ( п = 1). При отсутствии частотной расстройки (= 0) амплитуды дублета волн а ₁ и а ₂ экспоненциально нарастают с инкрементом v =При этом необходимо выполнение соотношения Иными словами, при распадной неустойчивости возбуждаются волны с частотами, <меньшими частоты накачки (красные сателлиты). Неустойчивость развиваетсяпри v > 0, т. е. при При расстройке неустойчивость исчезает. Т. о., область частот где может существовать распадная П. н. (ширина зоны неустойчивости - зоныМатьё), определяется условием Т. к.в свою очередь пропорционален амплитуде волны накачки то и ширина зон неустойчивости пропорциональна Инкремент неустойчивости n -го порядка пропорционален n -йстепени амплитуды т. е. при малых амплитудах накачки ширина зоны П. н. сужается с ростом п (рис. 1) пропорц.Поэтому практически важно учитывать неустойчивости первого порядка, а еслидля взаимодействующих волн не выполняются условия (1), то - второго порядка.

Рис. 1. Зоны распадной параметрическойнеустойчивости (Матьё зоны) для основной частоты и гармоник ( п = 1, 2, 3).

Если учесть затухание волн, введя в правыечасти (5) слагаемые и (и - линейныедекременты затухания волн), при =0 получим для соответствующего инкремента распадной П. н. v_D след. <выражение:

Из (6) можно получить выражение для порога распадной неустойчивости, определяемое в приближении однородной плазмы декрементами возбуждаемого дублета волн:а порог по амплитуде волны накачки Из него следует, что при стремлении к нулю хотя бы одного из декрементовзатухания дублета связанных волн порог по амплитуде волны накачки исчезает.

В неоднородной плазме при определении порогов распадной П. н. существенную роль играет вынос волн из зоны резонансного взаимодействия, где выполняются условия (1). Это связано с тем, что П. <н. относятся к классу конвективных, а не абсолютных неустойчивостей.

Модуляционная неустойчивость. Если одна из волн возбуждаемого дублета является низкочастотной, то при достаточных амплитудах волн накачки инкремент П. н. формально превышает НЧ, тогда возникаетдр. разновидность П. н. - модуляц. неустойчивость. Для неё лишь ВЧ близкак частоте собств. колебаний среды, а другая - к вынужденным колебаниямсреды, к-рые распространяются с почти групповой скоростью волны накачки. <При этом необходимо учитывать кроме собств. моды (k₁) пару волн для волновых векторов . Условие возникновения модуляц. П. н. имеет вид где -коэф., связывающий нелинейный сдвиг частоты волны накачки с квадратом еёамплитуды, т. е. с её интенсивностью. Смысл критерия и самой неустойчивостизаключается в следующем. Если промодулировали исходную волну накачки (напр., А и A', рис.2) фазовая скорость больше, чем в областях мин. амплитуд (точка В). Этоозначает рост числа узлов исходной волны при приближении к области мин. <амплитуд (область а )и уменьшение числа узлов при удалении от неё(область b), так что если групповая скорость имеет отрицат. <производную по k, то колебания в области а с убывающей амплитудойотстают, а в области с нарастающей амплитудой (область b )убегаютвперёд, увеличивая тем самым рост амплитуды и углубляя её минимум.

Рассмотрим возникновение модуляц. неустойчивости ленгмюровских волн в плазме. Она появляется в том случае, когда инкремент П. н. волн ll'+ s превышает частоту ионно-звуковых колебаний. При большихамплитудах накачки медленные колебания плазмы, созданные пондеромоторнойсилой ВЧ-давления, уже не совпадают с ионно-звуковыми колебаниями.

Рис. 2. Развитие модуляционной неустойчивости,- фаза волны.

При движении на фоне медленно изменяющихся вариаций плотности плазмы частота (энергия) плазмонов - квантов ленгмюровских волн - сохраняется. <Из закона дисперсии этих волн

(r_D - дебаевскийрадиус экранирования, п ₀ - невозмущённая плотность плазмы,- плазменная частота )следует, что в "провалах" плотности плазмы( < 0) волновоечисло k и кинетич. энергия плазмонов возрастают (первое слагаемоеможно рассматривать как потенциальную, а второе как кинетич. энергию плазмоновв ед.).Т. о., области пониженной плотности плазмы играют роль потенциальных ямдля плазмонов. Это приводит к их локализации в "провалах" плотности, следовательно, <к возрастанию силы ВЧ-давления плазмонов в "провалах". Под действием этогодавления плазма вытесняется из области локализации плазмонов, углубляя"провал" плотности и тем самым создавая ещё более глубокую яму для плазмонов. <Развивается неустойчивость автомодуляции пространственного распределенияилазмонов - стягивание их в сгустка - каверны, из к-рых силой ВЧ-давленияплазма вытеснена. Локализация электрич. поля в каверне и вытеснение изнеё плазмы сопровождаются уменьшением характерного размера каверны и длиныволны запертых в ней плазуонов:

и как следствие - ещё большей локализацией ленгмюровской энергии. Тогда рост амплитуды поля в каверне и углублениеямы плотности носят характер взрыва а l0.Это означает, что схлопывание - коллапс каверны - продолжается до тех пор, <пока длины запертых в ней плазмонов не достигают малых значений, при к-рыхстановится существенной диссипация энергии (напр., Ландау затухание )ленгмюровскихволн. При коллапсе ВЧ-давление в центре каверны возрастает обратно пропорц. <её объёму: | Е|² ~ 1/l^m (т =1, 2,3 - размерность каверны). Для коллапса необходимо преодолеть давление плазмы вытесняемой из каверны. Газокинетич. давление при коллапсе изменяется ~1/l², поэтому в одномерном случае при нек-ром l установитсябаланс давлений и коллапс прекратится. В этих условиях модуляц. неустойчивостьприводит к образованию солитонов - статич. ям плотности с ленгмюровскимнаполнением (см. Солитон в плазме).

Апериодические неустойчивости. При увеличении амплитуды волны накачки необходимо учитывать изменение частот самих собств. <волн, в особенности если одна из частот мала в сравнении с частотой исходнойполны. Инкременты таких неустойчивостей превышают низкие частоты колебаний, <а сама неустойчивость имеет апериодич. характер. Условия резонанса меняются, <однако неустойчивости относятся к тем же зонам Матьё, что и распадная П. <н., поэтому эти неустойчивости часто наз. неустойчивостями модифицированногораспада.

Тепловая П. н. Если нелинейности в диссипативных слагаемых преобладают над стрикционными, то П. н. имеют весьма низкие пороги. <Так, в низкотемпературной плазме нелинейность в слагаемом, описывающемувеличение темп-ры за счёт джоулева нагрева плазмы, может быть ответственназа возникновение распадной П. н. и неустойчивости модифицир. распада, наз. <также тепловой П. н. Эта неустойчивость играет важную роль в параметрич. <нагреве нижней ионосферы и связанном с ним расслоении плазмы.

Лит.: Сплин В. П., Параметрическое воздействие излучения большой мощности на плазму, М., 1073; Основы физикиплазмы, т. 2, М., 1984.

В. П. Ораевский.