Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ - ур-ния, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физи-к а) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных ур-ний являются математическими. В понятие методов математической физики включают те математические методы, к-рые применяют для построения и изучения моделей, описывающих широкие классы физических явлений.

Методы матем. физики начали разрабатываться в трудах И. Ньютона (I. Newton) по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее их развитие и применение к изучению матем. моделей разл. физ. явлений связаны с именами Ж. Л. Лагранжа (J. L. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eulеr), Ж. Фурье (J. Fourier), K. Ф. Гаусса (С. F. Gaufi), Б. Римана (В. Riemann), M. В. Остроградского, A. M. Ляпунова, В. А. Стеклова.

Методы матем. физики применяли для изучения физ. явлений, связанных с разл. полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике, теории тепла и диффузии и ряде др. исследований физ. явлений в сплошных средах. Матем. модели этих явлений обычно описывают при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших название M. ф. у.

Помимо дифференц. ур-ний при описании матем. моделей физики применяют интегральные и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теорию потенциала, методы теории аналитич. ф-ций и др. разделы математики. Особое значение для исследования матем. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, что позволило эффективно решать сложные задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы.

Теоретич. исследования в области квантовой физики потребовали расширения используемых матем. методов. Стали применять теорию операторов, теорию обобщённых ф-ций, топологич. и алгебраич. методы. Интенсивное взаимодействие теоретич. физики, математики и использования ЭВМ в науч. исследованиях привело к расширению тематики, созданию новых классов моделей.

Постановка задач матем. физики заключается в построении матем. моделей, описывающих осн. закономерности изучаемого класса физ. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (диффероиц., интегральных, интегро-дифференц. или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физ. процесс. При этом исходят из осн. физ. законов, учитывающих только наиб, существ, черты явления, отвлекаясь от второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., кол-ва движения, энергии, числа частиц и т. д. Поэтому для описания процессов разл. физ. природы, но имеющих общие характерные черты, применимы одни и те же матем. модели.

Краевые задачи. Для полного описания эволюции физ. процесса помимо ур-ний необходимо, во-первых, задать картину процесса в нок-рый фиксиров. момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференц. ур-ния вместе с соответствующими краевыми условиями - краевую задачу матем. физики.

Большинство M. ф. у.- линейные дифференц. ур-ния с частными производными 2-го порядка:

с кусочно-непрерывными коэф.. Заменой переменных квадратичную форму можно привести к канонич. виду

причём числа r и т не зависят от преобразования. Если m = n и все слагаемые одного знака (r = 0 или r = т), то ур-ние относится к эллиптическому типу. Если т = п, но имеются слагаемые разных знаков, исследуемое ур-ние -гиперболического типа. При т< n - ур-ние параболического типа. Эта классификация, вообще говоря, зависит от точки х. Ниже приведены нек-рые примеры ур-ний и соответствующих краевых задач.

Ур-ние

описывает малые колебания струн, стержней, мембран, акустич. и эл.-магн. колебания. В ур-нии (1) пространственные несемейные c = (ci,..., c_h )изменяются в области где развивается рассматриваемый физ. процесс; при этом должно быть , При этих условиях ур-ние (1) - ур-ние гиперболич. типа. При и q =0 ур-ние (1) превращается в волновое уравнение

где - оператор Лапласа.

Диффузии уравнение

описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. Ур-ние (3) - ур-ние параболич. типа. При ур-ние (3)

превращается в уравнение теплопроводности

Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени f, ур-ния (1) и (3) принимают вид

Ур-ние (5) - ур-ние эллиптич. типа. При r = 1 и q = 0 ур-ние (5) наз. ур-нием Пуассона

а при f = 0 - Лапласа уравнением

Ур-ниям (6) и (7) удовлетворяют разл. потенциалы: ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. д.

Если в волновом ур-нии (2) внеш. возмущение f - периодическое с частотой

то амплитуда и(х )периодич. решения с той же частотой w

удовлетворяет Гельмголъца уравнению

К ур-нию Гельмгольца приводят задачи дифракции.

Для полного описания процесса колебаний необходимо задать нач. возмущение и нач. скорость

а для процесса диффузии - только нач. возмущение

Кроме того, на границе S области G необходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях граничные условия для ур-ний (1), (3), (5) описывают соотношением

где Ic и h- заданные неотрицательные ф-ции, не обращающиеся в нуль одновременно, h- внеш. нормаль к поверхности - заданная ф-ция. В случае неогранич. областей, напр, внешности огранич. области, кроме условия на границе задают также условие на бесконечности. Напр., для ур-ния Гельмгольца (8) на бесконечности задают Зоммерфельда условия излучения.

Краевая задача, к-рая содержит только нач. условия (и, стало быть, не содержит граничных условий, так что область G - всё пространство , наз. Коши задачей. Для ур-ния (1) задача Коши (1), (9) ставится след, образом: найти ф-цию удовлетворяющую ур-нию (1) при и нач. условиям (9) на плоскости . Аналогично ставится и задача Коши (3), (10) для ур-ния диффузии (3).

Если в краевой задаче присутствуют и нач., и граничные условия, то такая задача наз. смешанной задачей. Для ур-ния (1) смешанная задача (1), (9), (11) ставится так: найти ф-цию удовлетворяющую ур-нию (1) в цилиндре , нач. условиям (9) на его ниж. основании G и граничному условию (11) на его боковой поверхности . Аналогично ставится смешанная задача (3), (10), (11) для ур-пия диффузии (3). Существуют и др. постановки краевых задач.

Для стационарного ур-ния (5) нач. условия отсутствуют и соответствующая краевая задача ставится так: найти ф-цию удовлетворяющую ур-нию (5) в области G и граничному условию на границе S области G:

Для ур-ния (5) краевая задача с граничным условием наз. Дирихле задачей, а с граничным условием

- Неймана задачей. Различают внеш. и внутр. краевые задачи Дирихле и Неймана. Для внеш. задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности.

К краевым задачам для ур-ния (5) относятся также задачи на собств. значения: найти те значения параметра (собств. значения), при к-рых однородное ур-ние

имеет нетривиальные решения (собств. ф-ции), удовлетворяющие однородному граничному условию

Если G - огранич. область с достаточно гладкой границей S, то существует счётное число неотрицательных собств. значений , ... задачи (12), (13)

, каждое - конечной кратности; соответствующие собств. ф-ции

образуют полную ортонормиров. систему ф-ций; при этом всякая ф-ция, удовлетворяющая граничному условию (13), разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе собств. ф-ций

Обобщённые задачи. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения внутри области вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. классическими. Однако во MH. физ. задачах приходится отказываться от требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщённой функцией и удовлетворять ур-нию в смысле обобщенных ф-ций, краевые условия могут удовлетворяться в к.-л. обобщённом смысле. Такие краевые задачи наз. обобщёнными, а соответствующие решения - обобщёнными решениями. Напр., обобщённая задача Коши для волнового ур-ния ставится след. образом. Пусть - классич. решение задачи Коши (2), (9). Ф-ции и и f продолжим нулём на и обозначим их соответственно. Тогда ф-циябудет удовлетворять в смысле обобщённых ф-ций во всём пространстве волновому ур-нию

При этом нач. возмущения u_o и и ₁ играют роль мгновенно действующих внеш. источников типа двойного слоя, , и простого слоя,. Сказанное позволяет ввести след, определение. Обобщённой задачей Коши для волнового ур-ния с источником F (обобщённая ф-ция F=0при t < 0) наз. задача об отыскании тех обобщённых решений вволнового ур-ния

к-рые обращаются в нуль при t< 0. Аналогично ставится обобщённая задача Коши и для ур-ния теплопроводности (4).

Поскольку краевые задачи матем. физики описывают реальные физ. процессы, то они должны удовлетворять след, естеств. требованиям, сформулированным Ж. Ада-маром (J. Hadamard): 1) решение должно существовать в нек-ром классе ф-ций M₁;2) решение должно быть единственным, возможно в др. классе ф-ций 3) решение должно непрерывно зависеть от данныхзадачи (нач. и граничных данных, свободных членов, коэф. ур-ния и т. д.). Требование непрерывной зависимости решения возникает в связи с тем, что данные физ. задачи, как правило, определяют из эксперимента приближённо, поэтому необходимо быть уверенным в том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям 1-3, наз. корректно поставленной, а множество ф-ций - классом корректности. Хотя требования 1-3, на первый взгляд, кажутся естественными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках принятой матем. модели. Доказательство корректности - первая проверка матем. модели: модель непротиворечива, не содержит паразитных решений и мало чувствительна к погрешностям измерений.

Нахождение корректных постановок краевых задач матем. физики и методов построения их решений (точных или приближённых) и составляет одно из главных содержаний предмета M. ф. у. Известно, что все перечисленные выше краевые задачи поставлены корректно.

Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий 1-3, наз. некорректной задачей. Некорректные задачи приобретают в математической физике всё возрастающее значение: к ним в первую очередь относятся обратные задачи, а также задачи, связанные с обработкой и интерпретацией результатов наблюдений.

Важную роль в M. ф. у. играет понятие Грина функции. Ф-цией Грина линейного дифференциального оператора

с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области изменения переменных наз. ф-ция , удовлетворяющая при каждом из этой области ур-нию

В физ. ситуациях ф-ция Грина ) описывает возмущение от точечного (в точке мгновенного (в момент источника единичной интенсивности (с учётом неоднородности среды и краевого эффекта). В случае постоянных коэф. и отсутствия границы ф-ция Грина при и наз. фундаментальным решением и обозначается

Доказано существование фундам. решения для любого оператора

С помощью фундам. решения решение ур-ния

с произвольной правой частью F (обобщённая ф-ция) выражается во всем пространстве свёрткой

В этом состоит сущность метода точечного источника решения линейных задач матем. физики.

Методы решения. Для исследования и приближённого решения смешанных задач используют разделения переменных метод (метод Фурье) при условии, что коэф. в ур-нии и в граничном условии не зависят от времени t. Идея метода, напр, применительно к задачам (3), (10), (13), состоит в следующем: искомое решение и правую часть разлагают в ряд Фурье

по собств. ф-циям краевой задачи (12), (13):

Подставляя эти ряды в ур-ние (3), для неизвестных ф-ций получают ур-иие

При этом, чтобы ряд (17) для и удовлетворял нач. условию (10), необходимо положить

Решая задачу Коши (18), (19), получают формальное решение задачи (3), (10), (13) в виде ряда

Возникает задача обоснования метода Фурье: когда формальный ряд (20) даёт классич. или обобщённое решение задачи (3), (10), (13)? Аналогично метод Фурье применяют и к смешанной задаче (1), (9), (13).

Метод разделения переменных находит применение также и для решения краевых задач для ур-ння эл-липтич. типа (5). При исследовании и приближённом решении краевых задач для ур-ния (5) используют вариац. методы. Так, напр., для задачи на собств. значения (12), (13) (при r = 1) собств. значения l_R удовлетворяют вариац. принципу:

где ф-ции сравнения иудовлетворяют (13); при этом inf в (21) реализуется на любой собств. ф-ции, соответствующей собств. значению , и только на ней.

Перечисленные краевые задачи не исчерпывают всё многообразие краевых задач матем. физики, это простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физ. процессы, могут быть сложными: системы ур-ний, ур-ния высших порядков, нелинейные ур-ння. К ним в первую очередь относятся ур-ние Шрёдингера, ур-ния гидродинамики, переноса, магн. гидродинамики, ур-ния Максвелла, теории упругости, yp-ния Дирака, ур-ния Гильберта - Эйнштейна, ур-ния Янга - Миллса и др. В связи с поисками нетривиальных моделей, описывающих взаимодействие квантовых полей, возрос интерес к классич. нелинейным ур-ниям (см. Нелинейные уравнения математической физики).

Лит.: Тихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977; Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., M., 1964; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; его же, Обобщённые функции в математической физике, 2 изд., M., 1979; Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, M., 1973; Тихонов А. Н.,Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, 3 изд., M., 1986; Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, 2 изд., M., 1983; Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1-4, M., 1977-82; Адамар Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. с франц., M., 1978; Pихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984. В. С. Владимиров.