Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ - представление произведений неск. локальных операторов, определённыхв разл. точках пространства-времени, в виде суммы отд. локальных операторов.

В квантовой теории поля (КТП) из-за сингулярногоповедения Грина функций на малых расстояниях возникает трудностьпри построении локальных составных операторов из произведений гейзенберговскихполей (см. Гейзенберга представление) (х)(х - точка пространства-времени). В теории свободных полей для этойцели используется понятие нормального произведения (обозначается: ... :).Напр., для случая скалярного поля локальными операторами являются

и т. д. ( v= 0, 1, 2, 3,

= д/дх ^u). Общий рецепт для построения локальных составныхоператоров, справедливый как для свободных, так и для взаимодействующихполей, даёт О. р. Вильсона [1]:

где А(х), В(у )и О _п (х)- локальные операторы, С _п (х - y) - коэффициентныеф-ции, являющиеся обобщением ф-ций Грина.

Величины C_n(z )содержатсингулярности типа где добавка необходима для того, чтобы матричный элемент от левой части соотношения(1) удовлетворял правильным спектральным свойствам (см. Спектральное представление), вытекающим из положительности эпергии для всех промежуточных состояний. Показатели степени Р _п могут быть выраженычерез размерности (в единицах массы) операторов А, В и О _n по ф-ле Р _п= где d_i- канонич. размерности операторов,- их аномальные размерности.

О. р. (1) справедливо во всех порядкахтеории возмущений в перенормируемых моделях КТП (см. Перенормируемость взаимодействий).В теории возмущений размерности полей равны каноническим (=0), а коэффициентная ф-ция C_n(z )помимо степени содержит в виде множителя полином по ln( - z²). Гл. вклад всумму (1) при х- > у вносят операторы с мин. размерностью, <среди к-рых самыми важными являются единичный оператор I (d_I=1),сохраняющиеся (точно или приближённо) токи (d_j=3) и тензор энергии-импульса (d₀=4). При учёте взаимодействия размерность операторов I,и не меняется. <Из этого, в частности, следует, что матричный элемент от хронологическогопроизведения (Т )двух эл.-магн. токов по вакуумному состоянию

при х ->0 ведёт себя так же, какв свободной теории. Сечение е ⁺ е ^- -аннигиляции в адроны, <к-рое определяется мнимой частью этого матричного элемента в импульсномпредставлении, при больших энергиях (в системе центра инерции)пропорционально (где - постоянная тонкой структуры), что согласуется с экспериментом. Поправкик вакуумному среднему (*), возникающие из-за операторов О _п (х )сболее высокими размерностями О ₂ (х)= где - кварковое и глюонное поля. Г - нек-рая матрица (черта над означает дираковское сопряжение), приводят к вкладам

нарушающим масштабную инвариантность сеченияе ⁺ с ^- -аннигиляции [2].

Существует другая версия ф-лы (1), а именно:О. р. произведения Двух операторов на световом конусе

где, как и ранее, для простоты предполагается, <что А(х )и В(0 )являются скалярными по отношению к Лоренцапреобразованиям (т - характерная масса адрона,- нек-рый тензорный оператор,= 0,1,2,3).

Для классификации локальных операторовудобно ввести понятие твиста. Твист тензора равен по определению разности его размерности и спина S_n. Гл. вклад в разложение (2) дают операторы, <имеющие мин. значение твиста; при этом их спины и моменты могут быть произвольными. <Напр., для операторов, билинейных по кварковым полям, мин. твист (два)имеет выражение где символ S означает симметризацию по всем лореицевым индексами выделение следов. В квантовой хромодинамике (КХД) для обеспечения калибровочнойинвариантности следует в заменить все производные на ковариантные: (здесь - потенциал глюонного ноля, g - константа взаимодействия вКХД). В силу асимптотической свободы и ренормализационной гриппы коэффициентныеф-ции С _n^k( - х ² )вф-ле (2) ведут себя при х2- > 0 как

где с _п - числа, к-рыемогут быть найдены в рамках теории возмущений. О. р. на световом конусе(2) используется, в частности, для нахождения логарифмич. и степенных эффектовнарушения масштабно-инвариантного поведения структурных функций лептоп-адронных глубоконеупругих процессов(3).

О. р. является эфф. способом вычисленияи классификации разл. вкладов в физ. амплитуды процессов и находит широкоераспространение в приложениях КТП. Возможности применения ф-л (1), (2)в адронной физике связаны с тем, что вид коэффициентных ф-ций С _п, какправило, может быть установлен с помощью теорий возмущений, независимоот специфики сильного взаимодействия, после чего сравнение матричных элементовпо физ. адронным состояниям от левой и правой частей равенства (1) [или(2)] приводит к соотношениям между физ. амплитудами.

Строгое доказательство О. р. пока существуеттолько в рамках теории возмущений для простых перснормируемых моделей КТП[4].

Лит.:1) Wilsоn К. G., Non-Lagrangianmodels of current algebra, "Phys. Rev.", 1969, v. 179, p. 1499; 2) ShifmanM. A., Vainshtein A. I., Zakharоv V. I., QCD and resonance physics. Theoreticalfoundations, "Nucl. Phys. B", 1979, v. 147, p. "385; 3) Grоss D. J., Wi1сzekP., Asymptotically free gauge theories, "Phys. Rev. D", 1974, v. 9, p.980; 4) Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979.

Л. Н. Липатов.